長方體在培育直觀想象素養(yǎng)中的實(shí)踐與價值

張潔 林晴嵐 陳柳娟

（福建教育學(xué)院數(shù)學(xué)教育研究所，福建福州 350025）

高中數(shù)學(xué)立體幾何單元的學(xué)習(xí)內(nèi)容安排重點(diǎn)是圍繞發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，遵循對事物的認(rèn)識從具體到抽象、從整體到局部的原則，通過豐富的實(shí)物模型或利用計算機(jī)軟件呈現(xiàn)空間幾何體，有效地幫助學(xué)生認(rèn)識空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，掌握在平面上表示空間圖形的方法和技能，促進(jìn)學(xué)生逐步形成空間觀念.引導(dǎo)學(xué)生通過對圖形的觀察和操作，發(fā)現(xiàn)和提出描述基本圖形平行、垂直關(guān)系的命題；學(xué)會用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)符號語言表達(dá)相關(guān)命題，借助幾何圖形的直觀解釋命題的含義和表述證明的思路；［1］借助特定的、情境化的、綜合性的數(shù)學(xué)活動提出針對性的數(shù)學(xué)問題，指導(dǎo)學(xué)生開展對立體幾何問題的探究活動，促進(jìn)學(xué)生學(xué)會從多角度、用聯(lián)系的觀點(diǎn)看待事物，更清晰地認(rèn)識數(shù)學(xué)的科學(xué)價值、應(yīng)用價值、人文價值和審美價值，提升學(xué)生的學(xué)習(xí)能力和綜合素養(yǎng).

學(xué)校的每一間教室建筑結(jié)構(gòu)基本都以長方體為模型，把長方體作為學(xué)生認(rèn)識與研究空間幾何體的實(shí)景載體，有助于幫助學(xué)生直觀地認(rèn)識事物的位置關(guān)系，建立形與數(shù)的聯(lián)系，掌握構(gòu)建立體幾何模型，開拓對空間幾何相關(guān)問題的探究活動思路［2］，培育學(xué)生直觀想象素養(yǎng).

一、理解空間基本元素間的位置關(guān)系

長方體作為學(xué)生生活中最熟悉的立體幾何圖形，借助長方體來研究抽象的空間點(diǎn)、線、面間的位置關(guān)系，這是最自然、最容易接受的方式.如，研究空間直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系.

［案例1］如圖，借助長方體ABCD-A1B1C1D1研究空間線、面之間的位置關(guān)系

圖1

如：1）直線AB與直線CD的位置關(guān)系；（直線AB與CD共面且平行即AB∥CD）

2）直線AB與直線B1C1的位置關(guān)系；（直線AB與B1C1異面且垂直即AB⊥B1C1）

3）直線AB與直線C1D1的位置關(guān)系；（直線AB與C1D1共面且平行即AB∥C1D1）

4）直線AB與平面AC的位置關(guān)系；（直線AB在平面AC內(nèi)即AB?平面AC）

5）直線AB與平面B1D1的位置關(guān)系；（直線AB與平面B1D1平行即直線AB∥面B1D1）

6）直線AB與平面BC1的位置關(guān)系；（直線AB與平面BC1垂直即AB⊥面BC1）

7）平面AC與平面B1D1的位置關(guān)系；（平面AC與平面B1D1平行即面AC∥面B1D1）

8）平面AC與平面BC1的位置關(guān)系；（平面AC與平面BC1垂直即面AC⊥面B1D1）

從以上對長方體中的棱、面間的位置關(guān)系，直觀理解抽象的空間線與線、線與面、面與面間的位置關(guān)系，學(xué)會用數(shù)學(xué)的圖形語言、符號語言準(zhǔn)確刻畫出抽象的空間線、面之間位置關(guān)系：

1.直線與直線之間

共面關(guān)系：平行（a?α，b?α，a∥b）、相交（a?α，b?α，a∩b=P）；

異面關(guān)系：不在任何一個平面內(nèi)（a?α，b?α，a∩b=?）

2.直線與平面之間

線與面有公共點(diǎn)：線在面內(nèi)（a?α）或線與面相交（a?α，a∩α=P）；

線與面無公共點(diǎn)：線與面平行（a∥α）

3.平面與平面之間

通過對空間位置關(guān)系的學(xué)習(xí)過程體會到：從已有的成熟基礎(chǔ)模型出發(fā)建構(gòu)新的知識體系，自然合理降低學(xué)生對新知識的理解難度；對抽象幾何圖形基于基礎(chǔ)模型，合理將為問題轉(zhuǎn)化，為問題解決提供了一個通性通法；借助基礎(chǔ)模型的“固定形”為抽象圖形的“變化形”提供一個“變”轉(zhuǎn)“定”的基本解決問題路徑，既為培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力搭建一個落地又扎實(shí)的腳手架，又為培育學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)奠定良好的基礎(chǔ).

二、理解空間線、面平行與垂直的有關(guān)定理

以長方體為空間幾何體的基本研究載體，運(yùn)用幾何直觀、空間想象，抽象出實(shí)物的幾何圖形位置關(guān)系（如線線平行、線面平行、線面垂直、面面垂直等）、運(yùn)動規(guī)律、形態(tài)變化，認(rèn)識和探索空間圖形的性質(zhì)，會用圖形與集合符號語言精準(zhǔn)表達(dá)空間點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系.

［案例2］面面平行的判定定理如圖2：若有一平面內(nèi)的兩條相交直線分別與另一平面平行，那么這兩平面平行.即用數(shù)學(xué)的符號語言表述為：如圖3，a?β，b?β，a∩b=P，a∥α，b∥α?β∥α.

圖2

借助長方體ABCD-A1B1C1D1的面、棱、面的對角線等，直觀理解面面平行判定定理，如圖3，直線A1D1?平面A1C1，直線A1B1?平面A1C1，直線A1D1∩直線A1B1=A1，直線A1D1∥平面AC，直線A1B1∥平面AC，即可直觀得到：面AC∥面A1C1；理解直線A1D1?平面A1C，直線EF?平面A1C，直線A1D1∥平面AC，直線EF∥平面AC，也直觀得到：平面A1C與平面A1C1相交，平面A1C與平面AC相交；更深入理解了面面平行的判定方法需借助兩條相交直線而不是兩條平行直線的合理性與嚴(yán)謹(jǐn)性.

圖3

［案例3］面面平行的性質(zhì)定理：若兩平面平行，有一個平面與兩個平行平面都相交，那么這兩條交線平行.即用數(shù)學(xué)的符號語言表述為：如圖4，α∥β，γ∩α=a，γ∩β=b，?a∥b.

圖4

借助長方體ABCD-A1B1C1D1直觀理解面面平行性質(zhì)定理，如圖1，若兩平行平面即可看成長方體中的面AC∥面A1C1，面A1D∩面A1C1=直線A1D1，面AC∩面A1D=直線AD，則直線A1D1∥直線AD，即長方體中棱A1D1所在直線A1D1與棱AD所在直線AD平行.

［案例4］直線與平面垂直的判定定理：如果一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么該直線垂直此平面.即用數(shù)學(xué)的符號語言表述為：如圖5，c⊥a，c⊥b，a?β，b?β，a∩b=P?c⊥β.

圖5

借助長方體ABCD-A1B1C1D1直觀理解直線與平面垂直判定定理，如圖1，AA1⊥AB，AA1⊥AD，直線AB?面AC，直線AD?面AC，直線AB∩直線AD=A點(diǎn)，則直線AA1⊥平面AC.

由于空間線面平行與垂直關(guān)系有其嚴(yán)格的定義、判定、性質(zhì)，掌握其定義、性質(zhì)、判定是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)必修內(nèi)容，厘清空間線面平行與垂直關(guān)系是后續(xù)進(jìn)一步深入學(xué)習(xí)研究數(shù)學(xué)的基本要求.借助研究空間幾何體的線面關(guān)系，特別是長方體中所呈現(xiàn)的線面關(guān)系，合理又嚴(yán)謹(jǐn)?shù)匕衙骈g的平行與垂直的判定轉(zhuǎn)換成線間的平行與垂直的判定，讓學(xué)生體會合理“降維轉(zhuǎn)化思想”，正確理解嚴(yán)謹(jǐn)?shù)貙⒖臻g問題與平面問題之間的轉(zhuǎn)化基本要求，既能有效提高學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力，又將培育學(xué)生的直觀想象、邏輯推理素養(yǎng)落到實(shí)處.

三、理解空間圖形的度量關(guān)系

高中數(shù)學(xué)研究空間圖形的度量關(guān)系有：距離、角度、面積、體積等，度量關(guān)系的研究能有機(jī)融合“直觀想象”與“數(shù)學(xué)運(yùn)算”.通過研究空間的點(diǎn)到線、點(diǎn)到面、線與線間、線與面間、面與面間的距離，以及線線間、線面間、面面間的夾角，在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步研究空間形與體的面積、體積等.借助長方體研究從現(xiàn)實(shí)世界中物體的形狀、大小與位置中抽象出數(shù)學(xué)基本圖形，直觀理解空間圖形的度量關(guān)系，幫助學(xué)生更好地掌握圖形研究的基本思想方法.

［案例5］如圖6，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，BC=CC1=1，

1）求直線CC1與平面BDD1B1的距離；2）求四棱錐ABDD1B1的體積.

圖6

問題分析：1）求直線CC1與平面BDD1B1的距離需借助長方體的結(jié)構(gòu)特征，將所求距離轉(zhuǎn)化為尋找同時與直線CC1、平面BDD1B1垂直的垂線段CH（如圖7），進(jìn)而求垂線段CH的長度達(dá)到解決問題的目的；2）求四棱錐A-BDD1B1的體積也同樣需借助對長方體的結(jié)構(gòu)特征研究，得到可從長方體ABCD-A1B1C1D1中切除相關(guān)柱體 BCD-B1C1D1與錐體 AA1D1B1，將所求問題轉(zhuǎn)化，達(dá)到求四棱錐A-BDD1B1的體積的目標(biāo).

圖7

此類問題的研究有助于評價學(xué)生對長方體的結(jié)構(gòu)特征掌握程度，以及評價學(xué)生對線面間距離的求法、簡單幾何體的體積求法中運(yùn)用數(shù)學(xué)基本思想方法解決問題的能力，有機(jī)融合“直觀想象”與“數(shù)學(xué)運(yùn)算”素養(yǎng)的培育.

四、解決實(shí)際問題中的應(yīng)用價值

以長方體為基本模型，通過對“幾何圖形”的直觀想象與“數(shù)學(xué)運(yùn)算”的有機(jī)融合，自然將“形”和“數(shù)”聯(lián).以基本幾何圖形為基礎(chǔ)，學(xué)會從“基本圖形”研究，到“變形圖形”研究，再到“綜合圖形”的研究.

［案例6］如圖8，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=3，BC=4，且在棱CC1上存在點(diǎn)M，使MD1+MA取得最小值10，此時長方體的對角線DB1與平面ADD1A1、ABCD、DCC1D1所成的角分別為α、β、θ，則sinα+sinβ+sinθ=.

圖8

問題分析：要使MD1+MA取得最小值10，需將MD1+MA放在同一平面進(jìn)行思考，即將平面ACC1A1與平面DCC1D1沿C1C翻折打開，使得平面A1ACC1與平面D1DCC1在同一平面內(nèi)，如圖9，當(dāng)A，M，D1在同一條直線上時，MD1+MA取得最小值，即為AD1的長，易 知 AC=5，CD=3，DD1=-82=6，在長方體中，由長方體的性質(zhì)可知，∠A1DB1=α，∠BDB1=β，∠C1DB1=θ，

圖9

長方體是一個空間基礎(chǔ)的、穩(wěn)定的、可靠的、有效的模型，借助長方體模型將復(fù)雜空間圖形的問題通過合理、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)姆绞睫D(zhuǎn)化成平面圖形的問題進(jìn)行研究，這是一個行之有效的常規(guī)方法.處理平面問題是將學(xué)生已熟悉的、有把握能解決的，轉(zhuǎn)化為平面問題，這對學(xué)生會產(chǎn)生心理上的踏實(shí)感.轉(zhuǎn)化過程讓學(xué)生進(jìn)一步厘清了直觀與想象的關(guān)系，體會實(shí)物的位置關(guān)系、對稱特性、運(yùn)動規(guī)律和形態(tài)變化［2］，更好地把握利用圖形描述、分析數(shù)學(xué)問題，通過合理方式探索解決問題的思路［2］，掌握對空間幾何體進(jìn)行加工、改造，創(chuàng)造新的幾何體進(jìn)行研究的技術(shù)手段，培育學(xué)生的直觀想象素養(yǎng).

借助長方體能將復(fù)雜圖形和背景轉(zhuǎn)換到具體的直觀的模型上，是一個轉(zhuǎn)換思想的具體體現(xiàn)，在立體幾何學(xué)習(xí)中，是一個基礎(chǔ)的、有效的、有力的解決空間問題的轉(zhuǎn)換思路之一.在轉(zhuǎn)換的過程中，對空間幾何圖形的直觀想象將以更直觀的形式逐層展開，從體的直觀合理轉(zhuǎn)化到平面的直觀，再從線的直觀回到面的直觀和體的直觀，循環(huán)往復(fù)，加深理解，提高素養(yǎng).在高中數(shù)學(xué)選擇性必修課程內(nèi)容中，學(xué)生將學(xué)習(xí)空間直角坐標(biāo)系，進(jìn)一步深入理解空間幾何基本要素，掌握形與數(shù)間的一一對應(yīng)關(guān)系，拓展探索空間問題解決的思路，領(lǐng)會到直觀想象在數(shù)學(xué)解決問題活動中是探索和形成論證思路、進(jìn)行數(shù)學(xué)推理、構(gòu)建抽象結(jié)構(gòu)的思維基礎(chǔ)［2］.