SynRM 混沌系統(tǒng)動力學(xué)特性分析及電路實現(xiàn)

安徽理工大學(xué)電氣與信息工程學(xué)院 李澤宇

根據(jù)常微分方程與混沌系統(tǒng)動力學(xué)基本理論，采用混沌系統(tǒng)常用分析方法分析了SynRM混沌系統(tǒng)的基本動力學(xué)特性并根據(jù)系統(tǒng)方程完成了硬件電路設(shè)計。

現(xiàn)代混沌的觀念包含著豐富的內(nèi)涵至今沒有完整、統(tǒng)一的定義，現(xiàn)有的定義也只是從不同的層面描述了混沌行為的特征?；煦缱鳛橐环N物理現(xiàn)象在自然界中普遍存在，混沌運動具有自己獨特的性質(zhì)。具體表現(xiàn)在混沌系統(tǒng)的有界性、遍歷性、分維性、確定系統(tǒng)的內(nèi)在隨機性、對初值的極端敏感性等。

混沌現(xiàn)象廣泛存在于電力電子電路、電機等系統(tǒng)中。同步磁阻電動機具有結(jié)構(gòu)簡單，使用環(huán)境要求低，運行效率高和調(diào)速范圍廣等諸多優(yōu)點。本文根據(jù)同步磁阻電動機的特點，建立了同步磁阻電機的動力學(xué)模型，經(jīng)時間尺度變換和線性仿射變換得到同步磁阻電機（SynRM）混沌系統(tǒng)。采用數(shù)值模擬的方法做出了SynRM混沌系統(tǒng)的相圖、分岔圖和李雅普諾夫指數(shù)譜，分析了SynRM混沌系統(tǒng)的基本動力學(xué)特性并根據(jù)系統(tǒng)方程設(shè)計出硬件電路。

1 SynRM混沌系統(tǒng)

1.1 模型建立

SynRM混沌系統(tǒng)來源于同步磁阻電機（SynRM），在理想狀態(tài)下，同步磁阻電機對應(yīng)的系統(tǒng)方程式為：

其中，vas、vbs、vcs為定子相電壓，ias、ibs、ics為定子相電流，ψas、ψbs、ψcs為每相定子磁鏈，Rs為每相定子電阻。經(jīng)過Park變換，公式(1)可改寫為：

其中，vds、vqs分別表示電壓的直軸（d軸）和交軸（q軸）分量，ids、iqs分別表示電流的d軸和q軸分量，Lds、Lqs分別表示電感的d軸和q軸分量，ψds、ψqs分別表示磁鏈的d軸和q軸分量，ωe為同步磁阻電機轉(zhuǎn)子角速度。

同步磁阻電機電磁轉(zhuǎn)矩方程描述如下：

其中，P為電機極數(shù)，Te為電磁轉(zhuǎn)矩。

同步磁阻電機運動方程描述如下：

其中，ωr為轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速，J為轉(zhuǎn)動慣量，B為粘滯系數(shù)，Tl為負載轉(zhuǎn)矩。

圖1 系統(tǒng)(7)相軌跡圖

由公式(2)，(3)，(4)可得同步磁阻電機的動力學(xué)模型：

經(jīng)時間尺度變換和線性仿射變換得到同步磁阻電機無量綱狀態(tài)模型。

圖2 參數(shù)r變化時系統(tǒng)(7)的分岔圖

圖3 系統(tǒng)(7)的李雅普諾夫指數(shù)圖

表1 平衡點的穩(wěn)定性

圖4 電路原理圖

公式(7)即為無量綱SynRM混沌系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，下面對如公式(7)所示無量綱SynRM混沌系統(tǒng)系統(tǒng)進行動力學(xué)特性分析。

1.2 SynRM混沌系統(tǒng)特性分析

該混沌系統(tǒng)存在五個平衡點：S0（0，0，0），S1,2（0.2042，±1.4142，±0.1444），S3,4（9.7958，±1.4142，±6.9267），對應(yīng)平衡點穩(wěn)定性如表1所示。選取參數(shù)a，b，r分別為，a=2，b=1，r=10時，系統(tǒng)存在混沌吸引子，輸入初值x=2，y=3，z=1，相軌跡圖如圖1所示。

當(dāng)a=2，b=1，r∈[9，18]時，系統(tǒng)(7)關(guān)于x軸方向的分岔圖如圖2所示，系統(tǒng)(7)的李雅普諾夫指數(shù)圖譜如圖3所示，該系統(tǒng)存在混沌現(xiàn)象。

2 電路實現(xiàn)

采用模塊化設(shè)計方法設(shè)計模擬電路，驗證系統(tǒng)的動態(tài)行為，系統(tǒng)由運算放大器、模擬乘法器等電子元件構(gòu)成。

由于系統(tǒng)(7)狀態(tài)變量的變化范圍超出模擬元器件允許的電壓范圍，且為便于在電路輸出信號中觀察到混沌現(xiàn)象，需對原系統(tǒng)進行變量比例壓縮變換和時間尺度變換。所得方程如下：

其中t=τ0t1，，a=2，b=1，r=10，τ0=500，所設(shè)計電路如圖4所示。

結(jié)論：采用數(shù)值模擬的方法做出了SynRM混沌系統(tǒng)的相圖、分岔圖和李雅普諾夫指數(shù)譜，分析了SynRM混沌系統(tǒng)的基本動力學(xué)特性并根據(jù)系統(tǒng)方程設(shè)計出硬件電路，仿真結(jié)果表明SynRM混沌系統(tǒng)中存在混沌現(xiàn)象。