具有年齡結(jié)構(gòu)的MSIQRS傳染病模型的穩(wěn)定性分析*

豆中麗

重慶財經(jīng)學(xué)院，重慶400055

傳染病是由病毒、細(xì)菌和寄生蟲等感染人體后具有傳染性的疾?。?］，關(guān)于傳染病模型的研究已有很多成果［2-4］?，F(xiàn)代醫(yī)學(xué)說明隔離是預(yù)防和控制傳染病的有效手段之一，例如在2003年爆發(fā)的SARS傳染病，采用有效的隔離措施切斷了傳染病的傳播途徑，由此可見隔離對于SARS疫情的控制功不可沒，因此建立帶有隔離治療的數(shù)學(xué)模型來說明這一問題顯得尤為重要［5-6］。但是由于不同年齡的人群對同一疾病的感染程度不一樣，有些疾?。ㄈ顼L(fēng)疹、小兒麻痹、百日咳等）只在兒童中傳播，有些疾?。ㄈ缧圆。┲辉诔扇酥袀鞑?，所以研究年齡結(jié)構(gòu)的流行病模型有著重要的理論和實際意義［7-9］。在上述文獻研究的基礎(chǔ)上，本文討論了一類具有隔離的年齡結(jié)構(gòu)MSIQRS傳染病模型，給出了平衡點的存在性及穩(wěn)定性條件，并用基本再生數(shù)的表達(dá)式解釋了隔離治療對于預(yù)防控制疾病的重要性。

1 模型建立

2 基本再生數(shù)的表達(dá)式和無病平衡點的局部穩(wěn)定性

本節(jié)中我們將給出基本再生數(shù)R0和接種再生數(shù)R(φ)的表達(dá)式，R0表示染病個體在其整個染病期間易感人口中所感染的新病人平均數(shù)。

由于模型（3）的平衡解滿足

3 無病平衡點的全局穩(wěn)定性

4 地方病平衡點的存在性和穩(wěn)定性

5 討 論

基本再生數(shù)R0表示一個病人在其染病期間所感染的病人數(shù)。一旦隔離成功后，則基本再生數(shù)R0＜1，這說明隔離后可以使再生數(shù)減少，即新感染病人數(shù)減少，使無病平衡點穩(wěn)定，從而有利于病疫的控制消除傳播。當(dāng)R(φ) ＜1 時，無病平衡點局部漸近穩(wěn)定；當(dāng)R0＜1 時，無病平衡點全局漸近穩(wěn)定性，說明傳染病逐漸的趨于滅絕；當(dāng)R(φ) ＞1 時，地方病平衡點局部漸近穩(wěn)定的，這說明傳染病不會消除，而是逐漸趨于穩(wěn)定，形成一種地方病。