相似中的“雙A”型

文 李長春（特級教師）

教材中的例題和習(xí)題都是經(jīng)過專家反復(fù)打磨、精心設(shè)計(jì)而成的，具有很強(qiáng)的針對性和典型性，也是同學(xué)們獲取知識和方法、發(fā)展能力的重要載體。在“圖形的相似”這一章中，就有一個大家非常熟悉的基本圖形。

【原題再現(xiàn)】（蘇科版數(shù)學(xué)教材九年級下冊第54頁例1）如圖1，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在AB、AC邊上，且DE∥BC。試說明△ADE與△ABC相似的理由。

圖1

這是一個基本模型，因?yàn)檎麄€圖形像個英文字母A，所以我們稱它為“A”型。很多試題中都有它的身影。我們先來看看這個模型在習(xí)題中的變式。

【習(xí)題再現(xiàn)】（蘇科版數(shù)學(xué)教材九年級下冊第65頁習(xí)題6.4第3題）如圖2，在△ABC中，點(diǎn)D、E、F分別在BC、AB、AC上，EF∥BC，交AD于點(diǎn)G。

（1）圖中有幾對相似三角形？是哪幾對？

圖2

【思路分析】（1）將原圖形進(jìn)行分解，可得到3對“A”型相似三角形，分別是△AEG∽△ABD、△AGF∽△ADC、△AEF∽△ABC；（2）由△AEG∽△ABD，得由△AGF∽△ADC，得所以。

從圖形的形狀上來看，因?yàn)槠湎駜蓚€并排放置的英文字母A，所以我們不妨稱其為“雙A”型。將第（2）問中的結(jié)論變形也可得到我們可以稱之為“雙A”型性質(zhì)1。

特別地，當(dāng)點(diǎn)G為EF的中點(diǎn)時(shí)，則點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)；反之，當(dāng)點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)時(shí)，則點(diǎn)G為EF的中點(diǎn)。我們可以稱之為“雙A”型性質(zhì)2。

在解題中若能發(fā)現(xiàn)“雙A”型，并靈活運(yùn)用這些結(jié)論，往往能解決不少看似無從下手的難題。特選出幾例與大家分享。

一、隱藏在正方形中的“雙A”型

例1 如圖3，在△ABC中，∠BAC=90°，正方形DEFG的四個頂點(diǎn)在△ABC的邊上，連接AG、AF分別交DE于M、N兩點(diǎn)。若AB=AC=9，求MN的長。

圖3

【思路分析】由正方形DEFG得DE∥BC，由“雙A”型的性質(zhì)1可得由正方形DEFG以及AB=AC、∠BAC=90°易得BG=DG=GF，所以DM=MN。同理可得MN=NE，所以。又因?yàn)樗訫N=。

【總結(jié)提煉】本題兩次運(yùn)用“雙A”型相似模型，結(jié)合正方形和等腰直角三角形的性質(zhì)，使問題順利得解。由此可見，在解題過程中，我們?nèi)裟茏プ』镜臄?shù)學(xué)模型，往往能化難為易，化繁為簡。

二、隱藏在圓中的“雙A”型

例2 如圖4，已知AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的切線，OC平行于弦AD，過點(diǎn)D作DE⊥AB，垂足為E，連接AC與DE交于點(diǎn)P，求證：EP=PD。

圖4

【思路分析】如圖4，分別延長BC、AD交于點(diǎn)F。因?yàn)镺C∥AD，所以則BC=CF。因?yàn)锳B是⊙O的直徑，BC是⊙O的切線，所以FB⊥AB。又因?yàn)镈E⊥AB，所以DE∥FB，而BC=CF，由“雙A”型性質(zhì)2，可得EP=PD。

【總結(jié)提煉】本題在補(bǔ)全“雙A”型的基礎(chǔ)上，以圓的半徑相等和OC平行于弦AD為依托，在證得BC=CF后，運(yùn)用“雙A”型性質(zhì)2找到解題思路。因此，我們要想運(yùn)用“雙A”型，就需要先根據(jù)題意發(fā)現(xiàn)（或構(gòu)造出）“雙A”型。

三、隱藏在投影下的“雙A”型

例3某興趣小組開展課外活動，如圖5，A、B兩地相距12米，小明從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向勻速前進(jìn)，2秒后到達(dá)點(diǎn)D處，此時(shí)他（CD）在某一燈光下的影長為AD。繼續(xù)按原速行走2秒到達(dá)點(diǎn)F處，此時(shí)他在同一燈光下的影子仍落在其身后，并測得這個影長為1.2米。然后他將速度提高到原來的1.5倍，再行走2秒到達(dá)點(diǎn)H處，此時(shí)他（GH）在同一燈光下的影長為BH（點(diǎn)C、E、G在一條直線上）。

（1）請?jiān)趫D中畫出光源O點(diǎn)的位置，并畫出小明位于點(diǎn)F時(shí)，在這個燈光下的影長FM（不寫畫法）；

（2）求小明原來的速度。

圖5

【思路分析】（1）光源O點(diǎn)的位置及小明位于點(diǎn)F時(shí)在這個燈光下的影長FM如圖6所示。（2）設(shè)小明原來的速度為v米/秒，由題意得CE=DF=AD=2v，AM=AF-MF=4v-1.2，EG=FH=2×1.5v=3v，MB=AB-AM=12-（4v-1.2）=13.2-4v。因 為CG∥AB，由“雙A”型性質(zhì)1得所以。解這個方程得v1=0，v2=1.5。經(jīng)檢驗(yàn)，v=1.5為方程的解。

圖6

【總結(jié)提煉】在補(bǔ)全圖形的基礎(chǔ)上，出現(xiàn)了“雙A”型相似模型，因此，只要我們能夠根據(jù)已知條件設(shè)出小明原來的速度，然后表示出圖中相關(guān)線段的長，抓住“雙A”型，運(yùn)用其性質(zhì)，問題就會迎刃而解。