在幺正規(guī)范(ξ→∞)下推導(dǎo)t→cγ振幅

柳國(guó)麗，別素雅

(鄭州大學(xué) 物理學(xué)院 河南 鄭州 450001)

0 引言

當(dāng)單圈構(gòu)成的圖形沒(méi)有樹(shù)圖貢獻(xiàn)時(shí)，其所有圖形貢獻(xiàn)的發(fā)散項(xiàng)全部相加的結(jié)果為零。但在計(jì)算內(nèi)線為荷電規(guī)范玻色子和費(fèi)米子組成的圈圖時(shí)，卻不能滿足所有發(fā)散項(xiàng)相加結(jié)果為零這一要求。利用波函數(shù)的幺正性也能在計(jì)算中消去發(fā)散項(xiàng)[1]。下面從幺正性消去發(fā)散項(xiàng)的方法來(lái)計(jì)算t→cγ過(guò)程。

1 單圈圖μ→eγ發(fā)散項(xiàng)不能相消

1.1 μ→eγ費(fèi)曼圖

圖1中的費(fèi)曼規(guī)則為：

圖1 μ→eγ 費(fèi)曼圖

(1)

(2)

γφW∶-igμν。

(3)

本文耦合是模型無(wú)關(guān)的，取新物理中的一般形式，所以發(fā)散性不依賴(lài)于具體模型。因?yàn)闆](méi)有樹(shù)圖貢獻(xiàn)，所有的發(fā)散項(xiàng)加起來(lái)應(yīng)該為零。為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，將上面這些耦合寫(xiě)成更一般的形式：

(4)

(5)

其中c=d=±1,暫取為自由參數(shù)。

1.2 各項(xiàng)展開(kāi)計(jì)算

為了更好地利用計(jì)算機(jī)圈圖程序計(jì)算，采用費(fèi)曼規(guī)范，取ξ=1。W粒子和φ粒子的傳播子為：

(6)

(7)

γφW的耦合對(duì)應(yīng)gμν項(xiàng)，沒(méi)有發(fā)散項(xiàng)，而考慮的是發(fā)散項(xiàng)的相消問(wèn)題，所以圖1(d)和(h)項(xiàng)暫且不考慮。

1.2.1圖1(a)的計(jì)算

γρq1ργλkλγμ·aa+γμγρkργλq3λ·aa]，

(8)

其中：f1=c2+d2；f2=2cd；f3=c2-d2；aa=f1+f2γ5；q1=p3-2p4；q2=p3+p4；q3=p4-2p3；

iMa中前3項(xiàng)b1(-4kμγρkρa(bǔ)a+2dkμγρkρ·aa+2k2γμ·aa)包含有發(fā)散項(xiàng)，按三點(diǎn)函數(shù)[2-3]展開(kāi)。由

可以看出C2(4)含Δ/4發(fā)散因子(B0含一個(gè)Δ發(fā)散因子)。b1(-4kμγρkρ·aa+2dkμγρkρ·aa+2k2γμ·aa)展開(kāi)為

(9)

1.2.2計(jì)算圖1(b)

(10)

(11)

1.2.3計(jì)算圖1(c)

d=4時(shí)有發(fā)散項(xiàng)

c1[-4f3(mνi/m4)γμB0]→-4f3(mνi/m4)γμΔc1。

(12)

1.2.4圖1(a)～(c)中的發(fā)散項(xiàng)之和為

(13)

1.2.5圖1(e): 2條鬼粒子內(nèi)線

1.2.6計(jì)算圖1(f)

c1[γμ·aa/2+f3mνi/m4γμ]→(γμ/2·aa+f3mνi/m4γμ)Δc1。

(14)

1.2.7計(jì)算圖1(g)

上式中發(fā)散項(xiàng)為

c1[-f3mνi/m4γμB0]→-f3mνi/m4γμΔc1。

(15)

1.3 圖1(e)～(g)發(fā)散項(xiàng)之和為零

c1Δ[-·γμ·aa/2+γμ·aa/2+f3mνi/m4γμ-f3mνi/m4γμ]=0。

1.4 所有單圈發(fā)散項(xiàng)相加不為零

所有發(fā)散項(xiàng)相加不為零。內(nèi)線上標(biāo)量粒子的發(fā)散沒(méi)有問(wèn)題(不管是不是鬼粒子)。在下面t→cγ計(jì)算中，將根據(jù)文獻(xiàn)[1]中關(guān)于此類(lèi)過(guò)程洛倫茲結(jié)構(gòu)的討論，運(yùn)用Ward恒等式[4]和CKM矩陣元的幺正性[5]舍棄發(fā)散項(xiàng)，計(jì)算t→cγ過(guò)程的振幅。

2 頂夸克衰變t→cγ

在費(fèi)曼規(guī)范(ξ=1)下，計(jì)算時(shí)會(huì)不可避免地出現(xiàn)發(fā)散項(xiàng)。由于在幺正規(guī)范(ξ=∞)下，不會(huì)出現(xiàn)Goldstone粒子，故可利用CKM矩陣元的幺正性和Ward恒等式直接計(jì)算出最終結(jié)果。下面給出t→cγ的詳細(xì)計(jì)算過(guò)程。

2.1 振幅一般形式

t→cγ振幅可寫(xiě)為

(16)

(17)

由電磁場(chǎng)的規(guī)范不變性，

(18)

則有

-mc(C+Dγ5)+mt(C-Dγ5)+q2(E+Fγ5)=0,q2=0，C=D=0。

(19)

(20)

2.2 費(fèi)曼規(guī)則

各個(gè)頂點(diǎn)為

(21)

(22)

在幺正規(guī)范ξ=∞下的傳播子如下。

1)對(duì)于所有的質(zhì)量不為零的規(guī)范玻色子：

2.3 費(fèi)曼規(guī)范下的費(fèi)曼圖t→cγ及圖2(a)的振幅

圖(2)給出了t→cγ費(fèi)曼圖。雖然其中有鬼粒子內(nèi)線圖，但在幺正規(guī)范下，鬼粒子將消失，故本文不予考慮，所以圖2(d)～(j)的貢獻(xiàn)都為零。圖2(b)、(c)的振幅正比于γμ，由前面討論可知，此類(lèi)貢獻(xiàn)可忽略。所以圖(1)只剩下圖2(a)和圖2(i)有貢獻(xiàn)。由文獻(xiàn)[1]可知圖2(a)中，

(23)

下面將著重介紹圖2(i)的計(jì)算。

圖2 t→cγ 費(fèi)曼圖

2.4 計(jì)算圖2(i)的振幅Mi

(24)

下面將分別計(jì)算式(24)的分子和分母部分。

(25)

(26)

故可得

(27)

(28)

(29)

(30)

(31)

(32)

由(24)式可知Δρλ為

其中：k1=pt-k；k2=pc-k；f1=(atac+btbc)；f2=(acat-bcbt)；f3=-(acbt+bcat)；f4=(acbt-bcat)；a1=f1+f3γ5；a2=f2+f4γ5(a1、a2只是形式上簡(jiǎn)化，因其含有γ5因子，故一定寫(xiě)在式子的最左邊)。令

(33)

(34)

將k、k1、k2代換為l和pt、pc，即

l+(xpt+ypc)=l+q,k1=-l+q1=k′1,k2=-l+q2=k′2,

其中：q=xpt+ypc；q1=(1-x)pt-ypc=pt-q；q2=(1-y)pc-xpt=pc-q，

則S1,S2變?yōu)镾′1,S′2(d維)

(35)

S11=4a2mi-4a2xmi-4a2ymi-2a2(4-d)mi+a2x(4-d)mi+a2y(4-d)mi+2a1xmt-2a1x2mt-

2a1xymt+a1(4-d)mt-2a1x(4-d)mt+a1x2(4-d)mt-a1y(4-d)mt+a1xy(4-d)mt；

(36)

S12與結(jié)果無(wú)關(guān)，故略。在結(jié)合分母以后的積分中，lμLν的積分等同于1/4l2gμν，故式(36)令二者相等。即

(37)

S2的計(jì)算與之大致相同，但更為復(fù)雜，用Mathematica軟件給出結(jié)果，

這里也略去了包含γμ的項(xiàng)，其中：

由S1、S2可得

(38)

2.4.3綜合推導(dǎo)Mi

將式(25)、(26)、(27)和(37)代入式(24)有

(39)

根據(jù)電磁流守恒有qμ·μ=0，且對(duì)z(z=1-x-y)可積分得出。其中由于沒(méi)有出現(xiàn)1/項(xiàng)，故S11、S21、S22中無(wú)窮小項(xiàng)可忽略不計(jì)。先將S11、S21、S22表示成x的多項(xiàng)式：

S11=4a2mi-4a2miy+(-4a2mi+2a1mt-2a1mty)x+(-2a1mt)x2=ax2+bx+c；

(40)

(41)

S21=(-3a2mi-3a1mt)x+3a2mi-4a2miy=gx+h，

(42)

其中：

(43)

將式(30)中Δ進(jìn)行變化，

(44)

積分中，x范圍為(0,1)，-m≤t≤1-m，且m-r=1-y。將式(40)、(41)、(42)、(44)代入式(39)中，得

(45)

si(i=1，…，8)分別為：

(46)

(45)式計(jì)算中用到含有1/(t2-r2)項(xiàng)的積分形式，這里不再贅述。

關(guān)于費(fèi)曼參數(shù)x、y的初等函數(shù)積分，可用數(shù)值積分直接給出結(jié)果。

(47)

(48)

這里的計(jì)算結(jié)果與圖1(a)的振幅相比要復(fù)雜得多，這是因?yàn)椋?)本文考慮的耦合是全部洛倫茲結(jié)構(gòu)，而在圖1(a)計(jì)算中只考慮了矢量玻色子與費(fèi)米子的左手耦合，這樣的考慮會(huì)增加至少4倍的工作量。2)由于內(nèi)線夸克的質(zhì)量也出現(xiàn)在分子中，增加了計(jì)算的難度，而只考慮左手結(jié)構(gòu)則可直接約去內(nèi)線費(fèi)米子質(zhì)量。3)由于內(nèi)線有兩個(gè)費(fèi)米子，這大大增加和豐富了分子中γ項(xiàng)的結(jié)構(gòu)和項(xiàng)數(shù)。

最后，矢量玻色子可以很重，如新的規(guī)范群破缺產(chǎn)生的規(guī)范玻色子WH，目前精確實(shí)驗(yàn)已將其推到比較高的質(zhì)量范圍[9]。

3 總結(jié)

本文首先說(shuō)明了在內(nèi)線為矢量傳播子的情況下，過(guò)程μ→eγ和t→cV(V=Z,γ,g)的單圈圖不能借助于計(jì)算程序有效消除。接著給出了在Ward恒等式和幺正性限制下的t→cγ洛倫茲結(jié)構(gòu)，并對(duì)之進(jìn)行計(jì)算，最后比較了與圖1(a)計(jì)算的不同之處。