一種基于EMD 分組式的DMD 自適應幅值預測方法*

朱 軍，唐寶煜，李 凱

（1.安徽大學，安徽 合肥 230601；2.上?？萍即髮W，上海 201210）

0 引言

在MIMO 系統(tǒng)中，高速場景非常值得研究，因為用戶依然希望在高速移動的車輛上獲得高數(shù)據(jù)速率[1]。當用戶處于移動狀態(tài)時，基站與用戶之間的信道狀態(tài)信息（Channel State Information，CSI）會在短時間內(nèi)急劇波動。只有準確預測出移動用戶未來時間點的CSI，才能為MIMO 系統(tǒng)的高性能和高質(zhì)量服務提供有力的支撐。現(xiàn)在已經(jīng)發(fā)展出了兩種經(jīng)典的基于模型的預測方案，分別是自回歸（Auto-Regressive，AR）模型[2]和參數(shù)模型[3]?；贏R 模型的預測方案容易受到附加噪聲等缺陷的影響[4]。在面對實際的移動場景時，AR 模型預測方案不具有吸引力。參數(shù)模型應用的前提條件是相對于信道衰落的速率，信道參數(shù)變化非常緩慢[5]，不符合移動場景的設定。

DMD 是一種數(shù)據(jù)驅(qū)動的時空算法，可以用來分析非線性動態(tài)系統(tǒng)隨時間的行為模式，從而預測系統(tǒng)的未來狀態(tài)[6]。文獻[7]將DMD 用于振蕩等離子體的行為預測。文獻[8]將DMD 融入智能建筑中來預測供暖、通風和空調(diào)系統(tǒng)的溫度。本文提出使用DMD 算法預測移動用戶信道幅值，并提出了優(yōu)化算法——AEG-DMD 算法。該算法將子信道響應所分的組數(shù)作為閾值來分辨DMD 算法和基于EMD分組式的DMD 算法（EG-DMD）的使用場景，從而可以預測不同移速用戶的信道幅值。

1 用戶數(shù)據(jù)模型

上?？萍即髮W的霧計算實驗室為本文提供了移動用戶的信道矩陣數(shù)據(jù)。移動用戶的信道模型使用的是3GPP38.901 中的統(tǒng)計模型——城市宏蜂窩（3D-UMa）模型。天線設置、大尺度及小尺度衰落均以3D-UMa 模型為準。由該模型得到的移動用戶信道數(shù)據(jù)為復數(shù)形式。該模型具體各項參數(shù)如表1 所示。

表1 移動用戶信道模型參數(shù)

2 DMD 預測移動用戶信道幅值

DMD 算法使用特征值和模態(tài)來表示動態(tài)系統(tǒng)的演化過程。假設對動態(tài)系統(tǒng)進行均勻采樣，得到有限長度的快照序列為：

式中，xi(i=0,1,…,M)代表觀測向量x在第i個時間點的狀態(tài)，M+1 為快照時間點個數(shù)，X0M代表從序列的初始0 時刻到第M個時刻的集合。設觀測向量x的維度為N。

假設有一個線性映射A可以將系統(tǒng)的狀態(tài)xi連接到隨后的狀態(tài)xi+1，即：

式中，映射A在整個采樣區(qū)間內(nèi)是近似相同的。如果該快照序列是非線性過程，那么該映射相當于線性切線近似?，F(xiàn)將快照序列X0M-1寫成Krylov序列：

將式（2）和式（3）相結(jié)合可得到：

為了避免矩陣的數(shù)值病態(tài)，Schmid 提出利用快照數(shù)據(jù)矩陣的奇異值分解（Singular Value Decomposition，SVD）來計算動態(tài)系統(tǒng)的模態(tài)[9]。其主要思想是通過酉變換和截斷最小奇異值來抑制病態(tài)性?，F(xiàn)對X0M-1進行SVD：

式中，U描述了快照序列的空間結(jié)構，V代表了快照序列的時間結(jié)構，，σ1≥…≥σmin(N,M)≥0，σi為X0M-1的第i個奇異值。

將X0M-1近似為一個低秩矩陣，即對于k∈{1,…,min(N,M)}，定 義Vk=V(;1:k)，所以有。此時可以表示為：

可通過所獲得的DMD 模式及對應的特征值來預測該系統(tǒng)第M+1 個狀態(tài)：

式中，Zk+為Zk的偽逆。

本文所使用的移動用戶信道矩陣為復數(shù)，表示為H。用Hk表示第k個移動用戶的信道矩陣：

式中，基站端天線有p根，移動用戶端天線有q根，hkl(1 ≤k≤p,1 ≤l≤q)代表基站端第k個天線到移動用戶端第l個天線的信道響應。由于H是用復數(shù)來表示的，因此可令hkl=akl+bkli，所以每一個hkl的幅值可以表示為：

進行預測仿真時，先使用表1 的參數(shù)來生成移動用戶信道復數(shù)矩陣數(shù)據(jù)，然后使用式（11）將復數(shù)矩陣轉(zhuǎn)換為幅值形式，再使用DMD 方法進行預測。在預測時，采用前5 個傳輸時間間隔（Transmission Time Interval，TTI）數(shù)據(jù)預測后1 個TTI 數(shù)據(jù)的形式，即用第1～5 的TTI 數(shù)據(jù)預測第6 個TTI 數(shù)據(jù)，再用2～6 個TTI 原始數(shù)據(jù)來預測第7 個TTI 數(shù)據(jù)，以此類推。圖1 展示了使用DMD算法預測不同移速某用戶信道幅值的預測效果。

如圖1 所示，對于用戶速度較低的低復雜度信號而言，利用DMD 算法預測MIMO 系統(tǒng)矩陣幅值效果較好。圖1（a）的幅值預測曲線基本和真實幅值曲線相吻合，只有少量的點出現(xiàn)了毛刺現(xiàn)象。然而對于用戶移速較高的高復雜度信號，DMD 算法無法再準確地抓住系統(tǒng)的變化模態(tài)。圖1（c）的預測幅值出現(xiàn)了劇烈抖動和發(fā)散情況，此時DMD 算法已無法再用于高移速的用戶信道幅值預測。

圖1 DMD 算法預測不同移速某用戶的信道幅值

3 AEG-DMD 預測移動用戶信道幅值

3.1 EG-DMD 算法

EMD 算法不需要信號的頻率、幅度等先驗知識即可對信號進行分解處理。因此，EMD 在分析非平穩(wěn)非線性信號方面具有獨有的優(yōu)勢[10]。其主要思想是自適應地將輸入信號分解為有限的單一頻率零均值基本分量，這些基本分量稱為固有模態(tài)函數(shù)（Intrinsic Mode Function，IMF）。每個IMF 應滿足下面兩個條件：

（1）極值點的數(shù)目和過零點的數(shù)目要么相等，要么相差為1；

（2）包絡線平均值在任何點上都為零（分別用極大值和極小值組成上包絡線和下包絡線）。

設原始信號為x(t)，其EMD 分解步驟如下：

步驟1：找出x(t)的所有極值；

步驟2：用3 次樣條插值將極大值組成上包絡，極小值組成下包絡；

步驟3：求出上下包絡的均值；

步驟4：用原數(shù)據(jù)減去均值，此時假設余量為臨時IMF 分量；

步驟5：檢查臨時IMF 分量是否符合IMF 的兩個條件，若不滿足，則將臨時IMF 重復前面步驟，直到條件滿足為止；

步驟6：用原數(shù)據(jù)減去第一個IMF 分量，得到殘余數(shù)據(jù)；

步驟7：令殘余數(shù)據(jù)為原數(shù)據(jù)，重復以上步驟，直到IMF 無法提出為止。

x(t)在經(jīng)過EMD 分解后，可表示成若干IMFs和殘差信號之和：

式中，n為IMFs 的個數(shù)，d(t)為殘差信號。

本文提出的EG-DMD 算法的主要思想是：對于所獲取的移動用戶信道復數(shù)矩陣，先進行幅值轉(zhuǎn)換，對每個子信道響應時序圖進行EMD 分解，所有子信道響應經(jīng)過分解后進行分組，分組過后，對每一組信號進行DMD 算法，預測后續(xù)TTI 的信道幅值。每一組都預測完畢之后，將每組的預測值相加，再加上相應的平均位移，合并為最終的預測幅值。

分組原則為：

（1）所有子信道響應分解的IMF1 分量作為第1 組，所有IMF2 分量作為第2 組，以此類推。

（2）每個子信道響應分解出的IMF 分量個數(shù)如果不相等，則以最少IMF 個數(shù)的子信道響應為準，舍棄其他子信道響應多余的IMF 分量及殘差信號。

進行仿真時，依舊是采用前5 個TTI 數(shù)據(jù)預測后1 個TTI 數(shù)據(jù)的形式。圖2 展示了使用EG-DMD算法預測不同移速某用戶信道幅值的預測效果。

在用戶移速較高時，相較于DMD 來說，EGDMD 具有較好的預測能力。圖2（c）的幅值預測曲線和真實幅值曲線相差不大，毛刺現(xiàn)象比圖1（c）預測曲線的毛刺現(xiàn)象少得多。然而，當用戶移速較低時，如圖2（a）所示，雖然EG-DMD 能夠很好地把握用戶的信道幅值變化情況，但會出現(xiàn)預測偏高或偏低的情況，并沒有DMD 預測得準確。

3.2 基于組數(shù)的閾值區(qū)分

從3.1 節(jié)可以知道，DMD 算法和EG-DMD 算法分別適用于低移速低復雜幅值信號和高移速高復雜幅值信號的預測。但需要注意的是，不能簡單地從用戶移速大小來判斷使用DMD 和EG-DMD 的閾值，因為無論是用DMD 還是用EG-DMD 進行預測，MRE 并不是隨著移速的增加而單調(diào)遞增。為了分辨出使用DMD 和EG-DMD 的閾值，對所有移動用戶的信道數(shù)據(jù)分別進行DMD 和EG-DMD 預測。圖3 展示了信道數(shù)據(jù)所分出的組數(shù)與MRE 的關系曲線。

圖2 EG-DMD 算法預測不同移速某用戶的信道幅值

圖3 對不同組數(shù)信號進行預測的MRE

從圖3 中可以發(fā)現(xiàn)，當信道幅值矩陣所分出的組數(shù)大于或等于5 時，使用EG-DMD 的MRE 更小，組數(shù)小于或等于4 時，直接使用DMD 預測的MRE會更小。因此，AEG-DMD 算法可以寫為：

圖4 展示了分別使用DMD、EG-DMD 和AEGDMD 預測移動用戶信道幅值的MRE。

圖4 使用DMD、EG-DMD 和AEG-DMD 預測的MRE

根據(jù)圖4 可以看到，AEG-DMD 綜合了DMD和EG-DMD 的優(yōu)勢，即對于低移速移動用戶信道幅值使用DMD 進行預測，使得預測結(jié)果平滑又準確；對于高移速移動用戶信道幅值使用EGDMD 進行預測，使得預測結(jié)果的毛刺較少且MRE較低。因此，基于組數(shù)的閾值區(qū)分可以自適應地區(qū)分預測環(huán)境，自動判斷何時使用DMD，何時使用EG-DMD。

3.3 不同預測算法的比較

將文獻[2]中的AR 預測、文獻[3]中使用的多項式擬合預測和AEG-DMD 預測進行MRE 比較。所有預測形式均采用前5 個幅值數(shù)據(jù)預測后1 個幅值數(shù)據(jù)形式，因此AR 預測時的階數(shù)取5，而多項式擬合取4 次多項式。圖5 展示了以上方法預測移動用戶信道幅值的MRE 曲線。

圖5 多種預測方法的MRE

圖5 中AR（5）表示只使用5 個幅值數(shù)據(jù)計算AR 系數(shù)，而AR（100）使用100 個幅值數(shù)據(jù)計算AR 系數(shù)。從圖5 中可以看出，AR（5）預測的MRE 最大，并不適用于幅值預測，AR（100）預測移動用戶信道幅值的MRE 整體較小，甚至在預測20 km/h 的移動用戶幅值時比AEG-DMD 更好，但其他移速的預測方面不如AEG-DMD。多項式擬合預測方式非常適合預測低移速用戶的信道幅值，其MRE 與AEG-DMD 的MRE 非常接近，但是在面對高移速用戶時，其預測誤差有陡升現(xiàn)象，這和文獻[3]描述的一樣，即只有變化緩慢的信道預測才使用該方法。因此，AEG-DMD 整體的預測情況最好。

4 結(jié)語

本文提出AEG-DMD 算法來預測移動用戶信道幅值，將子信道響應所分的組數(shù)作為閾值來分辨DMD 算法和EG-DMD 算法的使用場景。仿真結(jié)果表明，AEG-DMD 算法既可以使用DMD 算法預測低移速用戶信道幅值，又可以使用EG-DMD 算法預測高移速用戶信道幅值。