基于邏輯推理素養(yǎng)的幾何綜合試題評價與教學關注
——以2017-2020年福建省中考試題為例

李 霞

（福州教育研究院，福建福州 350001）

張奠宙、李士锜［1］等認為數(shù)學素養(yǎng)就是數(shù)學思維能力（數(shù)學素質(zhì)），其核心是邏輯思維能力.《普通高中數(shù)學課程標準（2003年實驗版）》（以下簡稱“課標”）早已把推理論證作為數(shù)學課程標準中的數(shù)學五大基本能力之一.在對《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）》的解讀中，史寧中，王尚志［2］認為邏輯推理素養(yǎng)是能依據(jù)規(guī)則，從一些定理或基本事實出發(fā)推出其他結(jié)論的素養(yǎng)，特別提到邏輯推理素養(yǎng)的落腳點在于素養(yǎng)，它與“邏輯推理能力”有區(qū)別，邏輯推理素養(yǎng)不僅體現(xiàn)個體具有邏輯推理能力，還表明其個體具有良好的邏輯思維品質(zhì).可以說無論是2003年版的普通高中數(shù)學課程標準，還是2011年版的初中數(shù)學課程標準（以下簡稱《課標》），抑或是2017年版的高中數(shù)學課程標準，邏輯推理的內(nèi)容要求都在加強，但這個內(nèi)容的學習效果從近年來的終結(jié)性試卷測評所反饋的情況看不容樂觀.在抽查的中考測評試卷中，學生不能識別圖形中的基本幾何元素，不能根據(jù)條件和圖形獲得基本幾何結(jié)論，無法對一些基本要素的屬性聚焦，不能理清相關元素的關系關聯(lián)等.

一、綜合幾何推理命題的立意與試題內(nèi)涵

［案例1］（2018年福建省中考數(shù)學A卷第24題）：已知四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，AC是⊙O的直徑，DE⊥AB，垂足為E.

（1）延長DE交⊙O于點F，延長DC，F(xiàn)B交于點P，如圖1.求證：PC＝PB；

（2）過點B作BG⊥AD，垂足為G，BG交DE于點H，且點O和點A都在DE的左側(cè)，如圖2.若AB＝，DH＝1，∠OHD＝80°，求∠BDE的大小.

［案例2］（2019年福建省中考數(shù)學卷第24題）：如圖3，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB=AC，BD⊥AC，垂足為E，點F在BD的延長線上，且DF=DC，連接AF，CF.

（1）求證：∠BAC=2∠DAC；

圖1

圖2

圖3

（一）從素養(yǎng)的角度看問題的立意

觀察試題的表現(xiàn)形式，可以看到兩道試題要求學生都必須具備在復雜問題的數(shù)學情境中通過歸納、類比、演繹等方式探索推理的能力。兩道試題都將初中的直線型知識進行了融合，考查的知識點有平行線、等腰三角形、直角三角形、相似三角形等內(nèi)容，會用圓的工具功能（導邊導角）實現(xiàn)基本元素與相關元素間的關聯(lián)；會探究結(jié)果的一般性結(jié)論并能準確地表述結(jié)論的推理過程.可以說從素養(yǎng)的評價體系看，學生不僅要具備對知識理解的水平，還要有實現(xiàn)知識遷移的能力.

（二）從測評的數(shù)據(jù)看問題的存在

調(diào)研了7萬份試卷，例1的區(qū)分度在0.4以上，表明此題的區(qū)分度很好；例2的區(qū)分度接近0.3，說明此題的區(qū)分度較好，但例2第二問的區(qū)分度低于0.19.例1難度系數(shù)為0.23，滿分率0.59%；例2難度系數(shù)為0.15，滿分率0.83%.為什么考生滿分率這么低？由答題情況我們發(fā)現(xiàn)：對幾何問題的解決，大部分學生不具備幾何綜合試題解決的思維，具體表現(xiàn)為：不能識別圖形中的基本幾何元素；不能根據(jù)條件和圖形獲得基本幾何結(jié)論；不知道如何添加輔助線；對于所要證明的目標找不到切入點等.

（三）從題旨的內(nèi)涵看問題的解決

1.從等腰和直角入手，讓“定性”“定量”齊放

兩道題的第一問均考查考生對幾何圖形的基本認知，要求考生尋找圖形基本元素間的定性、定量關系.兩道題均由基本圖形出發(fā)，以特殊的△ABC為主體，促成幾何位置的形成與演化.

2.從題干與設問入手，讓“合情”“演繹”并重

兩道題都是以圓為背景，基于特殊的三角形（等腰或直角三角形）再疊加相關圖形的關系而設置：如圖2，例1題干設置了垂直條件（DE⊥AB），考生可得DF∥BC，第二問又疊加了垂直條件（BG⊥AD），考生亦可得BG∥DC，從而得到DCBH為平行四邊形.同樣在例題2中，題干同時設置了AB=BC，DC=DF的條件，而DC=DF對第一問的解答是沒有作用的，這體現(xiàn)了目前高考評價體系所倡導的“結(jié)構(gòu)不良題”設置的理念.而這條件對第二問則是等線段條件疊加下結(jié)論的不變性遞推，如圖4，由兩對線段相等，考生能夠推出AW（AW過圓心）為三角形ABC的對稱軸，AD亦為三角形ACF的對稱軸（命題者的構(gòu)圖邏輯）.有了這些感知，考生不難獲得角之間關聯(lián).

圖4

兩道例題中的垂直或相等皆為同類條件，同類條件帶來同類結(jié)論——平行或軸對稱，這正體現(xiàn)了幾何推理中思維的合情性.上述對試題題旨的理解，不僅能解決問題，還可以助學生發(fā)展推理感，形成邏輯推理的素養(yǎng)。

另外兩道題的題干背景都為圓內(nèi)接四邊形，不涉及幾何變換；兩道題的解題思路均為先分析小問之間的關聯(lián)、結(jié)論之間的關聯(lián)，再思考結(jié)論中要解答的問題.這種思路為“正逆結(jié)合”“兩邊挖掘”，已知走一點，求證走一點，慢慢匯集在一起，非常適合平面幾何中較難命題的證明，也體現(xiàn)了初中階段合情推理與演繹推理培養(yǎng)并重的教學模式.

二、綜合幾何問題的考查視角與考試本質(zhì)

福建省2017年開始中考統(tǒng)一命卷，在幾何的綜合題題面設置上一般是純幾何知識應用，題目的作用體現(xiàn)選拔的功能，因此設計的題面有一定難度.近四年中考幾何綜合題考查的視角一般有以下兩種（以下試題題目略）：

（一）綜合幾何視角

圖5

如圖5所示以圓為背景，基于特殊的三角形為基本圖形背景下，特定狀態(tài)的定性判斷與定量計算.

第（1）問主要考查以特殊的三角形（直角或等腰）為基本圖形下，研究特定狀態(tài)下線或角的定性判斷.如2017年的21題由線垂直證線垂直；2018年的24題由線垂直證線段相等；2019年24題由線段相等證角數(shù)量關系等.

第（2）問則是相關圖形條件的疊加而設置，如2018年24題疊加垂直條件，得到平行結(jié)論疊加.2019年24題線段疊加相等條件，得到對稱結(jié)論疊加，關注的是一些條件疊加下，結(jié)論的不變性探究.這些要求，學生不僅要有推理論證的能力，還應該具備類比歸納的數(shù)學思維品質(zhì).

（二）變換幾何視角

圖6

以變換為工具，尋找一種圖形滿足一定條件下運動后，規(guī)律或結(jié)論的不變性探究.

如一些一般性結(jié)論的獲得如圖6所示：2017與2020年的第24題一定有共圓；2018，2019年的第21題一定存在平行四邊形等.

兩種考查方式，第一種突出圓的工具功能，利用圓對稱等性質(zhì)，發(fā)揮導邊導角的作用，第二種突出變換工具的作用，以基本圖形與基本元素的位置及關系為核心，通過圖形變換，研究平面幾何在運動變化過程中，相關元素間的位置關系的不變性和一些量的不變性探究.幾何變換是初中幾何問題解決的核心功能，無論哪一種方式考查，最后都能實現(xiàn)兩種考查方式的融合.這些都要求學生不僅通過合情推理發(fā)現(xiàn)結(jié)論，還需要通過演繹推理得出結(jié)論.

作為終結(jié)性的考試，其本質(zhì)想從測量學的角度來認識或評估教育現(xiàn)象，它雖不能替代教育評價，但為教育評價帶來了量化依據(jù).福建中考四年來的綜合試題讓學生通過特殊位置的合情推理，猜想結(jié)果，探索思路，發(fā)現(xiàn)結(jié)論，再利用演繹推理證明這一結(jié)論.這種研究方式與教學是一脈相承的.因此理解命題的立意與試題的內(nèi)涵，才能讓考試為教學服務，為學生的素養(yǎng)養(yǎng)成服務.

三、發(fā)展邏輯推理素養(yǎng)的幾何綜合題教學啟示

幾何綜合題的一般具體以下特征：涉及的幾何知識點多；涉及數(shù)學思想方法多；推理過程的解題距長；幾何要素屬性不聚焦；幾何要素的關系復雜等.《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）》降低了以演繹推理為主要形式的定理證明要求［3］，教材中刪去了大量繁難的幾何綜合證明試題.從培養(yǎng)學生的幾何綜合問題解決思維能力而言，如何讓學生具備邏輯推理的能力，以便更好完成幾何綜合問題解決的素養(yǎng)需要關注.

（一）關注問題解決的本源［4］

［案例3］（2020年福建省中考試題第23題）如圖5所示已知C為線段AB外的一點.（1）作CD∥AB，且2AB＝CD；（2）在（1）作圖所得的四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于P點，M、N分別為CD、AB的中點，求證：M、N、P三點共線.

對于第一問：試題明確要求過直線外一個點做已知直線的平行線，本題的立意原本是考察如何作一個角等于已知角，但從學生作答的過程中發(fā)現(xiàn)，學生更多去構(gòu)造形（平行四邊形或三角形）來實現(xiàn)平行，而不是通過角來刻畫平行.出現(xiàn)這種情況，說明了學生對于兩直線平行（CD∥AB），用誰來刻畫不理解.我們知道幾何位置關系的定義辦法一般用低維來定義高維，即可以用角的關系來刻畫兩條線的位置關系.在教學中我們要讓學生明白：基本作圖最核心的思維是構(gòu)造相等的線段，而作一條線段等于已知線段，無論是技能操作還是作圖原理，學生比較好掌握.作一個角等于已知角的操作方法，先把已知角放置于一個三角形中，然后用邊邊邊定理去構(gòu)造一個三角形與這個三角形全等，從而獲得對應的角相等，這一過程的核心思維是構(gòu)造相等的線段，這一核心思維就成為本小題問題解決的本源。有了這一思維，學生對如何做一個角等于已知角就不會學而不用.

對于第二問：通過增加條件（中點），再根據(jù)圖形形成條件，證明一般性的結(jié)論.抽取的樣本7萬左右，滿分率只有6.55%.對于第二問典型思路如下：

思路一：如圖7，連接PM，PN.通過AB∥CD及M、N分別為CD、AB的中點，得到△ABP∽CDP，推出又從∠BAP＝∠DCP出發(fā)推出△APM∽△CPN，得到∠APM＝∠CPN，繼而推出M，P，N三點在同一條直線上.

圖7

思路二：如圖8，連接AN交BD于點Q，連接BN交AC于點O.通過AB∥CD及M、N分別為CD、AB的中點，得到四邊形ABCN，ABND為平行四邊形，得到O，Q分別是BN，AN中點，得到AO，BQ為△ABN的中線，且相交于點P.再去證明M，N過P即可.本思路契合命題的立意，求證：三角形的三條中線交于一點（三角形重心的性質(zhì)）.

圖8

思路三：如圖9，由AB∥CD，推得△ABP∽△CDP，得到又AC，BD交于點P，得到△ABP與△CDP是位似圖形，且位似中心為P.又M，N為AB，CD的中點，且AB，CD為此位似圖形的對應線段，M，N也是此位似圖形的對應點，根據(jù)位似圖形的定義，連接MN，則MN經(jīng)過位似中心P，即M，N，P三點共線.

圖9

教學思考：通過解答可以發(fā)現(xiàn)以上無論哪一種思路，學生首先要明白何為三點共線？共線是一種定性表達，如何用定量來刻畫它？常用的定量刻畫可以通過證相鄰的角互為補角；其中一邊共線的對頂角相等；同平行一直線的兩直線平行；一些命題的結(jié)論（重心的性質(zhì)、位似的定義）以及其中一點滿足另外兩點所在的直線上等.造成學生解答不出來的原因：如何將共線的定性說明用定量問題來處理.幾何的平直性問題的理解與運用思維欠缺.

本源從研究問題的方法看，應該指研究問題的本質(zhì)與起源，幾何問題解決的本源就是利用對稱性、平直性去推導圖形基本元素的各種特征及相關元素的相互關系.在初中階段，對稱性不僅在幾何中體現(xiàn)，如圖形的全等，本質(zhì)上就是研究某個圖形對于某一條直線的對稱反射關系［5］；絕對值也是研究某段數(shù)值在數(shù)軸上關于原點對稱的具體反映，三類初等函數(shù)（一次，二次，反比例）的增減性問題也都是研究它關于某直線的一側(cè)性質(zhì)后反射出另一側(cè)的情況等.因此“對稱性”要成為解決問題的一種觀念，“對稱”能讓思維減半.平直性包含平行與重合，2020年福建中考的23題的各種解答都在指向平直性問題的理解與應用.

《課標》中幾何內(nèi)容，要求從這幾個基本事實出發(fā)，推導三角形及四邊形的一些基本性質(zhì)和判定，讓學生體會歐氏幾何的精髓，感受局部的公理體系.其中的兩條平行線所得的同位角相等的性質(zhì)與判定事實導向“平直性”應用的基本事實；三角形全等的判定與性質(zhì)事實則是導向“對稱性”應用的基本事實.

（二）關注“圓”“變換”的性質(zhì)功能

《課標》對于幾何證明中推理僅限于三角形，四邊形的重要性質(zhì)運用，對“相似形”“圓”的內(nèi)容中不再要求證明相關的結(jié)論，但是我們發(fā)現(xiàn)如果利用好“相似形”“圓”的工具功能，對綜合幾何問題解決的思維提升至關重要.“相似形”它也是一種縮放變換，是合同變換的拓展，是定性問題轉(zhuǎn)定量研究的工具；“圓”中的軸對稱性，旋轉(zhuǎn)不變性則是導邊導角的工具，它對直線性有統(tǒng)籌的功能.

1.圓的性質(zhì)功能

圓的基本性質(zhì)從對稱的角度去理解，可以有軸對稱、旋轉(zhuǎn)對稱以及旋轉(zhuǎn)不變性等對于軸對稱的試題要關注補全圖形，還原基本性質(zhì)中的基本圖形；旋轉(zhuǎn)對稱要關注以弧導角，用角找??；旋轉(zhuǎn)不變性則是實現(xiàn)了等角之間的聯(lián)系.

［案例4］（2020年福州市中考適應性試卷第24題）如圖10，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AC為⊙O的直徑，DB=DC，過點C作CD ⊥BD，垂足為E，交AB于點F，交DA的延長線于點G.

圖10

（1）求證：GA=GF；

（2）若AG=2，DC=8，求AC的長.

分析：從題目的條件出發(fā)，將條件放大可以找到兩類三角形：①等腰三角形：△DBC，△GAF；②直角三角形：△DAC，△BAC，△DGC，△BFC，△DEC，△DEG，△BEC，△BFE等.第（1）問中，要證GA=GF，轉(zhuǎn)而求證∠GAF=∠GFA，利用外角及對頂角關系即可得到∠AFG=∠BFC=∠DBC=∠DCB=∠GAF.第（2）問中，所給的條件AG=2，DC=8，它們所在的三角形只有邊之間有不變關系，具體量不好求得.可以尋找結(jié)論轉(zhuǎn)移，將求AC的長轉(zhuǎn)移成求AD的長，思考AD與FC的數(shù)量關系.通過測量及猜想得到CF=2AD，再通過推理證明這一結(jié)論，進而結(jié)論繼續(xù)轉(zhuǎn)移，去求AD與CF的位置與數(shù)量關系.

教學思考：本題的關鍵就是回歸圓的基本性質(zhì)，識別圓的性質(zhì)定理圖形，如有共端點的等線段，尋找等線段所在圖形的軸對稱性.發(fā)現(xiàn)點D，O在對稱軸上，推導出ADOB為平行四邊形.另外直線形問題的分析方法是：執(zhí)果索因，因為需要研究的是線段之間的關系，需要把它們放在可以確立關系的圖形（△DGC）中才可能實現(xiàn)，那么就需要尋找未知的線段（AD）與（CF）之間的數(shù)量關系。

2.變換工具作用

［案例5］（2018年北京市豐臺區(qū)初三模擬考試卷）

如圖11，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB.過點C在△ABC外作射線CE，且∠BCE=α（0°＜α＜45°），點B關于CE的對稱點為點D，連接AD，BD，CD，其中AD，BD分別交射線CE于點M，N.用等式表示線段AM，CN之間的數(shù)量關系，并證明.

圖11

分析：依據(jù)測量（AM=kCN），探究特殊位置（α=0°或45°）時候K的取值，猜想而后將轉(zhuǎn)移成某線段，再證明線段相等.構(gòu)造的方法可以是：如圖12，以CN為邊，C或N點為直角頂點，構(gòu)造等腰直角三角形；以點C為銳角頂點構(gòu)造一個等腰直角三角形CFN或CNG；還可以將CN轉(zhuǎn)化為兩線段和、用AM表示CN或者轉(zhuǎn)為線段比的方法求證.無論如何轉(zhuǎn)移，最終都是構(gòu)造全等或者相似.

圖12

教學思考：幾何變換的試題一定要關注的是我們需要什么，若是需要等量關系，力求構(gòu)造全等；若是需要線段之間的數(shù)量關系，則需構(gòu)造一圖形使得邊長得以轉(zhuǎn)移.

（三）關注問題解決的抓手

面對幾何綜合試題，我們需要思考的是，為什么要添加這樣的輔助線？添加輔助線后形成了什么問題？為什么高線會成為比較常見的輔助線？構(gòu)造全等三角形與構(gòu)造特殊三角形之間有什么關聯(lián)？能進行幾何變換的一些“標志”是什么？如何用好銳角三角函數(shù)求角的工具？如何理解三角形的可解？

對于一個幾何問題，如果我們發(fā)現(xiàn)它的基本圖形存在一個或者若干個不完整的情況，那么我們嘗試著把這些基本圖形補充完整，［6］如垂經(jīng)定理的基本圖中，若有垂直即可延長被垂直的線段，然后再用垂徑定理的相關結(jié)論.所以添加輔助線的目的是為了把不完整的基本圖形補全，使得能形成結(jié)論的基本圖形的性質(zhì)得到應用而完成證明；為什么高線會成為比較常見的輔助線？添加高線，可將斜三角形問題轉(zhuǎn)化為直角三角形問題進行處理，而在直角三角形中，勾股定理顯然是解決數(shù)量關系的重要工具；構(gòu)造全等，實現(xiàn)的是圖形之間的轉(zhuǎn)移和變換，而構(gòu)造特殊三角形，則是實現(xiàn)形中的角與線段的數(shù)量的轉(zhuǎn)移；抓住共端點、等線段，這一定是幾何變換（全等）的“標志”；圓對原來的線段、角及三角形帶來的變化就是能把不在同一個三角形的邊角轉(zhuǎn)化為同一個三角形中，銳角三角函數(shù)的函數(shù)值只與這一銳角的大小有關，結(jié)合圓中導角功能，將角轉(zhuǎn)到所需的較易求得的三角形中，只要這個三角形穩(wěn)定，它就一定可解.

初中階段的邏輯推理素養(yǎng)培養(yǎng)，對一個人在數(shù)學思維的品質(zhì)發(fā)展上極為重要.數(shù)學思維不僅有探究活動的合情推理過程，這過程包含著直覺、類比、聯(lián)想與感知，還要有嚴謹理性的證明過程（演繹推理）.小學階段讓學生直觀感悟合情推理的素養(yǎng)，初中階段要關注幾何綜合試題問題解決的思維能力培養(yǎng)，教學中多思考合情與演繹如何結(jié)合，讓學生逐步形成邏輯推理素養(yǎng)，進而進入高中階段的學習.