不完備信息系統(tǒng)的直覺模糊決策粗糙集

張利亭，馮 濤，李 歡

(河北科技大學 理學院 河北 石家莊 050018)

0 引言

在日常生活中，有很多客觀或主觀的因素導致信息系統(tǒng)中某些對象的屬性值缺失。或許是人為所致，或許是系統(tǒng)所含缺陷所致，各種因素直接或間接地影響信息系統(tǒng)中所含對象的屬性值的不完整性。在一個信息系統(tǒng)中，如果對象的某些屬性值是未知或部分已知，那么這一信息系統(tǒng)將被定義為不完備信息系統(tǒng)(incomplete information system，IIS)[1]。不完備信息系統(tǒng)中的缺失屬性值有三類：第一類是該屬性值是存在的，但是我們不知道，為此，文獻[2-4]對容差關系、等價關系以及限制容差的關系進行了討論[5]；第二類是不能確定屬性值是否存在，為此，文獻[6]提出了一種新的限制相似關系，文獻[7]依據(jù)新建立的非對稱相似關系得到了近似集的概念；第三類是屬性值不存在。在已知的針對不完備信息系統(tǒng)的處理方法中包含數(shù)學統(tǒng)計法、模糊集理論法以及粗糙集理論法三種。在以往的粗糙集理論中，對于上下近似的定義是基于概念之間的相交或者包含關系，而沒有對概念之間相交的程度進行考量，其定義方式不夠細致完善，會影響決策方案的選擇。為了解決這一問題，文獻[8]在經(jīng)典粗糙集理論中引入了具有容錯能力的閾值，用閾值來描述概念之間相交的程度。

為了處理決策粗糙集的方法在決策過程中產(chǎn)生風險損失的問題，文獻[9]引入了損失函數(shù)，并將損失函數(shù)與貝葉斯決策理論相結合提出了三支決策理論，給出了三支決策理論模型中正域、負域、邊界域的語義描述。目前針對三支決策的研究分為三大類：第一類是對理論模型的擴展[10-13]；第二類是對屬性約簡等方法的研究[14-16]；第三類是三支決策在醫(yī)學、信息學和管理學等領域的應用[17-18]。該理論的核心問題之一是三支模型的確定，已有的三支模型方法大多是處理完備信息的，對一些信息不完備的情況，需要對決策粗糙集模型中已存在的模型進行拓展補充。文獻[19-20]在處理不完備信息時引入?yún)^(qū)間數(shù)；文獻[21]考慮到區(qū)間內(nèi)概率取值相同會對決策結果產(chǎn)生誤差，進而引入三角模糊數(shù)，提出不完備信息系統(tǒng)的三角模糊數(shù)決策粗糙集模型；文獻[22]結合梯形模糊數(shù)比三角模糊數(shù)更具一般性、靈活性和易于計算等特點，提出不完備信息系統(tǒng)的梯形模糊數(shù)三支決策。在此基礎上，考慮到直覺模糊數(shù)同時具有隸屬度與非隸屬度兩方面的信息，能更好地刻畫事物的“非此非彼”的模糊本質(zhì)，其在理論方面也有一些擴展[23-24]。

上述研究在處理不完備信息時，將缺失值視為與系統(tǒng)中已知屬性值的類型一樣或者是進行填補。本文將缺失值視為每個屬性上已知屬性值集合的冪集，利用冪集的特點，借助直覺模糊關系引入兩個對象的相似關系和相異關系，得到直覺模糊信息粒，為不完備信息系統(tǒng)的直覺模糊三支決策打下基礎。在此基礎上，與三支決策思想相結合，可以進一步研究直覺模糊決策粗糙集模型的三支決策方法，并針對不同決策者給出不同的決策分析。

1 基礎知識

1.1 直覺模糊集的相關知識

定義1[25]設U為給定的論域，則稱A={(x,μA(x),νA(x))|x∈U}為U上的直覺模糊集，其中μA(x)稱為x屬于A的程度，νA(x)稱為x不屬于A的程度，簡稱為隸屬度和非隸屬度。?x∈U，0≤μA(x)+νA(x)≤1，稱πA(x)=1-μA(x)-νA(x)為x屬于A的猶豫度，πA(x)∈[0,1]。

定義2[26]設A、B為U上的任意兩個直覺模糊集，其運算如下：①A?B當且僅當?x∈U，μA(x)≤μB(x)且νA(x)≥νB(x)；②A∩B={x,min(μA(x),μB(x)),max(νA(x),νB(x))|x∈U}；③A∪B={x,max(μA(x),μB(x)),min(νA(x),νB(x))|x∈U}；④AC={(x,νA(x),μA(x))|x∈U}。

定義3[26]設A={(x,μA(x),νA(x))|x∈U}是直覺模糊集，?x∈U，(μA(x),νA(x))是直覺模糊數(shù)，簡記為x=(μx,νx)。

基于直覺模糊集的定義和運算，文獻[25]定義了直覺模糊相似度的概念。

定義4[25]稱sim(A,B)為A和B的直覺模糊相似度，若滿足如下條件：①sim(A,B)為直覺模糊數(shù)；②sim(A,B)=(1,0)當且僅當A=B；③sim(A,B)=sim(B,A)；④ 若A?B?C，則sim(A,C)≤Lsim(A,B)且sim(A,C)≤Lsim(B,C)。

1.2 概率粗糙集的相關知識

定義5[27]設R為U上的等價關系，?xi,xj∈U，[xi]R={xj|(xi,xj)∈R}稱為xi關于R的等價類。

定義6[28]設U為非空有限論域，R為U上的等價關系，對于?X?U，定義

定義7[28]設(U,R,P)為概率近似空間，對于任意實數(shù)θ、η滿足0≤η<θ≤1，X?U，定義集合X依參數(shù)θ、η的概率上、下近似為

1.3 決策理論粗糙集模型

決策理論粗糙集模型[19]利用兩種狀態(tài)集和三種行動集來描述決策過程。狀態(tài)集Ω={X,X}，其中X和X分別表示對象屬于X和對象不屬于X。行動集Λ={aP,aB,aN}，其中aP表示接受決策，aB表示延遲決策，aN表示拒絕決策?？紤]到采取不同的行動會產(chǎn)生不同的損失，表1給出了對應的決策代價損失。其中λPP、λBP、λNP分別表示對象x屬于狀態(tài)X時，采取行動aP、aB、aN下的損失；λPN、λBN、λNN分別表示對象x不屬于狀態(tài)X時，采取行動aP、aB、aN下的損失。因此，采取三種不同行動aP、aB、aN下的期望損失可表示為

表1 決策代價損失

R(aP|[x]R)=λPPP(X|[x]R)+λPNP(X|[x]R)，

R(aB|[x]R)=λBPP(X|[x]R)+λBNP(X|[x]R)，

R(aN|[x]R)=λNPP(X|[x]R)+λNNP(X|[x]R)，

依據(jù)貝葉斯最小風險決策規(guī)則，可以獲得如下決策規(guī)則。

接受規(guī)則(P)：若R(aP|[x]R)≤R(aB|[x]R)且R(aP|[x]R)≤R(aN|[x]R)，則x∈POS(X)；

延遲規(guī)則(B)：若R(aB|[x]R)≤R(aP|[x]R)且R(aB|[x]R)≤R(aN|[x]R)，則x∈BND(X)；

拒絕規(guī)則(N)：若R(aN|[x]R)≤R(aP|[x]R)且R(aN|[x]R)≤R(aB|[x]R)，則x∈NEG(X)。

2 不完備信息系統(tǒng)的直覺模糊相似關系

2.1 不完備信息系統(tǒng)

定義8[1]令四元組IS=(U,AT,V,f)為信息系統(tǒng)，U為非空有限的對象集合；AT為非空有限的屬性集合；V=∪a∈ATVa為屬性值值域，Va為屬性a的值域；f：U×AT→V為信息函數(shù)。對于?a∈AT，x∈U有f(x,a)∈Va。

若f(x,a)=*為未知值，則V=∪a∈ATV′a，V′a=Va∪{*}，此時(U,AT,V,f)為不完備信息系統(tǒng)[1]。若有f(x,a)=*，規(guī)定f(x,a)?2Va-{?}。本文不完備信息系統(tǒng)中的“*”被認為是遺漏的。

2.2 直覺模糊相似關系

定義9[29]設U和V為非空有限論域，定義在直積空間U×V上的直覺模糊子集R稱為從U到V之間的二元直覺模糊關系，記為

R(x,y)=(μR(x,y),νR(x,y))，?x∈U,y∈V，

其中：μR：U×V→[0,1]，νR：U×V→[0,1]滿足0≤μR(x,y)+νR(x,y)≤1。IFR(U×V)表示U×V上的直覺模糊關系的全體。

定義10[29]R∈IFR(U×U)，稱R為相似關系，若R滿足：① 自反性。?x∈U，μR(x,x)=1，νR(x,x)=0。② 對稱性。?(x,y)∈U×U，μR(x,y)=μR(y,x)，νR(x,y)=νR(y,x)。

不完備信息系統(tǒng)IIS=(U,AT,V,f)中，?a∈AT，當f(x,a)=f(y,a)時，認為x和y在屬性a下不可區(qū)分。當f(x,a)∩f(y,a)=?時，認為x和y在屬性a下完全可區(qū)分。

定義11令IIS=(U,AT,V,f)為不完備信息系統(tǒng)，x和y為論域U中的任意兩個對象，?a∈AT，則x、y關于屬性a的相似度Sa(x,y)和相異度Da(x,y)分別為

定理1令IIS=(U,AT,V,f)為不完備信息系統(tǒng)，x和y為論域U中的任意兩個對象，?a∈AT，Sa(x,y)、Da(x,y)分別為對象x、y關于屬性a的相似度和相異度。sima(x,y)=(Sa(x,y),Da(x,y))則為對象x、y關于屬性a的直覺模糊相似度。

性質(zhì)1設IIS=(U,AT,V,f)為不完備信息系統(tǒng)，sima(x,y)=(Sa(x,y),Da(x,y))，?a∈AT，則

1)f(x,a)=f(y,a)當且僅當sima(x,y)=(1,0)。

2)f(x,a)≠f(y,a)∧(f(x,a)≠*∧f(y,a)≠*)當且僅當sima(x,y)=(0,1)。

基于定理1，定義了一種新的直覺模糊相似關系來描述論域U中對象x與y的相似度。

定義12設IIS=(U,AT,V,f)為不完備信息系統(tǒng)，U={x1,x2,…,xm}，AT={a1,a2,…,an}。?x,y∈U，?a∈AT，直覺模糊相似關系SR(x,y)定義為

定義13設U={x1,x2,…,xm}，AT={a1,a2,…,an}，SR(x,y)是U上的直覺模糊相似關系，?λ1,λ2∈[0,1]，0≤λ1+λ2≤1，

1)定義SR的(λ1,λ2)-截關系SR(λ1,λ2)為

2)?x∈U，定義(λ1,λ2)-截直覺模糊相似類為

[x]SR(λ1,λ2)={y∈U|(x,y)∈SR(λ1,λ2)}。

接下來定義直覺模糊關系SR的(λ1,λ2)-截關系的近似和三支決策。

定義14令IIS=(U,AT,V,f)為不完備信息系統(tǒng)，SR(λ1,λ2)為直覺模糊相似關系SR的(λ1,λ2)-截關系，?λ1,λ2,p,q∈[0,1]滿足0≤p

由定義14生成的正域、負域、邊界域分別為

正域代表接受決策，負域代表拒絕決策，邊界域代表延遲決策。當p=0，q=1時，此時退化為經(jīng)典粗糙集。

3 基于不完備信息系統(tǒng)的直覺模糊三支決策

貝葉斯決策過程由兩種狀態(tài)和三種行動組成，設不同狀態(tài)采取不同行動所帶來的損失以直覺模糊值的形式給出，則不同狀態(tài)下對應的直覺模糊損失值如表2所示。

表2 不同狀態(tài)下對應的直覺模糊損失值

實際決策時，不同的決策者對同一件事物進行決策往往會有不同的態(tài)度，有的決策者持樂觀態(tài)度，有的決策者持悲觀態(tài)度，有的決策者保持中立的態(tài)度。通過對表2的分析可得：1-ν(λkl)(k=P,B,N；l=P,N)表示樂觀決策者的損失值，μ(λkl)表示悲觀決策者的損失值，(μ(λkl)+1-ν(λkl))/2則表示中立決策者的損失值。為了把三種決策者的損失值統(tǒng)一到一個模型里，引入風險系數(shù)h來表示不同決策者的風險態(tài)度[30]，其中0≤h≤1。于是給出定義15。

定義15[30]設λkl=(μ(λkl),ν(λkl))為決策者在兩種狀態(tài)下采取不同行動的直覺模糊損失值，h為決策者的風險系數(shù)，則不同風險態(tài)度的決策者在不同狀態(tài)下采取不同行動的風險損失Eh(λkl)定義為

Eh(λkl)=(1-h)μ(λkl)+h(1-ν(λkl))。

當h為0、0.5、1時，分別代表悲觀型、中立型、樂觀型的決策者。因此，采取三種不同行動aP、aB、aN下的期望損失可表示為

R(ak|[x]SR(λ1,λ2))=Eh(λkP)P(X|[x]SR(λ1,λ2))+Eh(λkN)P(X|[x]SR(λ1,λ2))，k=P,B,N,

式中：[x]SR(λ1,λ2)表示對象x的(λ1,λ2)-截直覺模糊相似類；P(X|[x]SR(λ1,λ2))=1-P(X|[x]SR(λ1,λ2))。

依據(jù)貝葉斯最小風險決策規(guī)則，可以獲得如下決策規(guī)則。

接受規(guī)則(P1)：若R(aP|[x]SR(λ1,λ2))≤R(aB|[x]SR(λ1,λ2))且R(aP|[x]SR(λ1,λ2))≤R(aN|[x]SR(λ1,λ2))，則x∈POS(X)；

拒絕規(guī)則(N1)：若R(aN|[x]SR(λ1,λ2))≤R(aP|[x]SR(λ1,λ2))且R(aN|[x]SR(λ1,λ2))≤R(aB|[x]SR(λ1,λ2))，則x∈NEG(X)；

延遲規(guī)則(B1)：若x∈U-POS(X)-NEG(X)，則x∈BND(X)。

考慮到實際情況，做出一個正確決策產(chǎn)生的損失小于做出錯誤決策產(chǎn)生的損失，故有

其中：

對λ1、λ2和h的取值進行分析，可得在定義13中λ1、λ2的值決定著決策偏好的粒度。λ1值越大、λ2值越小，表示不可區(qū)分關系越強。在定義15中h為決策者的風險系數(shù)，風險規(guī)避者討厭高風險并將更高的成本用于錯誤的損失，因此風險規(guī)避者選擇的h值較小。風險愛好者追求高風險、高回報，他們通過錯誤的決策來降低成本，因此風險愛好者選擇的h值較大。

4 實例分析

以不完備醫(yī)學流感診斷決策表[21]為例，U={x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8,x9,x10}為病人編號；條件屬性集C={a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7}表示病人的7種癥狀：體溫、咳嗽、流鼻涕、頭疼、惡心、痰多、肌肉疼痛；決策屬性集D={X,X}，其中X表示病人得流感，X表示病人未得流感。根據(jù)醫(yī)生的經(jīng)驗，X={x1,x4,x5,x7,x8}時，這些病人更容易得流感，病人患病的實際情況如表3所示。

表3 病人患病的實際情況

為了方便描述，在表3中根據(jù)醫(yī)生的經(jīng)驗和每個屬性的屬性值有如下定義:對于a1，1、2、3分別代表高、較高、正常; 對于a2、a3、a5、a6，1、2分別代表是、不是;對于a4、a7，1、2、3分別代表很嚴重、有點嚴重、不嚴重；*代表缺失值。

對象U中任意兩位患者xi、xj的直覺模糊相似關系為：SR(xi,xi)=(1,0),i=1,2，…,10。SR(x1,x2)=SR(x2,x5)=SR(x9,x10)=(0.068,0.823)，SR(x1,x3)=SR(x5,x7)=SR(x5,x10)=(0.238,0.667)，SR(x1,x4)=SR(x1,x9)=SR(x2,x10)=SR(x5,x9)=(0.639,0.252)，SR(x1,x5)=SR(x3,x7)=SR(x3,x10)=SR(x7,x10)=(0.381,0.524)，SR(x1,x6)=(0.088,0.741)，SR(x1,x7)=SR(x3,x5)=(0.667,0.238)，SR(x1,x8)=(0.810,0.079)，SR(x1,x10)=(0.190,0.746)，SR(x2,x3)=SR(x2,x7)=SR(x3,x9)=SR(x7,x9)=(0.354,0.537)，SR(x2,x4)=(0.184,0.694)，SR(x2,x6)=(0.612,0.239)，SR(x2,x8)=(0.116,0.728)，SR(x2,x9)=(0.020,0.892)，SR(x3,x4)=SR(x4,x5)=SR(x4,x7)=(0.497,0.395)，SR(x3,x6)=SR(x6,x10)=(0.517,0.313)，SR(x3,x8)=(0.286,0.571)，SR(x4,x6)=(0.327,0.525)，SR(x4,x8)=SR(x8,x9)=(0.544,0.299)，SR(x4,x9)=(0.612,0.265)，SR(x4,x10)=(0.211,0.680)，SR(x5,x6)=(0.231,0.599)，SR(x5,x8)=(0.381,0.508)，SR(x6,x7)=(0.374,0.440)，SR(x6,x8)=(0.136,0.646)，SR(x6,x9)=(0.184,0.668)，SR(x7,x8)=(0.714,0.143)，SR(x8,x10)=(0.238,0.651)。

假設給定λ1=0.5，λ2=0.5，則直覺模糊相似關系SR(x,y)的(λ1,λ2)-截直覺模糊相似類[xi]SR(λ1,λ2)(i=1,2,…,10)為：[x1]SR(λ1,λ2)=[x8]SR(λ1,λ2)={x1,x4,x7,x8,x9}，[x2]SR(λ1,λ2)=[x10]SR(λ1,λ2)={x2,x6,x10}，[x3]SR(λ1,λ2)={x3,x5,x6}，[x4]SR(λ1,λ2)={x1,x4,x8,x9}，[x5]SR(λ1,λ2)={x3,x5,x9}，[x6]SR(λ1,λ2)={x2,x3,x6,x10}，[x7]SR(λ1,λ2)={x1,x7,x8}，[x9]SR(λ1,λ2)={x1,x4,x5,x8,x9}。

條件概率P(X|[xi]SR(λ1,λ2))(i=1,2,…,10)為：P(X|[x1]SR(λ1,λ2))=P(X|[x8]SR(λ1,λ2))=P(X|[x9]SR(λ1,λ2))=0.8，P(X|[x2]SR(λ1,λ2))=P(X|[x6]SR(λ1,λ2))=P(X|[x10]SR(λ1,λ2))=0，P(X|[x3]SR(λ1,λ2))=P(X|[x5]SR(λ1,λ2))=0.33，P(X|[x4]SR(λ1,λ2))=0.75，P(X|[x7]SR(λ1,λ2))=1。

下面討論λ1、λ2取不同值時對應的悲觀、中立、樂觀決策者的決策，結果如表4所示。在表4中，隨著決策偏好粒度(λ1,λ2)的變化，決策者的選擇也會發(fā)生變化。當(λ1,λ2)=(0.5,0.3)時，悲觀、中立、樂觀決策者認為x3需要做進一步診斷；當λ2≤0.2時，悲觀、中立、樂觀決策者認為x3不需要做進一步診斷。當λ2≤0.2時,與文獻[21]中L≥0.8的結果相同。本文方法在粒度較細時，直覺模糊相似關系的截關系中的元素將發(fā)生變化，產(chǎn)生新的決策結果，可以在一定程度上糾正實際經(jīng)驗值產(chǎn)生的誤差。

表4 λ1、λ2取不同值時對應的決策結果

5 結束語

本文在不完備信息系統(tǒng)中，從決策粗糙集出發(fā)，利用直覺模糊數(shù)來設定損失函數(shù)，采用新定義的直覺模糊相似關系的截關系代替等價關系來進行分類。然后結合貝葉斯決策過程，在不完備信息系統(tǒng)中應用直覺模糊決策粗糙集，提出了一種基于不完備信息系統(tǒng)的直覺模糊數(shù)的決策粗糙集模型，給出了該模型的三支決策規(guī)則和方法。通過一個實例說明決策過程，并對該模型中的參數(shù)進行了分析。本研究為不完備信息系統(tǒng)中三支決策理論模型拓展提供了一種新方法。