內(nèi)涵型NGM(1,1,K)預(yù)測(cè)模型及其在油液光譜分析中的應(yīng)用

王海濤 龔烈航

(1.廣東機(jī)電職業(yè)技術(shù)學(xué)院 廣東廣州 510080；2.陸軍工程大學(xué)野戰(zhàn)工程學(xué)院 江蘇南京210000)

油液光譜分析是利用各種金屬元素的原子在遷躍過(guò)程中發(fā)射或吸收不同的光譜波長(zhǎng)來(lái)了解液壓油中所含金屬元素的種類及含量，從而了解零件磨損狀況，判斷機(jī)械異常和預(yù)測(cè)故障的一種方法[1]。目前已廣泛應(yīng)用于航空、鐵路、軍事等許多重要部門。油液分析數(shù)據(jù)具有記憶性強(qiáng)、依時(shí)間連續(xù)變化的特點(diǎn)，通過(guò)預(yù)測(cè)未來(lái)數(shù)據(jù)的變化趨勢(shì)結(jié)合油液分析數(shù)據(jù)的閾值，能夠較早發(fā)現(xiàn)液壓系統(tǒng)的故障征兆，避免更嚴(yán)重事故的發(fā)生，對(duì)保障設(shè)備正常運(yùn)行具有極其重要的意義[2-6]。

依靠油液分析數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)液壓系統(tǒng)的運(yùn)行狀態(tài)時(shí)，因?qū)σ簤合到y(tǒng)內(nèi)部的磨損及運(yùn)行細(xì)節(jié)所知甚少，有理由認(rèn)為液壓系統(tǒng)為一灰色系統(tǒng)[7]。另外，油樣的采集、測(cè)試過(guò)程相對(duì)復(fù)雜，成本高，油液樣本相對(duì)較少。灰色預(yù)測(cè)模型所需數(shù)據(jù)樣本少，無(wú)需考慮待預(yù)測(cè)系統(tǒng)的狀態(tài)參數(shù)，僅依靠數(shù)據(jù)本身去預(yù)測(cè)系統(tǒng)未來(lái)狀態(tài)的發(fā)展趨勢(shì)，且具有較高的預(yù)測(cè)精度，因此，文中選擇灰色預(yù)測(cè)模型作為預(yù)測(cè)工具。

灰色系統(tǒng)理論是研究少數(shù)據(jù)、不確定性的理論，自1982年鄧聚龍教授創(chuàng)立灰色系統(tǒng)理論以來(lái)，已廣泛應(yīng)用于社會(huì)經(jīng)濟(jì)、工業(yè)、農(nóng)業(yè)等領(lǐng)域，并取得了顯著的成果[8-9]。GM(1,1)模型作為灰色系統(tǒng)理論的核心內(nèi)容，是應(yīng)用最廣泛的灰色預(yù)測(cè)模型[10]。作為GM(1,1)模型的拓廣，文獻(xiàn)[11]提出了新灰色預(yù)測(cè)NGM(1,1,K)模型，稱之為新NGM(1,1,K)模型。但在應(yīng)用新NGM(1,1,K)模型時(shí)，出現(xiàn)擬合與預(yù)測(cè)精度不高的情況，甚至不如傳統(tǒng)GM(1,1)模型。通過(guò)分析其建模機(jī)制，得出其精度不高的原因?yàn)椋盒翹GM(1,1,K)模型的定義型與白化型不匹配。為消除因不匹配問(wèn)題而引起的固有偏差，本文作者在新NGM(1,1,K)模型的基礎(chǔ)上，提出了內(nèi)涵型NGM(1,1,K)模型。

1 內(nèi)涵型NGM(1,1,K)模型的建立

1.1 新NGM(1,1,K)模型

為了便于與后文提到的內(nèi)涵型NGM(1,1,K)模型進(jìn)行比較分析，對(duì)新NGM(1,1,K)模型[11]的建模過(guò)程作簡(jiǎn)要介紹：

建立基于非齊次指數(shù)律特性離散數(shù)據(jù)序列的新NGM(1,1,K)模型的定義型：

x(0)(k)+az(1)(k)=kb+c

(1)

式中：z(1)(k)稱為模型的緊鄰均值生成背景值序列，

k=2,3,......,n

(2)

式(1)的一階白化微分方程

(3)

稱為新NGM(1,1,K)模型的白化型。

(4)

將參數(shù)a、b和c代入一階白化微分方程(3)，取初始條件為：x(1)(1)=x(0)(1)，可得x(1)的響應(yīng)函數(shù)：

(5)

當(dāng)k≤n時(shí)，所得值為原始數(shù)據(jù)的擬合值；當(dāng)k>n時(shí)，所得值為原始數(shù)據(jù)的預(yù)測(cè)值。

1.2 新NGM(1,1,K)模型偏差原因分析

新NGM(1,1,K)模型的建模機(jī)制為：先用定義型(1)估計(jì)參數(shù)a、b和c，再將其代入白化響應(yīng)式(5)中進(jìn)行擬合與預(yù)測(cè)計(jì)算。然而，定義型(1)與白化型(3)是有差異的，存在不匹配問(wèn)題。

即：

(6)

將新NGM(1,1,K)模型的定義型x(0)(k)+az(1)(k)=kb+c與式(6)比較，可知其白化型與定義型存在兩處不匹配：

上述兩處不匹配造成了新NGM(1,1,K)模型的固有偏差。文獻(xiàn)[8]指出GM(1,1)白化型并不是從定義型推導(dǎo)出來(lái)的，僅僅是一種“借用”、“白化默認(rèn)”。文獻(xiàn)[12]深入分析了GM(1,1)模型的白化型和定義型中所含參數(shù)a和b的關(guān)系，得出2種形式下的參數(shù)是有差異的。同理，新NGM(1,1,K)模型存在同樣的問(wèn)題，其原因可以歸結(jié)為：新NGM(1,1,K)模型的定義型與白化型不匹配，從而導(dǎo)致擬合與預(yù)測(cè)結(jié)果的失效。

1.3 內(nèi)涵型NGM(1,1,K)模型

為解決新NGM(1,1,K)模型的定義型與白化型不匹配問(wèn)題，消除其固有偏差，文中提出內(nèi)涵型NGM(1,1,K)模型。

設(shè)x(0)為原始序列，x(1)為其一次累加生成序列，對(duì)x(0)建立如下模型，記為內(nèi)涵型NGM(1,1,K)模型：

其中，a、b和c為待定參數(shù)，由公式(4)求得。

證明：基于新NGM(1,1,K)模型的定義型：

x(0)(k)+az(1)(k)=kb+c

以z(1)(k)的表達(dá)式：

代入有：

x(0)(k)+0.5a(x(1)(k)+x(1)(k-1))=kb+c

以x(1)(k)的表達(dá)式：

x(1)(k)=x(0)(k)+x(1)(k-1)

代入上式有：

x(0)(k)+0.5a(x(0)(k)+2x(1)(k-1))=kb+c

可轉(zhuǎn)化為

(1+0.5a)x(0)(k)+ax(1)(k-1)=kb+c

令k=2有：

(1+0.5a)x(0)(2)+ax(1)(1)=2b+c，

聯(lián)合考慮

(1+0.5a)x(0)(k)+ax(1)(k-1)=kb+c

(7)

(1+0.5a)x(0)(k-1)+ax(1)(k-2)=

(k-1)b+c

(8)

從式(7)有：

(9)

從式(8)有

(10)

將式(10)代入式(9)有

(11)

式(11)也適合

從而有：

依此類推可得：

(12)

已知k=2時(shí)，新NGM(1,1,K)模型的定義型為

(13)

由此可見(jiàn)，內(nèi)涵型NGM(1,1,K)模型是從新NGM(1,1,K)模型的定義型推導(dǎo)出來(lái)的，故與定義型存在零偏差。

2 模型在油液光譜分析中的應(yīng)用

監(jiān)測(cè)試驗(yàn)在某型挖掘機(jī)液壓系統(tǒng)上進(jìn)行，取樣點(diǎn)位于回油管的取樣球閥處，對(duì)所采集到的油樣在測(cè)量之前，做如下預(yù)處理：

(1)采用超聲波振蕩器振蕩油液；

(2)將油液溫度加熱到50 ℃;

(3)采用超聲波清洗儀除氣泡。

對(duì)油樣做發(fā)射光譜分析，得到的Fe元素質(zhì)量分?jǐn)?shù)原始數(shù)據(jù)如表1所示。以前4次Fe元素質(zhì)量分?jǐn)?shù)為建模數(shù)據(jù)，分別建立內(nèi)涵型NGM(1,1,K)模型、新NGM(1,1,K)模型和傳統(tǒng)GM(1,1)模型以預(yù)測(cè)第5次、第6次和第7次Fe元素質(zhì)量分?jǐn)?shù)，其擬合、預(yù)測(cè)結(jié)果如表2所示。

以Fe元素質(zhì)量分?jǐn)?shù)序列建立的內(nèi)涵型NGM(1,1,K)模型，其響應(yīng)式為

建立的NGM(1,1,K)模型，其響應(yīng)式為

k=1,2,......,n

建立的傳統(tǒng)GM(1,1)模型，其響應(yīng)式為

表1 Fe元素質(zhì)量分?jǐn)?shù)原始數(shù)據(jù)

表2 3種模型精度比較

由表2可知：擬合精度方面，內(nèi)涵型NGM(1,1,K)的平均擬合相對(duì)誤差為0.262 8%，新NGM(1,1,K)模型的平均擬合相對(duì)誤差為4.279 5%,GM(1,1)模型的平均擬合相對(duì)誤差為0.430 9%；預(yù)測(cè)精度方面，內(nèi)涵型NGM(1,1,K)模型的平均預(yù)測(cè)相對(duì)誤差為1.247 9%，新NGM(1,1,K)模型的平均預(yù)測(cè)相對(duì)誤差為10.218 8%，GM(1,1)模型的平均預(yù)測(cè)相對(duì)誤差為3.157 9%。3種模型的預(yù)測(cè)曲線如圖1所示，內(nèi)涵型NGM(1,1,K)模型可以很好地預(yù)測(cè)Fe元素質(zhì)量分?jǐn)?shù)的變化，新NGM(1,1,K)模型預(yù)測(cè)值偏大，GM(1,1)模型預(yù)測(cè)值偏小。由此可見(jiàn)，文中提出的內(nèi)涵型NGM(1,1,K)模型預(yù)測(cè)精度最高，其次是GM(1,1)模型，精度最差的是新NGM(1,1,K)模型。

結(jié)合光譜分析閾值制定方法[13]，得到液壓系統(tǒng)Fe元素質(zhì)量分?jǐn)?shù)的正常值、警戒值和異常值界限如圖1所示。新NGM(1,1,K)模型預(yù)測(cè)值偏大，根據(jù)液壓系統(tǒng)維護(hù)規(guī)則，會(huì)造成過(guò)度維護(hù)，浪費(fèi)資源；GM(1,1)模型預(yù)測(cè)值偏小，會(huì)造成維護(hù)不到位，而后引發(fā)故障。內(nèi)涵型NGM(1,1,K)模型預(yù)測(cè)第6次取樣Fe元素質(zhì)量分?jǐn)?shù)為6.078 91×10-5，處于正常值界限以下。第6次取樣實(shí)測(cè)值為6×10-5，預(yù)測(cè)第7次取樣值為7.370 67×10-5，超過(guò)正常值界限，預(yù)示液壓系統(tǒng)將要面臨不正常磨損，要對(duì)液壓系統(tǒng)進(jìn)行體外循環(huán)過(guò)濾或停機(jī)檢查，防止故障發(fā)生。

圖1 3種模型預(yù)測(cè)曲線

3 結(jié)論

(1)針對(duì)新NGM(1,1,K)白化型與定義型存在不匹配的問(wèn)題，提出了內(nèi)涵型NGM(1,1,K)灰色預(yù)測(cè)模型。將該模型對(duì)某型挖掘機(jī)液壓系統(tǒng)光譜分析Fe元素質(zhì)量分?jǐn)?shù)序列進(jìn)行建模，與GM(1,1)模型和新NGM(1,1,K)模型相比，該模型具有更高的擬合與預(yù)測(cè)精度。

(2)內(nèi)涵型NGM(1,1,K)模型得到的光譜分析元素質(zhì)量分?jǐn)?shù)的預(yù)測(cè)值結(jié)合閾值制定結(jié)果可實(shí)現(xiàn)對(duì)液壓系統(tǒng)的狀態(tài)監(jiān)測(cè)，做到主動(dòng)維護(hù)，保障其可靠運(yùn)行，防止故障發(fā)生。