管理會(huì)計(jì)中數(shù)學(xué)邊際分析模型的應(yīng)用研究

尹湘萍

（云南財(cái)經(jīng)職業(yè)學(xué)院，云南 昆明 650222）

1 管理會(huì)計(jì)和數(shù)學(xué)模型的關(guān)系

為突出數(shù)學(xué)模型與管理會(huì)計(jì)的充分應(yīng)用，本文對(duì)數(shù)學(xué)和管理會(huì)計(jì)知識(shí)不作復(fù)述，主要闡述兩學(xué)課的交叉融合點(diǎn)。數(shù)學(xué)模型是對(duì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題通過(guò)數(shù)學(xué)方法抽象，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)概括表述問(wèn)題的內(nèi)涵，再對(duì)此問(wèn)題進(jìn)行求解，最終達(dá)到解決和優(yōu)化這一問(wèn)題的目的。數(shù)學(xué)模型既源于現(xiàn)實(shí)又高于現(xiàn)實(shí),不是實(shí)際原形,而是一種模擬,在數(shù)值上可以作為公式應(yīng)用,可以推廣到與原物相近的處理一類(lèi)問(wèn)題。管理會(huì)計(jì)便是通過(guò)數(shù)學(xué)模型的建立，并根據(jù)管理會(huì)計(jì)中定量的數(shù)據(jù)信息進(jìn)行科學(xué)的數(shù)學(xué)分析，可以使人們更科學(xué)和深入地理解管理會(huì)計(jì)內(nèi)部客觀變化規(guī)律，幫助我們用量化的思想做出優(yōu)化和決策。

2 管理會(huì)計(jì)中的邊際分析理論舉例

在管理會(huì)計(jì)問(wèn)題中，常常需要考慮某些經(jīng)濟(jì)函數(shù)的變化率，即經(jīng)濟(jì)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，習(xí)慣將導(dǎo)數(shù)稱(chēng)為邊際，而將利用導(dǎo)數(shù)對(duì)經(jīng)濟(jì)函數(shù)進(jìn)行分析的方法稱(chēng)為邊際分析方法。

邊際分析方法是管理會(huì)計(jì)中一種重要的處定量分析經(jīng)濟(jì)數(shù)量關(guān)系的數(shù)學(xué)模型方式，下面進(jìn)行討論。若f(x)是一個(gè)可導(dǎo)的經(jīng)濟(jì)函數(shù)，則稱(chēng)其導(dǎo)函數(shù)f'(x)為經(jīng)濟(jì)函數(shù)f(x)的邊際函數(shù)，并稱(chēng)導(dǎo)數(shù)值f'(x0)為經(jīng)濟(jì)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的邊際函數(shù)值，且f'(x0)表示經(jīng)濟(jì)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的變化速度。西方經(jīng)濟(jì)學(xué)在數(shù)學(xué)中的“導(dǎo)數(shù)”思想出現(xiàn)后，就將函數(shù)的瞬時(shí)變化率作為研究方法引入到經(jīng)濟(jì)分析中，將其稱(chēng)為邊際函數(shù)。“邊際”概念的出現(xiàn)曾引發(fā)了經(jīng)濟(jì)學(xué)研究方法的革命，是現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)學(xué)誕生的標(biāo)志。經(jīng)濟(jì)學(xué)中的“邊際”和數(shù)學(xué)中的“變化率”的計(jì)算方法都是而這種計(jì)算方法在數(shù)學(xué)上就是求導(dǎo)數(shù)。利用導(dǎo)數(shù)求邊際，便于理解掌握。邊際函數(shù)值f'(x0)的經(jīng)濟(jì)意義：當(dāng)函數(shù)的自變量x從x0改變一個(gè)單位(即Δx= 1)時(shí)，函數(shù)的增量為但當(dāng)x改變的“單位”很微小時(shí)，或x的“一個(gè)單位”與x0值相比很小時(shí)，則有近似式它表明：當(dāng)自變量在x0處產(chǎn)生一個(gè)單位的改變時(shí)，函數(shù)f(x)的改變量可近似地用f'(x0)來(lái)表示. 在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，解釋邊際函數(shù)值的具體意義時(shí)，通常略去“近似”二字。然后

故邊際函數(shù)值f'(x0)的經(jīng)濟(jì)意義是：在點(diǎn)x=x0處，當(dāng)自變量x產(chǎn)生一個(gè)單位的改變量(即Δx=1或Δx=?1)時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)值y近似地改變個(gè)單位。在實(shí)際應(yīng)用中，經(jīng)濟(jì)學(xué)家常常略去“近似”二字而直接說(shuō)y改變了個(gè)單位，這就是邊際函數(shù)值的含義。

當(dāng)自變量變?yōu)閮蓚€(gè)時(shí)，相應(yīng)的用多元函數(shù)微分的偏導(dǎo)數(shù)定義邊際函數(shù)，下面舉例說(shuō)明：

假設(shè)某廠商生產(chǎn)兩種型號(hào)電視機(jī)的月成本函數(shù)為C(r,s)=2r2+rs+s2+800000，其中C以元計(jì)，r為每月生產(chǎn)R型電視機(jī)的數(shù)目，s為每月生產(chǎn)S型電視機(jī)的數(shù)目。已知廠商定價(jià)R型電視機(jī)的價(jià)格p1=5000元/臺(tái)，S型電視機(jī)的價(jià)格p2=8000元/臺(tái)。設(shè)該廠商每月生產(chǎn)R型電視機(jī)500臺(tái)，S型電視機(jī)700臺(tái)，生產(chǎn)的電視機(jī)全部售完． 試求：

(1) 月成本與邊際月成本，并解釋其經(jīng)濟(jì)意義；

(2) 月收益與邊際月收益，并解釋其經(jīng)濟(jì)意義；

(3) 月利潤(rùn)與邊際月利潤(rùn)，并解釋其經(jīng)濟(jì)意義。

解 (1) 因C(r,s)=2r2+rs+s2+800000，故C r′(r,s)= 4r+s，C s′(r,s)=r+ 2s，從而每月生產(chǎn)R型電視機(jī)500臺(tái)，S型電視機(jī)700臺(tái)時(shí)的月成本與邊際月成本分別為：

Cr′(500,700 )=2700的經(jīng)濟(jì)意義：每月S型電視機(jī)的生產(chǎn)量保持在700臺(tái)不變的情況下，廠商在R型電視機(jī)的產(chǎn)量為500臺(tái)的基礎(chǔ)上每增加(或減少)生產(chǎn)一臺(tái)時(shí)月成本(即投入)約增加(或減少)2700元。

Cs′ (500,700 )=1900的經(jīng)濟(jì)意義：每月R型電視機(jī)的生產(chǎn)量保持在500臺(tái)不變的情況下，廠商在S型電視機(jī)的產(chǎn)量為700臺(tái)的基礎(chǔ)上每增加(或減少)生產(chǎn)一臺(tái)時(shí)月成本(即投入)約增加(或減少)1900元。

(2) 因廠商的月收益函數(shù)為R(r,s) =5000r+8000s，故

從而每月生產(chǎn)R型電視機(jī)500臺(tái)，S型電視機(jī)700臺(tái)時(shí)的月收益與邊際月收益分別為：R( 5 00,700 )=5000 ×500 +8000 ×700 =8100000(元)；

Rr′(500,700 )=5000的經(jīng)濟(jì)意義：每月S型電視機(jī)的生產(chǎn)量保持在700臺(tái)不變的情況下，廠商在R型電視機(jī)的產(chǎn)量為500臺(tái)的基礎(chǔ)上每增加(或減少)生產(chǎn)一臺(tái)時(shí)月收益約增加(或減少)5000元，該值恰好是R型電視機(jī)的價(jià)格。

Rs′(500,700 )=8000的經(jīng)濟(jì)意義：每月R型電視機(jī)的生產(chǎn)量保持在500臺(tái)不變的情況下，廠商在S型電視機(jī)的產(chǎn)量為700臺(tái)的基礎(chǔ)上每增加(或減少)生產(chǎn)一臺(tái)時(shí)月收益約增加(或減少)8000元，該值恰好是S型電視機(jī)的價(jià)格。

(3) 因廠商的利潤(rùn)函數(shù)為L(zhǎng)(r,s)=R(r,s) ?C(r,s)，即

從而每月生產(chǎn)R型電視機(jī)500臺(tái)，S型電視機(jī)700臺(tái)時(shí)的月利潤(rùn)與邊際月利潤(rùn)分別為：

Lr′( 5 00,700 )=2300的經(jīng)濟(jì)意義：每月S型電視機(jī)的生產(chǎn)量保持在700臺(tái)不變的情況下，廠商在R型電視機(jī)的產(chǎn)量為500臺(tái)的基礎(chǔ)上每增加(或減少)生產(chǎn)一臺(tái)時(shí)月利潤(rùn)約增加(或減少)2300元。

Ls′( 5 00,700 )=6100的經(jīng)濟(jì)意義：每月R型電視機(jī)的生產(chǎn)量保持在500臺(tái)不變的情況下，廠商在S型電視機(jī)的產(chǎn)量為700臺(tái)的基礎(chǔ)上每增加(或減少)生產(chǎn)一臺(tái)時(shí)月利潤(rùn)約增加(或減少)6100元。

3 邊際分析方法在擇優(yōu)分配原理中的應(yīng)用

在管理會(huì)計(jì)的經(jīng)濟(jì)工作中，經(jīng)常遇到分配問(wèn)題，所謂分配問(wèn)題就是將供應(yīng)有限的資源分給若干部門(mén)，以得到最佳的經(jīng)濟(jì)效果。這里的資源，可以是能源、資金、外匯、礦石、木材，甚至可以是人力、時(shí)間、土地等。為了判斷一個(gè)分配方案是否優(yōu)于另一個(gè)，必須有評(píng)價(jià)的標(biāo)準(zhǔn)。如果評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)還沒(méi)有建立起來(lái)，討論優(yōu)劣便沒(méi)有任何意義，建立評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)是經(jīng)濟(jì)學(xué)上的基本問(wèn)題之一，本文不準(zhǔn)備對(duì)這個(gè)問(wèn)題加以討論，而是假定已經(jīng)具備了這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)以后，討論如何制訂分配方案的方法。如果只有一個(gè)部門(mén)參加分配，最佳分配量是使收益獲得最大的量。如果收益對(duì)于分配的函數(shù)關(guān)系為已知，則通過(guò)微分方法可以求得切線(xiàn)為水平處的分配量X*為最佳分配量，見(jiàn)圖一。如果資源量少于X*，則顯然應(yīng)將全部資源分配完，因?yàn)槭找骐S著分配而增長(zhǎng)。

圖一 邊際產(chǎn)出

從這里所舉的例子我們可以看到，“收益”盡管在不同的情況下可以有不同的計(jì)量方法，例如鐵礦石的分配的收益可以是產(chǎn)出的生鐵量，電能的分配的收益可以是由于分配電能而得到的產(chǎn)值，資金的分配的收益可以是利潤(rùn)數(shù)等，但所有這些收益均必須是純收益，即扣除支出以后的收益。否則，對(duì)于虧損企業(yè)，分配量越多虧損越大，盡管毛收益也隨著分配而增加。

當(dāng)有幾個(gè)部門(mén)參加分配時(shí)，顯然不能用簡(jiǎn)單的微分方法求得最優(yōu)解?？紤]只有兩個(gè)部門(mén)參加分配的情況．我們先定義收益g對(duì)于分配x的導(dǎo)數(shù)，稱(chēng)為邊際收益率，或邊際產(chǎn)出率。對(duì)于這兩個(gè)部門(mén)各有其收益函數(shù)g1(x1)及g2(x2) ．對(duì)應(yīng)于任何一個(gè)分配方案，兩個(gè)部門(mén)各有其邊際收益率見(jiàn)圖二。如果這兩個(gè)邊際產(chǎn)出率不相等，這個(gè)分配方案必有改善的可能。設(shè)想對(duì)邊際收益率較大的第一部門(mén)增加微量分配dx，同時(shí)對(duì)邊際收益率較小的第二部門(mén)減少分配dx，則在總分配額x1+x2=X不變的條件下，兩部門(mén)的總收益可以獲得增量時(shí)，分配方案可以繼續(xù)改進(jìn)，因此不是最優(yōu)分配方案，僅當(dāng)兩部門(mén)具有同樣的邊際收益率時(shí)，分配方案才可能是最優(yōu)的。

圖二 投入和產(chǎn)出——分配和收益

當(dāng)有多于兩個(gè)部門(mén)參加分配時(shí)，上面的結(jié)論同樣成立，因?yàn)槿绻幸粋€(gè)最優(yōu)分配方案，則任意兩個(gè)部門(mén)之間均應(yīng)具有同樣的邊際收益率。否則僅對(duì)這兩個(gè)部門(mén)的分配加以調(diào)整就可以改善總收益量，任意兩部門(mén)都有相同的邊際收益率，只有當(dāng)所有各部門(mén)的邊際收益率相同時(shí)才有可能。因此，邊際收益率相等是最優(yōu)分配方案的必要條件。

現(xiàn)在考慮收益函數(shù)是凸函數(shù)時(shí)，通過(guò)逐步地微量調(diào)整以改善分配方案，最終會(huì)得到什么結(jié)果？圖一、圖二中所繪的均系凸收益函數(shù)的情況，即對(duì)于同樣的分配量dx，當(dāng)分配數(shù)量x增多時(shí)，如由x=a增加到x=b，a＜ b收益的增量，在改善分配效果時(shí)，是將較大的部門(mén)增加分配量，x增加以后該部門(mén)的必減??；而較小的部門(mén)減少分配量后，增大，這是凹函數(shù)的條件，改善分配的根據(jù)是，經(jīng)過(guò)調(diào)整改善之后各部門(mén)的大的變小，小的變大，因此逐步調(diào)整的結(jié)果是最終將使所有部門(mén)的邊際收益率均收斂于同一數(shù)值λ，即n為參加分配的部門(mén)數(shù)。

如果我們將總資源量X分成若干小份dx，然后一份一份選擇效果最佳的部門(mén)逐步分配下去，這就是一個(gè)擇優(yōu)分配的過(guò)程。此時(shí)最先得到分配的部門(mén)必是在原點(diǎn)附近收益函數(shù)最陡的部門(mén)。以后的分配必定是使最大的部門(mén)優(yōu)先照顧，但因dx是微增量，因此結(jié)果一定是每一個(gè)分配方案都使各部門(mén)具有同樣的邊際收益率。X從零開(kāi)始一直到全部分配完畢，歷經(jīng)了無(wú)數(shù)的分配方案，每個(gè)方案都有的特點(diǎn)，而且它們都是最優(yōu)分配方案，因此，相等邊際產(chǎn)出率同時(shí)又是最優(yōu)分配方案的充分條件．因此可以得出結(jié)論：對(duì)凸的收益函數(shù)，各分配部門(mén)具有相等的邊際產(chǎn)出率，是最優(yōu)分配的充分必要條件。此時(shí)我們還假定了收益曲線(xiàn)是通過(guò)原點(diǎn)的，即分配為零時(shí)收益亦為零。

根據(jù)這個(gè)結(jié)論，我們很容易得到求各部門(mén)最優(yōu)分配量的方法：任意確定一個(gè)切線(xiàn)的斜率即對(duì)各部門(mén)的收益函數(shù)作平行切線(xiàn)，各切點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)xi即為第i部門(mén)應(yīng)該分得的資源量。如果可以改變的值，當(dāng)切線(xiàn)斜度變陡，由于函數(shù)的凸性，各個(gè)xi均變小，反之λ變小時(shí)各個(gè)xi均變大。最后總可試湊使這個(gè)試湊過(guò)程在電子計(jì)算機(jī)上很容易實(shí)現(xiàn)。另一個(gè)求得最優(yōu)分配方案的方法是：由任意一個(gè)滿(mǎn)足的可行方案出發(fā)，不斷優(yōu)化這個(gè)方案，即減少小的部門(mén)的分配量，改配給大的部門(mén)。最后各部門(mén)的均相等時(shí)即為最優(yōu)分配方案。

如果收益函數(shù)是凹的，逐步改善分配的結(jié)果不會(huì)收斂于等邊際收益率。因?yàn)閷?duì)于凹函數(shù)，大的部門(mén)增加分配以后，變得更大，而小的變得更小。

結(jié)果全部資源都將分配給一個(gè)部門(mén)。而且分配的結(jié)果與最初方案的選定有關(guān)，因?yàn)槿抠Y源最終都將分配給最初方案中最大的那個(gè)部門(mén)，而不同的初始分配方案下，各部門(mén)相對(duì)的的大小次序不同。然而凹函數(shù)求極小值時(shí)，完全可以應(yīng)用剛才討論的凸函數(shù)求極大值的理論，在經(jīng)濟(jì)問(wèn)題中成本函數(shù)對(duì)于生產(chǎn)的各種要素（投入的資本、勞力、應(yīng)用的物料、生產(chǎn)進(jìn)度安排等）往往具有凹特性。使成本極小化就可應(yīng)用成本對(duì)生產(chǎn)要素分配量的邊際變化率相等的最優(yōu)化條件，來(lái)確定生產(chǎn)要素的最佳分配。

4 結(jié)語(yǔ)

通過(guò)以上邊際分析實(shí)例可以看出，數(shù)學(xué)模型在管理會(huì)計(jì)中的定量分析越充分，對(duì)企業(yè)管理的決策就越理性和科學(xué)，數(shù)學(xué)模型在管理會(huì)計(jì)中充分融合，將有非常可觀的應(yīng)用前景。