機(jī)電系統(tǒng)一體化建模與動(dòng)力學(xué)仿真向量鍵合圖法*

王中雙,師永珍,尹久政

(齊齊哈爾大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院,黑龍江 齊齊哈爾 161006)

0 引 言

隨著現(xiàn)代機(jī)械裝備性能的不斷提高,系統(tǒng)不再局限于單一的機(jī)械能域,往往由多能域(例如機(jī)、電)子系統(tǒng)所構(gòu)成。以分析力學(xué)及彈性力學(xué)為基礎(chǔ)的各類動(dòng)力學(xué)分析方法(例如牛頓-歐拉動(dòng)力學(xué)方法、拉格朗日方法)及軟件[1,2]僅適用于機(jī)械能域的系統(tǒng),對(duì)于多能域系統(tǒng)的一體化計(jì)算機(jī)建模、動(dòng)力學(xué)仿真及分析存在很大的局限性。

為解決上述問(wèn)題,鍵合圖方法[3]提供了頗具特色的有效途徑,在實(shí)際工程中得到了廣泛的應(yīng)用[4-6]。文獻(xiàn)[7]基于系統(tǒng)鍵合圖的場(chǎng)和結(jié)型結(jié)構(gòu),較詳細(xì)地闡述了用于計(jì)算機(jī)自動(dòng)建立系統(tǒng)狀態(tài)方程的矩陣法,該方法對(duì)于相當(dāng)一部分機(jī)電系統(tǒng)是非常有效的。但在建立多體系統(tǒng)鍵合圖模型時(shí),每個(gè)鍵對(duì)應(yīng)一個(gè)勢(shì)變量和一個(gè)流變量,表達(dá)形式比較繁雜,實(shí)際應(yīng)用非常不便。另外,多體系統(tǒng)鍵合圖模型存在微分因果關(guān)系,也給實(shí)現(xiàn)計(jì)算機(jī)自動(dòng)建模帶來(lái)了非常大的代數(shù)困難。為此,文獻(xiàn)[8]進(jìn)一步擴(kuò)展了鍵合圖的概念,提出了向量鍵合圖法。向量鍵合圖的每個(gè)鍵對(duì)應(yīng)一個(gè)勢(shì)向量和一個(gè)流向量,表達(dá)方式簡(jiǎn)明,包含信息更大。文獻(xiàn)[9,10]分別應(yīng)用向量鍵合圖法實(shí)現(xiàn)了電機(jī)驅(qū)動(dòng)的平面開(kāi)鏈機(jī)械臂系統(tǒng)、計(jì)及運(yùn)動(dòng)副間隙的平面四連桿機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)分析,但由于其向量鍵合圖存在微分因果關(guān)系,建立系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程的方式還都局限于手工推導(dǎo)。文獻(xiàn)[11]將機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)副約束反力向量視作未知?jiǎng)菰聪蛄?添加到系統(tǒng)向量鍵合圖模型相應(yīng)的0-結(jié),可以完全消除微分因果關(guān)系,基于MLSD運(yùn)動(dòng)副間隙模型[12],應(yīng)用向量鍵合圖法實(shí)現(xiàn)了含運(yùn)動(dòng)副間隙的RRR-RRP六連桿壓力機(jī)機(jī)構(gòu)計(jì)算機(jī)建模與動(dòng)力學(xué)仿真。

但是,對(duì)于有些非線性系統(tǒng),其向量鍵合圖貯能場(chǎng)和耗散場(chǎng)方程是非線性的,其建模方法具有很大的局限性。另外,由于MLSD模型采用線性彈簧阻尼描述間隙運(yùn)動(dòng)副的接觸碰撞,實(shí)際應(yīng)用中也具有局限性,例如不能反映碰撞過(guò)程中的能量轉(zhuǎn)換特性,其彈簧阻尼器的參數(shù)難以確定等。

針對(duì)上述問(wèn)題,筆者提出一種適用于計(jì)算機(jī)自動(dòng)建模的向量鍵合圖法,通過(guò)對(duì)計(jì)及驅(qū)動(dòng)電機(jī)、非線性運(yùn)動(dòng)副間隙的曲柄滑塊壓力機(jī)機(jī)構(gòu)系統(tǒng)進(jìn)行一體化自動(dòng)建模與動(dòng)力學(xué)仿真,驗(yàn)證所述方法的可靠性及有效性。

1 系統(tǒng)狀態(tài)方程及運(yùn)動(dòng)副約束反力方程

全積分因果關(guān)系系統(tǒng)鍵合圖模型場(chǎng)和結(jié)型結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 全積分因果關(guān)系統(tǒng)鍵合圖模型場(chǎng)和結(jié)型結(jié)構(gòu)系統(tǒng)獨(dú)立貯能場(chǎng)獨(dú)立運(yùn)動(dòng)的能量變量向量,為m1維列向量;系統(tǒng)獨(dú)立貯能場(chǎng)非獨(dú)立運(yùn)動(dòng)的能量變量向量,為m2維列向量;系統(tǒng)獨(dú)立貯能場(chǎng)獨(dú)立運(yùn)動(dòng)的共能量變量向量,為m1維列向量;系統(tǒng)獨(dú)立貯能場(chǎng)非獨(dú)立運(yùn)動(dòng)的共能量變量向量,為m2維列向量;耗散場(chǎng)的輸入向量、輸出向量,為L(zhǎng)維列向量;系統(tǒng)已知源輸入向量,為ms維列向量;系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)副約束反力向量,為mu維列向量

由圖1可知,對(duì)于系統(tǒng)獨(dú)立貯能場(chǎng),可將其特性方程列寫成如下非線性的形式:

(1)

(2)

對(duì)于系統(tǒng)耗散場(chǎng),可將其特性方程列寫成如下非線性的形式:

(3)

系統(tǒng)的結(jié)型結(jié)構(gòu)方程可寫成如下形式[13]:

(4)

(5)

(6)

(7)

將式(1～7)聯(lián)立,經(jīng)進(jìn)一步代數(shù)處理可建立系統(tǒng)狀態(tài)方程及運(yùn)動(dòng)副約束反力方程。

當(dāng)det(TLE)≠0時(shí),有:

(8)

式中:I1—L×L單位矩陣。

當(dāng)JCL=0時(shí),有:

(9)

2 計(jì)及運(yùn)動(dòng)副間隙的機(jī)電系統(tǒng)向量鍵合圖模型

電機(jī)驅(qū)動(dòng)含間隙曲柄滑塊壓力機(jī)機(jī)構(gòu)系統(tǒng)如圖2所示。

由圖2可知,曲柄AB質(zhì)心位于A點(diǎn),其余各桿件均勻。

驅(qū)動(dòng)電機(jī)參數(shù)如下:電樞線圈電感、電阻分別為L(zhǎng)a=0.05 H,ra=0.4 Ω,換能系數(shù)T=0.678 N·m/A,轉(zhuǎn)子阻尼系數(shù)Da=0.226 N·m·s/rad,電機(jī)輸入電壓Vt=60 V,電樞線圈電流強(qiáng)度ia,其初始值ia(0)=0。

系統(tǒng)向量鍵合圖模型如圖3所示。

圖3 系統(tǒng)向量鍵合圖模型滑塊(刀具)的速度向量;容性元件C10的廣義位移、廣義速度向量,即軸與軸套相互碰撞的壓入深度向量、相對(duì)彈性變形速度向量;δC—軸與軸套相互碰撞的壓入深度;MBC—連桿BC的質(zhì)量矩陣,連桿BC質(zhì)心速度向量,

該系統(tǒng)永磁式直流驅(qū)動(dòng)電動(dòng)機(jī)的鍵合圖模型如圖3中的Ⅰ部分所示[16]。該機(jī)構(gòu)曲柄AB、連桿BC彼此間用轉(zhuǎn)動(dòng)副連接,滑塊(刀具)與機(jī)架通過(guò)移動(dòng)副連接。由于機(jī)構(gòu)運(yùn)行時(shí)滑塊(刀具)沖切工件會(huì)發(fā)生碰撞與沖擊,連接連桿BC與滑塊(刀具)的轉(zhuǎn)動(dòng)副C受實(shí)際沖切力的影響最直接,極易產(chǎn)生磨損,故這里僅計(jì)及轉(zhuǎn)動(dòng)副C的間隙。筆者分別建立圖2所示機(jī)構(gòu)各構(gòu)件的向量鍵合圖模型,將其按照機(jī)構(gòu)的上述運(yùn)動(dòng)約束關(guān)系鍵接起來(lái),可以建立計(jì)及運(yùn)動(dòng)副間隙的曲柄滑塊壓力機(jī)機(jī)構(gòu)向量鍵合圖模型,將其與圖3Ⅰ驅(qū)動(dòng)電機(jī)的鍵合圖模型進(jìn)一步鍵接,可以建立圖2所示機(jī)電系統(tǒng)完整的向量鍵合圖模型。其中,間隙轉(zhuǎn)動(dòng)副C的向量鍵合圖模型如圖3中的Ⅱ部分所示。

轉(zhuǎn)動(dòng)副C間隙模型簡(jiǎn)圖如圖4所示。

圖4 轉(zhuǎn)動(dòng)副C間隙模型簡(jiǎn)圖Ri—軸套的半徑;Rj—軸的半徑;旋轉(zhuǎn)鉸C軸與軸套的偏心向量;e—旋轉(zhuǎn)鉸C軸與軸套的偏心量

由圖4可知:間隙轉(zhuǎn)動(dòng)副C用修正非線性連續(xù)接觸碰撞力混合模型來(lái)描述。該模型是在L-N碰撞力模型[17]及改進(jìn)彈性基礎(chǔ)模型[18]的基礎(chǔ)上提出的,解決了碰撞剛度系數(shù)的取值問(wèn)題,且不受間隙尺寸和恢復(fù)系數(shù)的限制,實(shí)際應(yīng)用中能夠更精確地描述運(yùn)動(dòng)副間隙。構(gòu)件i表示軸套,構(gòu)件j表示軸,Oi、Oj分別為軸套和軸的軸心點(diǎn)。

設(shè)軸與軸套的半徑差為c,則有:

δC=e-c

(10)

c=Ri-Rj

(11)

為建立間隙轉(zhuǎn)動(dòng)副C的向量鍵合圖模型,筆者將間隙轉(zhuǎn)動(dòng)副碰撞力進(jìn)一步歸納整理成向量形式:

(12)

(13)

(14)

(15)

3 系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)仿真及分析

由本文所述方法可得圖3中與圖1相對(duì)應(yīng)的向量,其中:

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

由圖3所示系統(tǒng)向量鍵合圖,可以建立方程(1～3)的函數(shù)關(guān)系矩陣:

(24)

(25)

同時(shí),也可以確定方程(4～7)中的函數(shù)系數(shù)矩陣。

無(wú)間隙機(jī)構(gòu)、有間隙機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)副C約束反力合力曲線、滑塊(刀具)加速度曲線、運(yùn)動(dòng)副B約束反力合力曲線如圖5所示。

圖5 機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果曲線

為驗(yàn)證上述仿真結(jié)果的可靠性,筆者應(yīng)用牛頓-歐拉動(dòng)力學(xué)方法及電工學(xué)方法,分別建立該系統(tǒng)機(jī)械部分及驅(qū)動(dòng)電機(jī)的動(dòng)力學(xué)方程,并聯(lián)立求解。

無(wú)間隙機(jī)構(gòu)牛頓-歐拉動(dòng)力學(xué)方法驗(yàn)證的部分結(jié)果如表1所示。

表1 無(wú)間隙機(jī)構(gòu)牛頓-歐拉動(dòng)力學(xué)方法驗(yàn)證的部分結(jié)果

含間隙機(jī)構(gòu)牛頓-歐拉動(dòng)力學(xué)方法驗(yàn)證的部分結(jié)果如表2所示。

表2 有間隙機(jī)構(gòu)牛頓-歐拉動(dòng)力學(xué)方法驗(yàn)證的部分結(jié)果

由表1、表2可知:牛頓-歐拉動(dòng)力學(xué)方法驗(yàn)證的部分結(jié)果與用本文方法所得結(jié)果是一致的。為更加清晰、直觀地表達(dá)這一點(diǎn),將表1、表2所列數(shù)據(jù)用涂黑的圓點(diǎn)表示在圖5中,結(jié)果顯示這些圓點(diǎn)均在相對(duì)應(yīng)的仿真曲線上。這一驗(yàn)證過(guò)程手工處理量較大,比較費(fèi)時(shí)且容易出錯(cuò)。

由此可見(jiàn),本文方法具有如下明顯的優(yōu)勢(shì):(1)將機(jī)電耦合系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)建模以統(tǒng)一的程式化方式由計(jì)算機(jī)來(lái)完成,提高了系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)建模與仿真工作的自動(dòng)化程度及可靠性;(2)與現(xiàn)有的鍵合圖方法相比較,本文所推出的系統(tǒng)狀態(tài)方程更具有通用性,特別適用于Fi1、Fi2、R為狀態(tài)變量函數(shù)矩陣的非線性系統(tǒng)。

由圖5可知：曲柄的初始位置角為180°;曲柄由初始位置逆時(shí)針轉(zhuǎn)720°,機(jī)構(gòu)完成2個(gè)周期的運(yùn)動(dòng)。

由圖5(a,b)可得:在系統(tǒng)運(yùn)行過(guò)程中,對(duì)于有間隙及無(wú)間隙的運(yùn)動(dòng)副C,其約束反力曲線總體變化趨勢(shì)相近。不考慮間隙時(shí),運(yùn)動(dòng)副C的約束反力曲線較光滑。運(yùn)動(dòng)副間隙導(dǎo)致其軸與軸套間產(chǎn)生脈沖式的間隙碰撞力,使有間隙的運(yùn)動(dòng)副C約束反力曲線呈高頻振蕩狀態(tài),其最大幅值明顯增大。角位移q1=719.983 5°時(shí),無(wú)間隙運(yùn)動(dòng)副C約束反力的最大值為67 064.328 4 N;角位移q1=719.242 9 °時(shí),有間隙運(yùn)動(dòng)副C約束反力的最大值為69 446.965 7 N,其最大值增加了2 382.637 3 N。兩者達(dá)到最大值的曲柄角位移差為0.740 6°,這表明運(yùn)動(dòng)副C約束反力對(duì)其本身的間隙十分敏感。另外,在圖5所示的兩個(gè)運(yùn)動(dòng)周期內(nèi),間隙運(yùn)動(dòng)副約束反力合力FC始終大于0,表明運(yùn)動(dòng)副軸與軸套處于連續(xù)接觸狀態(tài)。

由圖5(c,d)可得：不考慮運(yùn)動(dòng)副間隙時(shí),機(jī)構(gòu)滑塊(刀具)加速度曲線較光滑?？紤]運(yùn)動(dòng)副C的間隙時(shí),由于間隙對(duì)其約束反力的影響,使機(jī)構(gòu)滑塊(刀具)加速度曲線呈高頻波動(dòng)狀態(tài)。與無(wú)間隙機(jī)構(gòu)相對(duì)比,有間隙機(jī)構(gòu)刀具的加速度曲線變化趨勢(shì)相近,但其正、反向最大幅值均明顯增大。角位移q1=719.983 5°,無(wú)間隙機(jī)構(gòu)滑塊(刀具)加速度的反向最大值為-6 706.429 9 m·s-2;角位移q1=719.242 9°,含間隙機(jī)構(gòu)滑塊(刀具)加速度的反向最大值為-6 925.966 6 m·s-2,其反向最大值的絕對(duì)值增加了219.536 7 m·s-2,兩者達(dá)到反向最大值的曲柄角位移差為0.740 6°;當(dāng)角位移q1=900°時(shí),無(wú)間隙機(jī)構(gòu)滑塊(刀具)加速度的正向最大值為4 584.939 9 m·s-2,含間隙機(jī)構(gòu)滑塊(刀具)加速度的正向最大值為4 848.041 2 m·s-2,其正向最大值增加了263.101 3 m·s-2,這會(huì)在較大程度上影響機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性。

由圖5(e,f)可得:無(wú)間隙機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)副B約束反力曲線較光滑。由于間隙對(duì)運(yùn)動(dòng)副C約束反力的直接影響,也使得機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)副B約束反力曲線呈高頻波動(dòng)狀態(tài)。與無(wú)間隙機(jī)構(gòu)相對(duì)比,有間隙機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)副B約束反力曲線變化趨勢(shì)相近,但其最大幅值明顯增大。角位移q1=719.983 5°時(shí),無(wú)間隙機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)副B約束反力的最大值為76 909.736 4 N,角位移q1=719.242 9°時(shí),有間隙機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)副B約束反力的最大值為79 068.454 6 N,其最大值增加了2 158.718 2 N,兩者達(dá)到最大值的曲柄角位移差為0.740 6°,這表明運(yùn)動(dòng)副B約束反力對(duì)運(yùn)動(dòng)副C的間隙也比較敏感。

由此可見(jiàn),運(yùn)動(dòng)副間隙導(dǎo)致其軸與軸套間產(chǎn)生脈沖式的間隙碰撞力,使機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)副C的約束反力、刀具加速度及運(yùn)動(dòng)副B的約束反力的最大值分別增加了3.55%、5.7%、2.8%。這會(huì)使機(jī)構(gòu)運(yùn)行產(chǎn)生較大的沖擊、振動(dòng)及噪聲,影響機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性,也會(huì)降低機(jī)構(gòu)構(gòu)件的強(qiáng)度及使用壽命。

4 結(jié)束語(yǔ)

(1)在系統(tǒng)貯能場(chǎng)、耗散場(chǎng)方程是非線性的條件下,筆者建立了系統(tǒng)狀態(tài)方程及運(yùn)動(dòng)副約束反力方程,比現(xiàn)有同類方法通用性更強(qiáng),適用范圍更廣,其程式化的建模方式特別適用于復(fù)雜非線性機(jī)電系統(tǒng)一體化計(jì)算機(jī)建模與動(dòng)力學(xué)仿真;

(2)基于修正非線性連續(xù)接觸碰撞力混合模型,筆者推導(dǎo)出了間隙運(yùn)動(dòng)副接觸碰撞力向量方程。在此基礎(chǔ)上所建立的間隙轉(zhuǎn)動(dòng)副向量鍵合圖模型,具有精細(xì)度高、模塊化的特點(diǎn),便于嵌入到系統(tǒng)的向量鍵合圖模型中,為更精確計(jì)及運(yùn)動(dòng)副間隙的機(jī)電系統(tǒng)一體化計(jì)算機(jī)建模及動(dòng)力學(xué)仿真奠定了基礎(chǔ);

(3)根據(jù)所建立的計(jì)及驅(qū)動(dòng)電機(jī)、運(yùn)動(dòng)副間隙的曲柄滑塊壓力機(jī)機(jī)構(gòu)系統(tǒng)向量鍵合圖模型,實(shí)現(xiàn)了系統(tǒng)的一體化計(jì)算機(jī)建模及動(dòng)力學(xué)仿真。

研究結(jié)果表明:本文所述方法是可靠的,提高了機(jī)電系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)建模與仿真工作的自動(dòng)化程度;運(yùn)動(dòng)副C的間隙對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能產(chǎn)生一定程度的影響,使機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)副C的約束反力、刀具加速度及運(yùn)動(dòng)副B的約束反力呈高頻振蕩狀態(tài),其最大值分別增加了3.55%、5.7%、2.8%。該結(jié)果說(shuō)明了本文方法的有效性,對(duì)于機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)、控制及可靠性問(wèn)題的研究具有一定的價(jià)值。