論矩陣在現(xiàn)實(shí)生活中的重要性

馬昕怡

摘?要：矩陣對(duì)現(xiàn)實(shí)生活和科學(xué)來(lái)說(shuō)，是一個(gè)不可或缺常見(jiàn)工具，在現(xiàn)實(shí)生活所起重要性不言而喻，廣泛運(yùn)用在人口變化及未來(lái)預(yù)測(cè)、經(jīng)濟(jì)生活和社會(huì)生活、戰(zhàn)爭(zhēng)情報(bào)和商業(yè)情報(bào)傳遞、高代圖形變換等方面，廣泛被社會(huì)和大眾所接受，同時(shí)通過(guò)廣泛應(yīng)用也加深對(duì)矩陣在現(xiàn)實(shí)生活中重要性認(rèn)識(shí)和分析，大大激發(fā)了同學(xué)們學(xué)好數(shù)學(xué)積極性、主動(dòng)性、創(chuàng)造性，以飽滿熱情投入到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中去。

關(guān)鍵詞：矩陣;現(xiàn)實(shí)生活;重要性;應(yīng)用廣泛

一、矩陣定義、由來(lái)、運(yùn)算、其他特殊矩陣

據(jù)查證矩陣最先由英國(guó)數(shù)學(xué)家凱利提出，本意是子宮和控制中心的母體及孕育生命的地方。矩陣在數(shù)學(xué)上最早來(lái)自于方程組的系數(shù)及常數(shù)所構(gòu)成的方陣，具體表現(xiàn)為縱橫排列的二維數(shù)據(jù)表格，是一個(gè)按照長(zhǎng)方陣列排列的復(fù)數(shù)或?qū)崝?shù)集合。同時(shí)矩陣作為高等代數(shù)學(xué)中的常見(jiàn)工具，常見(jiàn)于統(tǒng)計(jì)分析等應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)科和計(jì)算機(jī)科學(xué)中，具體體現(xiàn)在機(jī)器學(xué)習(xí)及圖形變換和三維動(dòng)畫制作等方面。同時(shí)也常見(jiàn)于物理學(xué)電路圖等，具體體現(xiàn)在電路電阻串并聯(lián)或復(fù)雜電路混連、力學(xué)和牛頓三定律、光學(xué)和量子物理等方面。國(guó)內(nèi)據(jù)考證矩陣于1922年由民國(guó)程廷熙在《范氏高等代數(shù)學(xué)》文章中翻譯為“縱橫陣”，并隨著時(shí)代延伸，在1993年，由中國(guó)自然科學(xué)名詞審定委員會(huì)公布“矩陣”這個(gè)名詞，并沿用至今。

矩陣實(shí)際上是一種線性變換，矩陣常見(jiàn)的運(yùn)算最簡(jiǎn)單莫過(guò)于加減法、數(shù)乘和轉(zhuǎn)置運(yùn)算，即在理論和實(shí)際應(yīng)用上，把矩陣簡(jiǎn)單化運(yùn)算，就是將矩陣分解為幾個(gè)簡(jiǎn)單矩陣組合，分解相當(dāng)于原來(lái)的線性變換可以由兩次（或多次）線性變換來(lái)表示。除此之外同時(shí)還存在一些應(yīng)用廣泛而形式特殊的矩陣，假若值相同的元素或者零元素在矩陣中的分布有一定規(guī)律，如Z矩陣，M矩陣，H矩陣，對(duì)角占優(yōu)陣，非負(fù)矩陣;上三角矩陣/下三角矩陣，三對(duì)角矩陣，帶狀矩陣;對(duì)稱矩陣，反對(duì)稱矩陣，正交矩陣，酉矩陣，正規(guī)矩陣;辛矩陣，反辛矩陣;正態(tài)分布隨機(jī)矩陣、魔方矩陣等。

二、矩陣在現(xiàn)實(shí)生活中重要性

矩陣在現(xiàn)實(shí)生活中應(yīng)用之廣，存在無(wú)可比擬的重要性。本文主要側(cè)重于體現(xiàn)在人口流動(dòng)控制顯示方面、經(jīng)濟(jì)生活運(yùn)用在求消耗或成本計(jì)算方面、數(shù)學(xué)高代坐標(biāo)和圖形變換計(jì)算方面、戰(zhàn)爭(zhēng)情報(bào)和商業(yè)情報(bào)傳遞方面等等，通過(guò)矩陣歸納運(yùn)算等方式方法體現(xiàn)出直觀、方便、歸納、保密等特點(diǎn)，更加激發(fā)同學(xué)們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)興趣，提升學(xué)習(xí)高代動(dòng)力。

（一）體現(xiàn)在地區(qū)人口普查及人口流動(dòng)變換方面的重要性

矩陣高次冪在預(yù)測(cè)未來(lái)人口數(shù)量和發(fā)展趨勢(shì)或環(huán)境發(fā)生改變期間居民外出歸來(lái)等方面起著重要作用，高次冪以乘法為基礎(chǔ)，是由低次冪矩陣經(jīng)歸納法總結(jié)所得出結(jié)論，進(jìn)一步來(lái)驗(yàn)證所歸納總結(jié)結(jié)果是否正確，主要運(yùn)用在人口流動(dòng)變換較為單一矩陣方面，可以將復(fù)雜化問(wèn)題通過(guò)歸納總結(jié)得出一定規(guī)律結(jié)論，從而簡(jiǎn)潔明了（此方法對(duì)此類問(wèn)題較為適用）。

例如通過(guò)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在河北省石家莊市鹿泉區(qū)有50萬(wàn)流動(dòng)人口從事務(wù)農(nóng)、打工、經(jīng)商職業(yè)，去年和今年由于整體環(huán)境發(fā)生變化，產(chǎn)生影響，按上級(jí)政策要求，上述流動(dòng)人口原則上幾乎不作流動(dòng)。假定若干年內(nèi)，流動(dòng)人口總數(shù)保持不變，通過(guò)人口調(diào)查發(fā)現(xiàn)：

（1）在50萬(wàn)流動(dòng)人口中，從事農(nóng)業(yè)生產(chǎn)人員10萬(wàn)、打工人員20萬(wàn)、經(jīng)商人員20萬(wàn);

（2）假如從事農(nóng)業(yè)生產(chǎn)人員每年有20%轉(zhuǎn)變?yōu)閯?wù)工人員，從事農(nóng)業(yè)生產(chǎn)人員每年有20%轉(zhuǎn)變?yōu)榻?jīng)商;

（3）假如打工人員由于整體環(huán)境改變影響每年有10%回家從事農(nóng)業(yè)生產(chǎn)，20%人員轉(zhuǎn)變?yōu)榻?jīng)商辦企業(yè);

（4）如經(jīng)商人員中，由于受整體環(huán)境影響有10%回家從事農(nóng)業(yè)生產(chǎn)，10%變成打工人員。

求若干年后，從事農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、打工人員、經(jīng)商人員總數(shù)是多少？

看到類似問(wèn)題，應(yīng)首先想到用方程組列解，假設(shè)用xn，yn，zn分別表示n年后從事農(nóng)業(yè)生產(chǎn)人員、從事打工人員、從事經(jīng)商人員的數(shù)量，由題意可得到：

zi，則通過(guò)運(yùn)算歸納規(guī)律逐步得出Xi=AXi-1結(jié)論，由低次冪計(jì)算結(jié)果來(lái)正確總結(jié)得出A，A的平方，A的立方等等，再逐步分析歸納得出相應(yīng)結(jié)果：

則第n年為Xn=AnXn-1。由此不難發(fā)現(xiàn)從事3種行業(yè)人數(shù)由A的n次冪決定。上述問(wèn)題正確運(yùn)用了矩陣轉(zhuǎn)置、乘法等運(yùn)算，將一個(gè)實(shí)際問(wèn)題純數(shù)學(xué)化，大大解決了在預(yù)測(cè)未來(lái)人口數(shù)量和發(fā)展趨勢(shì)或環(huán)境發(fā)生改變期間居民外出歸來(lái)方面難題，由此可得出矩陣在實(shí)際生活有著不可替代重要作用，這對(duì)于我們解決實(shí)際問(wèn)題重要性不言而喻。

（二）體現(xiàn)在經(jīng)濟(jì)生活和社會(huì)生活中的重要性

學(xué)過(guò)高代都知道，矩陣是在行列式、多項(xiàng)式、線性方程組的基礎(chǔ)上演變而來(lái)的，運(yùn)用行列式求消耗或運(yùn)用成本最少等類似問(wèn)題，可以看出方便、簡(jiǎn)潔、直觀，增強(qiáng)人們可視性。這方面例子較多，在此略舉一例：

比如某某生產(chǎn)口罩廠家產(chǎn)品主要分為3種：一次性口罩、醫(yī)用口罩、N95口罩（其他類型略），出現(xiàn)整體環(huán)境發(fā)生變化前口罩需求量一般都較少，那時(shí)人們普遍沒(méi)有戴口罩習(xí)慣，又加上認(rèn)識(shí)不到位。自2020年來(lái)，整體環(huán)境和生活環(huán)境出現(xiàn)了較大變化，又加上大家對(duì)個(gè)人安全保護(hù)防護(hù)認(rèn)識(shí)進(jìn)一步加深，戴口罩慢慢成為一種習(xí)慣，因此口罩需求量加大，要加大生產(chǎn)量和提升生產(chǎn)進(jìn)度，隨之員工工資和原料費(fèi)用也隨之上漲，如圖所示：

由此可見(jiàn)矩陣低次冪求解，可以直接按照矩陣乘法的定義求解，利用矩陣乘法，就可以得出3類口罩平時(shí)總成本107500（45000+350000+27500），環(huán)境發(fā)生改變時(shí)期總成本910000（360000+320000+230000），比較直觀顯示此工廠生產(chǎn)3種類型口罩總成本。

（三）體現(xiàn)在對(duì)機(jī)器學(xué)習(xí)或圖形變換上的重要性

在機(jī)器學(xué)習(xí)方面，首先要在數(shù)據(jù)集應(yīng)用于機(jī)器學(xué)習(xí)模型前，對(duì)數(shù)據(jù)集進(jìn)行預(yù)處理，如在數(shù)據(jù)去噪音、降維方面，就可提高模型預(yù)測(cè)準(zhǔn)確率，主要表現(xiàn)在求解數(shù)據(jù)集協(xié)方差矩陣的特征向量，將向量值從高到低排隊(duì)，選取幾個(gè)向量值對(duì)應(yīng)向量作為新的坐標(biāo)向量，然后將所有數(shù)據(jù)變換新坐標(biāo)系上，進(jìn)而得到低噪音低維后數(shù)據(jù)集合。在圖形變換上，如在解析幾何中設(shè)立一個(gè)三角形ABC，其坐標(biāo)點(diǎn)A（1，2），B（3，4），C（5，6）。設(shè)其向x軸反向位移2個(gè)單位，y軸正向位移2個(gè)單位，求平移后各點(diǎn)坐標(biāo)及相應(yīng)變換矩陣？

我們由題意不難得出方程x1=x0-2

y1=y0+2，由此則可得變換后坐標(biāo)點(diǎn)A（-1，4），B（1，6），C（3，8），A1=121

341

561（矩陣變換前）

由題知：圖形變換前，A（1，2，1）、B（3，4，1），C（5，6，1）。平移矩陣后就可以得到：A（1，4，1）、B（1，6，1），C（3，8，1）。用矩陣表示A1+A0=A2，且A0=-2

2

1，A2=-141

161

381（A1和A2第一行分別表示平移前后A點(diǎn)坐標(biāo)，第二行分別表示B點(diǎn)平移前后坐標(biāo)，第三行分別表示C點(diǎn)平移前后坐標(biāo)）。由此發(fā)現(xiàn)一種圖形變換對(duì)應(yīng)一個(gè)矩陣運(yùn)算，由矩陣前后變換可見(jiàn)圖形變換體現(xiàn)出直觀，簡(jiǎn)潔，統(tǒng)一，奇異等特點(diǎn)，大大提升我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)積極性、創(chuàng)造性，激勵(lì)我們一定要把數(shù)學(xué)這門基礎(chǔ)學(xué)科學(xué)好。

（四）體現(xiàn)在對(duì)于傳遞戰(zhàn)爭(zhēng)情報(bào)和商業(yè)情報(bào)上的重要性

如26個(gè)英文字母A、B、C、D、E、F……Z，對(duì)應(yīng)相應(yīng)阿拉伯?dāng)?shù)字1、2、3、4、5、6、……26，再選取一個(gè)密鑰矩陣如A=111

-101

011而對(duì)密鑰矩陣要求，即為矩陣可逆，然后求出其逆矩陣A-1，這對(duì)戰(zhàn)爭(zhēng)中情報(bào)傳遞和商業(yè)情報(bào)獲取或商業(yè)信息傳遞尤為重要。求解逆矩陣主要是以矩陣的初等變換（行、列變換）為基礎(chǔ)的方法，作為求逆矩陣的一般方法，并且可以推廣分塊矩陣去解決高階三角形矩陣求逆，另外就是利用矩陣與其伴隨矩陣的乘積，加上行列式的依靠依列展開(kāi)式的性質(zhì)求矩陣的逆矩陣。同時(shí)要求相應(yīng)工作人員在熟知明文（未編碼信息）、密文（譯成代碼信息）、編碼（明文轉(zhuǎn)成代碼的教程）、譯碼（由代碼轉(zhuǎn)成明文的過(guò)程）的基礎(chǔ)上，熟悉工作原理，其主要原理就是選擇一個(gè)n階可逆矩陣作為加密矩陣，將明文字符按順序排列分組，將明文字符對(duì)應(yīng)一個(gè)整數(shù)，組成一組列向量，用加密矩陣端乘每列向量即可。解密即把計(jì)算密鑰矩陣的逆矩陣A-1，最后得到一個(gè)明文對(duì)應(yīng)于一個(gè)字符。

例如二戰(zhàn)時(shí)期，前蘇聯(lián)曾截獲前納粹德國(guó)一份情報(bào)，即前蘇聯(lián)一個(gè)情報(bào)人員對(duì)象發(fā)出的，I?miss?you，一般人看來(lái)無(wú)非是熱戀男女愛(ài)情表白，然前蘇聯(lián)情報(bào)人員并沒(méi)有放松警惕，由此展開(kāi)研究，由情報(bào)密碼可知其對(duì)應(yīng)數(shù)為9，27（空格），13，9，19，19，27（空格），25，15，21，由于加密矩陣為三階，原明碼矩陣可以變成三行陣即Y=9

11-1，則解碼，A-1AY=Y，最后通過(guò)密碼規(guī)則得出是一條重要情報(bào)，并審查出其女友是前納粹一名諜報(bào)人員，并及時(shí)改變作戰(zhàn)計(jì)劃和戰(zhàn)略部署，造成假象迷惑對(duì)方，避免人員、裝備、財(cái)產(chǎn)損失，為爭(zhēng)取戰(zhàn)爭(zhēng)主動(dòng)權(quán)立下奇功。由此可見(jiàn)將矩陣和逆矩陣及密碼學(xué)有機(jī)結(jié)合起來(lái)，運(yùn)用到軍事情報(bào)中，充分顯現(xiàn)矩陣運(yùn)用在戰(zhàn)爭(zhēng)情報(bào)中重要性不言而喻。

同理矩陣在商業(yè)信息中運(yùn)用也較為廣泛，存在不可比擬重要性，這點(diǎn)在現(xiàn)代商業(yè)中尤為突顯，把26個(gè)不同字母對(duì)應(yīng)數(shù)字進(jìn)行不同排列，再選擇不同可逆矩陣，不同映射關(guān)系，就是得到不同矩陣，這樣就有很多種加密和解密方式，這樣就確保傳遞商業(yè)信息秘密性，確保商業(yè)消息安全。

三、結(jié)語(yǔ)

通過(guò)矩陣在人口預(yù)測(cè)、經(jīng)濟(jì)生活、圖形變換、戰(zhàn)爭(zhēng)和商業(yè)等方面的應(yīng)用探討，充分體現(xiàn)出矩陣在實(shí)際生活中存在一定重要性，體現(xiàn)出矩陣直觀、簡(jiǎn)潔、明了等特點(diǎn)，這對(duì)提升學(xué)好數(shù)學(xué)興趣、探索數(shù)學(xué)秘密，打牢數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，加深矩陣研究，做好理論實(shí)踐有機(jī)結(jié)合，使矩陣廣泛運(yùn)用在實(shí)際工作生活中去，更好為實(shí)際工作生活服務(wù)，具有重要意義。

參考文獻(xiàn)：

[1]《線性代數(shù)及其應(yīng)用》（第二版）.華東理工大學(xué)出版社.

[2]《線性代數(shù)及其應(yīng)用》（第二版）.天津大學(xué)數(shù)學(xué)系代數(shù)教研組.

[3]陸楓，何云峰.計(jì)算機(jī)圖形學(xué)基礎(chǔ)[M].北京：電子工業(yè)出版社.

[4]楊義先.高維矩陣在密碼學(xué)中應(yīng)用.北京郵電學(xué)院學(xué)報(bào).