隨機(jī)波動(dòng)率和隨機(jī)利率下離散障礙期權(quán)定價(jià)

摘?要：本文主要對(duì)離散時(shí)間情形下的標(biāo)的資產(chǎn)滿足隨機(jī)波動(dòng)率和隨機(jī)利率模型的歐式障礙期權(quán)定價(jià)進(jìn)行研究，應(yīng)用Ito^公式、Fourier反變換，F(xiàn)eynmanKac定理，PDF方程和Girsanov測(cè)度變換和數(shù)學(xué)歸納法，推導(dǎo)出了隨機(jī)波動(dòng)率和隨機(jī)利率模型下歐式離散障礙期權(quán)的定價(jià)公式。

關(guān)鍵詞：障礙期權(quán);Fourier反變換;隨機(jī)波動(dòng)率;隨機(jī)利率

中圖分類號(hào)：O212.9??文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

1?緒論

障礙期權(quán)（Barrier?Options）是一種具有代表性的奇異期權(quán)且是隨著國(guó)際金融市場(chǎng)結(jié)構(gòu)不斷地?cái)U(kuò)大，為了更加符合當(dāng)今金融體系的時(shí)代特色。金融從業(yè)者設(shè)計(jì)出了奇異期權(quán)，它是一類比標(biāo)準(zhǔn)歐式或美式期權(quán)盈虧狀態(tài)更加復(fù)雜，但是卻更加符合投資者收益的金融衍生產(chǎn)品，大多數(shù)奇異期權(quán)在場(chǎng)外交易。障礙期權(quán)（barrier?options）是路徑依賴型奇異期權(quán)中一種非常熱受投資者歡迎的一種期權(quán)，期權(quán)的終期收益率不僅僅和標(biāo)的資產(chǎn)到期收益日的價(jià)格有關(guān)，而且還與標(biāo)的資產(chǎn)在整個(gè)投資時(shí)間內(nèi)能否達(dá)到某一特定的關(guān)卡或障礙值息息相關(guān)。按照合約有效期內(nèi)標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格與某一設(shè)定好的障礙值大小關(guān)系。

障礙期權(quán)分為兩大類：敲出期權(quán)和敲入期權(quán)。敲入期權(quán)是指當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格觸及規(guī)定的障礙值時(shí)，合約生效;而敲出期權(quán)則是當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格達(dá)到指定的障礙值時(shí)，合約失效。目前，國(guó)內(nèi)外學(xué)者，在研究隨機(jī)波動(dòng)率和隨機(jī)利率模型下障礙期權(quán)的定價(jià)問題方面，做出了很多的成果，也取得了很大的成績(jī)。根據(jù)在期權(quán)有效期內(nèi)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格是否大于障礙值。Broadie和Kou[1997]推導(dǎo)出了在標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格滿足BS模型下的歐式離散障礙期權(quán)價(jià)格的近似顯示解析公式;Fusai和Recchioni[2007]在Kou研究的基礎(chǔ)上進(jìn)一步研究了離散時(shí)間的障礙期權(quán)的定價(jià)方法;溫鮮[2010]，在隨機(jī)波動(dòng)率滿足hullwhite模型的情況下，運(yùn)用鞅方法，對(duì)歐式下降敲出歐式看漲障礙期權(quán)進(jìn)行了定價(jià);薛廣明與鄧國(guó)和[2018]，在Bates模型下，得到了離散時(shí)障礙期權(quán)價(jià)格的封閉解，并與Merton模型下離散障礙期權(quán)的價(jià)格進(jìn)行了對(duì)比;楊瑩[2019]在CIR隨機(jī)波動(dòng)率模型下，推導(dǎo)出CIR模型下障礙期權(quán)的定價(jià)公式。

2?市場(chǎng)模型與預(yù)備知識(shí)

2.1?市場(chǎng)模型及假設(shè)

假設(shè)在資本市場(chǎng)中投資無(wú)摩擦、無(wú)套利存在，在投資可交易時(shí)間[0，T]內(nèi)可以進(jìn)行連續(xù)的交易，買空，賣空風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率下可以進(jìn)行任意的存款、借款。在本文中設(shè)風(fēng)險(xiǎn)中性概率測(cè)度為Q，在風(fēng)險(xiǎn)中性概率測(cè)度Q下，假設(shè)資產(chǎn)價(jià)格過程St滿足如下隨機(jī)波動(dòng)率v和隨機(jī)利率r模型：

參數(shù)θ1，k1，θ2，k2，σv，σr均為非負(fù)常數(shù)，其分別表示為隨機(jī)波動(dòng)率v和隨機(jī)利率r的長(zhǎng)期水平，均值回復(fù)速度和波動(dòng)性方差。其中，（1）W1，Wv，W2，Wr，均為Brownian運(yùn)動(dòng)，且d[W1，Wv]t=ρ1dt，d[W2，Wr]t=ρ2dt，W2，Wr獨(dú)立于W1，Wv。（2）參數(shù)滿足的穩(wěn)定性條件為：2θ1σv>1，2θ2σr>1。

此類模型可以更好的捕捉波動(dòng)率和利率變化的動(dòng)態(tài)特征，從而使遠(yuǎn)期生效亞式期權(quán)的定價(jià)更契合復(fù)雜多變的金融市場(chǎng)環(huán)境。本文將以下降敲出看漲歐式障礙期權(quán)為例，研究的下降敲出看漲歐式障礙期權(quán)的定價(jià)公式，其他類型的歐式障礙期權(quán)可類比進(jìn)行研究。令Xt=lnSt，則由Ito^公式有：

2.2?聯(lián)合特征函數(shù)

引理2.1：設(shè)St滿足上述隨機(jī)波動(dòng)率和隨機(jī)利率模型，則特征函數(shù)φ（t，x，v，r;a，b，c，T）具解析表達(dá)式：

expiax+Aτ，a，b，cv+B（τ，a，b，c）r+C（τ，a，b，c）

其中：

τ=T-t，f1（a）

=ρ1σvia-k1，g1（a）

=12（ia）2-12ia，h1（a）

=[f21（a）-2g1（a）σ2v]12

f2（a）=ρ2σria-k2，g2（a）

=-12a2+12ia-1，h2（a）

=[f22（a）-2g2（a）σ2r]12

q1（a，b）=σ2vib+f1（a）-h1（a）σ2vib+f1（a）+h1（a），q2（a，c）

=σ2ric+f2（a）-h2（a）σ2ric+f2（a）+h2（a）

A（τ，a，b，c）=1σ2v[2h1（a）1-q1（a，b）eτh1（a）-f1（a）-h1（a）]

B（τ，a，b，c）=1σ2r[2h2（a）1-q2（a，c）eτh1（a）-f2（a）-h2（a）]

C（τ，a，b，c）=θ1σ2v[2ln1-q1（a，b）eτh1（a）1-q1（a，b）-τf1（a）-τh1（a）]

+θ2σ2r[2ln1-q2（a，c）eτh2（a）1-q1（a，c）-τf2（a）-τh2（a）]

證明：由半鞅Ito^公式和FeynmanKac定理可知，φ（t，x，v，r;a，b，c，T）=φ（t，x，v，r）滿足下列偏微分方程（PDE）：

φt+12（r-v）φx+12（v+r）2φx2+（θ1-k1v）φv+12σ2vv2φv2

+ρ1σvv2φxv+12σ2rr2φr2+ρ2σrr2φxr+（θ2-k2r）φr-rφ=0

φ（T，x，v，r;a，b，c，T）=expaXT+ibVT+icrt

由于該模型具有仿射結(jié)構(gòu)特征，因此偏微分方程（PDE）的解具有指數(shù)形式：

expiax+A（τ，a，b，c）v+B（τ，a，b，c）r+C（τ，a，b，c）

于是將其帶入偏微分方程中，得到偏微分方程：

Atv+Btr+Ct+12（r-v）ia+12（v+r）（ia）2+12σvvA2+（θ1-k1v）A+ρ1σvviaA+12σrrB2+（θ2-k2r）B+ρ2σrriaB-r=0

則待定系數(shù)A（t）=A（t，a，b，c），B（t）=B（t，a，b，c），C（t）=C（t，a，b，c）分別滿足下列常微分方程：

At-12ia+12（ia）2-k1A+12σ2vA2+ρ1σv（ia）A=0

AT，a，b，c=ib

Bt+12ia+12（ia）2-k2B+12σ2vB2+ρ2σr（ia）B-1=0

BT，a，b，c=ic

Ct+θ1A+θ2B=0

CT，a，b，c=0

解方程，方程改寫成：

Aτ=12σ2vA2+f1（a）A+g1（a）

A（0）=ib

對(duì)第一式兩邊在0，τ上同時(shí)積分，得：

τ0dA12σ2vA2+f1（a）A+g1（a）=τ

再根據(jù)不定積分的公式設(shè)σv>0

dxax2+bx+c=1b2-4acln2ax+bb2-4ac2ax+b+b2-4ac

得：

τ=1h1（a）lnσ2vA（τ）+f1（a）h1（a）σ2vA（τ）+f1（a）+h1（a）

-1h1（a）lnσ2vA（0）+f1（a）h1（a）σ2vA（0）+f1（a）+h1（a）

σ2vA（τ）+f1（a）h1（a）σ2vA（τ）+f1（a）+h1（a）

=σ2vb+f1（a）h1（a）σ2vb+f1（a）+h1（a）eτh1（a）

=q1（a，b）eτh1（a）

解得：

A（τ）=1σ2v2h1（a）1-q1（a，b）eτh1（a）-f1（a）-h1（a）

同理可得：

B（τ）=1σ2r2h2（a）1-q2（a，c）eτh2（a）-f2（a）-h2（a）

對(duì)于Cτ=θ1A+θ2B

C（0）=0解得：

C（τ）=θ1σ2v[2ln1-q1（a，b）eτh1（a）1-q1（a，b）-τf1（a）-τh1（a）]

+θ2σ2r[2ln1-q2（a，c）eτh2（a）1-q1（a，c）-τf2（a）-τh2（a）]

如果，令a=0，b=0，c=0，則在t時(shí)刻到期日為T的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)零息債券的價(jià)格為：

P（t，T）=E[e-Ttrsds]=φ（T，x，v，r;0，0，0，T）

引理2.2：設(shè)0

φ（a，b，c）=EPexpTtRsds+∑mk=1iakXtk+∑mk=1ibkVtk∑mk=1ickRtkFt0

=φ（t，a，b，c;x，v，r，t1，t2，t3…，tm）

=exp∑mk=1iakxt+A1vt+B1rt+∑mk=1Ck

其中：

Am=Atm-tm-1，am，bm，cm，

A2=At2-t1，∑mk=2ak，b2-A3，c2-B3，

A1=At1-t，∑mk=1ak，b1-A2，c1-B2，

Bm=Btm-tm-1，am，bm，cm，

B2=Bt2-t1，∑mk=2ak，b2-A3，c2-B3

B1=Bt1-t，∑mk=1ak，b1-A2，c1-B2

Cm=Ctm-tm-1，am，bm，cm

C2=Ct2-t1，∑mk=2ak，b2-A3，c2-B3

C1=Ct1-t，∑mk=1ak，b1-A2，c1-B2

證明：（1）當(dāng)m=1時(shí)，設(shè)0

（2）當(dāng)m=2時(shí)，設(shè)0

（3）假設(shè)當(dāng)m=k時(shí)，等式成立，則當(dāng)m=k+1時(shí)，0

即，當(dāng)m=k+1時(shí)，結(jié)論仍成立，綜上，得證。

3?歐式離散障礙期權(quán)定價(jià)

利用上面推導(dǎo)出的多維特征函數(shù)公式，Girsanov測(cè)度變換，數(shù)學(xué)歸納法和Fourier反變換方法等方法，求出下降敲出看漲歐式離散障礙期權(quán)的定價(jià)公式。

定理1考慮離散歐式下降敲出看漲期權(quán)，假設(shè)當(dāng)m=2時(shí)，具有兩個(gè)離散時(shí)間點(diǎn)0

V2DOC=EQeTtrsds（ST-K）+1（St1>L，ST>L）Ft

=EQeTtrsdsST1（St1>L，ST>L）-EQeTtrsdsK1（St1>L，ST>L）

=I1-I2

分別定義兩個(gè)新的概率測(cè)度P1，P2

dP1dPFt=STe-TtrsdsSt，dP2dPFt=e-TtrsdsP（t，T）

計(jì)算I1，I2，由Fourier反變換得：

其中：

ψ1a1，a2=EP1e-a1Xt1-a2XT=eTtrsdsStφa1，a2-i;

ψ2a1，a2=EP2e-a1Xt1-a2XT=1P（t，T）φa1，a2

定理2具有n個(gè)離散的時(shí)間點(diǎn)0

其中：

4?結(jié)語(yǔ)

運(yùn)用Ito^公式、Fourier反變換，F(xiàn)eynmanKac定理，PDF方程和Girsanov測(cè)度變換等一些隨機(jī)分析技術(shù)和數(shù)學(xué)歸納法，求出隨機(jī)利率和隨機(jī)波動(dòng)率模型下歐式離散障礙期權(quán)的定價(jià)公式。該方法主要是將復(fù)雜的求解期權(quán)定價(jià)公式簡(jiǎn)單化，因此可以應(yīng)用到該模型下的其他奇異期權(quán)定價(jià)過程中。

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作者簡(jiǎn)介：郭培青（1995—?），男，漢族，安徽蚌埠人，碩士，學(xué)生，研究方向：金融工具與金融數(shù)學(xué)。