行波超聲電機(jī)振動模態(tài)非線性滑模觀測器與協(xié)調(diào)控制

荊鍇， 林夏萍， 王婕， 董硯

(1.河北工業(yè)大學(xué) 人工智能與數(shù)據(jù)科學(xué)學(xué)院，天津 300401；2. 河北省控制工程技術(shù)研究中心，天津 300130)

0 引 言

行波超聲電機(jī)(travelling-wave ultrasonic motor,TWUSM)利用壓電材料逆壓電效應(yīng)激發(fā)超聲振動行波，進(jìn)而使定子表面質(zhì)點以橢圓軌跡運(yùn)動，從而通過與轉(zhuǎn)子接觸摩擦驅(qū)動轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)。這類電機(jī)具有轉(zhuǎn)矩密度大、位置分辨率高、動態(tài)響應(yīng)快、無電磁干擾等優(yōu)點，在醫(yī)療衛(wèi)生、航空航天等領(lǐng)域的精密驅(qū)動系統(tǒng)中得到廣泛的應(yīng)用[1-4]。

由于壓電振動以及接觸摩擦的非線性，使得電機(jī)本體具有很強(qiáng)的非線性特征，并且電機(jī)參數(shù)也會隨著溫度變化、接觸磨損等發(fā)生明顯改變，這些因素都將影響電機(jī)的精密控制性能。針對TWUSM的非線性、時變性，現(xiàn)有研究多從控制算法上對電機(jī)外特性進(jìn)行優(yōu)化控制來提高電機(jī)運(yùn)行性能。文獻(xiàn)[5]給出了一種非線性補(bǔ)償PID算法。文獻(xiàn)[6]則研究了帶有積分分離PID的恒定前饋和基于模型參考自適應(yīng)控制的自適應(yīng)反饋和前饋算法，來提高軌跡跟蹤精度。史敬灼團(tuán)隊研究了采用簡單專家PID控制方法[7-8]以及非線性調(diào)節(jié)PID參數(shù)的模糊控制器[9]來改善電機(jī)速度控制。潘松、牛子杰等人則設(shè)計了模式推理控制與PID控制相融合的控制算法[10-11]，實現(xiàn)超低速寬工作速度范圍的高精度的速度跟蹤控制。此外，H∞控制算法也被用于提高TWUSM位置控制精度[12-13]。

然而從TWUSM的驅(qū)動機(jī)理來看，定子的振動以及接觸摩擦是產(chǎn)生驅(qū)動轉(zhuǎn)矩的關(guān)鍵，然而，目前對TWUSM振動的研究也基于價格昂貴、不易安裝的傳感器進(jìn)行電機(jī)的性能分析和模型補(bǔ)償[14-16]，而直接用于控制的研究較少。為直接從電機(jī)振動特性上對電機(jī)運(yùn)行性能給予控制優(yōu)化，電機(jī)的兩相振動模態(tài)應(yīng)當(dāng)被重點關(guān)注。然而由于振動模態(tài)不宜直接測量，本文將采用滑模變結(jié)構(gòu)觀測方法實現(xiàn)其重構(gòu)[17-18]?；Ｓ^測器(sliding mode observer，SMO)具有很強(qiáng)的魯棒性、自適應(yīng)性，適用于非線性、不確定性的系統(tǒng)狀態(tài)觀測，目前研究多集中在電磁電機(jī)位置觀測、飛行器狀態(tài)觀測[19-21]等。

本文將在分析合成行波與電機(jī)運(yùn)行特性關(guān)聯(lián)基礎(chǔ)上，建立TWUSM兩相振動模態(tài)的非線性SMO，分析系統(tǒng)穩(wěn)定性和參數(shù)魯棒性；并根據(jù)觀測的振動模態(tài)，設(shè)計協(xié)同控制算法，調(diào)節(jié)兩相電壓，進(jìn)而改善電機(jī)運(yùn)行特性。最后通過實驗驗證該方法的有效性。

1 TWUSM基本方程及轉(zhuǎn)矩特性分析

TWUSM的工作原理：通過給空間正交的兩相壓電振子施加兩相互差π/2的高頻正弦電壓激發(fā)兩相振動模態(tài)，進(jìn)而在定子中合成行波并驅(qū)使定子表面質(zhì)點的橢圓運(yùn)動，從而對以一定預(yù)壓力壓在定子表面的轉(zhuǎn)子產(chǎn)生驅(qū)動摩擦。

TWUSM兩相電壓u=[uA,uB]T、電流i=[iA,iB]T與激發(fā)的振動模態(tài)w=[wA,wB]T間滿足以下機(jī)電耦合方程：

(1)

(2)

其中：Ms=diag{msA,msB}、Ds=diag{dsA,dsB}以及Cs=diag{csA,csB}分別代表兩相模態(tài)質(zhì)量、模態(tài)阻尼和模態(tài)剛度；Rd=diag{RdA,RdB}、Cd=diag{CdA,CdB}分別為兩相壓電振子的介電損耗電阻和靜態(tài)電容；FC=[fCA,fCB]T為由于接觸作用產(chǎn)生的兩相界面接觸模態(tài)力；Θ為機(jī)電耦合系數(shù)。

定子中合成的行波可以表示為

(3)

近似地，定子通過接觸摩擦產(chǎn)生的轉(zhuǎn)矩可表示為理想轉(zhuǎn)速vid與實際轉(zhuǎn)速v之差的非線性函數(shù)[10]，即

Te=fT(vid-v)=fT(φθωWsinkθT-v)。

(4)

實際中，由于電機(jī)材料、裝配等帶來的電機(jī)兩相參數(shù)非對稱性以及受運(yùn)行溫度、磨損引起參數(shù)時變，即使施加的兩相電壓等幅正交，所產(chǎn)生的行波也將存在幅值和相位的波動，進(jìn)而導(dǎo)致驅(qū)動轉(zhuǎn)矩的波動以及摩擦損耗的增加，影響控制性能。所以，針對兩相振動模態(tài)的觀測和協(xié)調(diào)控制是十分必要的。

2 振動模態(tài)非線性滑模觀測器設(shè)計

2.1 振動模態(tài)滑模觀測器

根據(jù)TWUSM機(jī)電耦合方程(1)，由于A、B兩相表達(dá)式一致，不失一般性，將其一相方程重新寫為

(5)

其中，界面接觸模態(tài)力fC由于受電機(jī)實際運(yùn)行中作用力影響，為系統(tǒng)不可測的非線性部分。

(6)

(7)

根據(jù)TWUSM的運(yùn)行特性可知，該未知函數(shù)有界，且滿足

h(t,x,u)=Bξ(t,x,u),|ξ(t,x,u)|

(8)

由于系統(tǒng)中存在非線性的未知項，根據(jù)Walcott-Zak魯棒滑模觀測器的設(shè)計方法，設(shè)計振動模態(tài)的非線性觀測器為

(9)

(10)

觀測器的控制輸入為

(11)

根據(jù)系統(tǒng)特征及觀測器穩(wěn)定性條件，對TWUSM非線性SMO的參數(shù)進(jìn)行設(shè)計，得到

設(shè)Lyapunov函數(shù)

V(e)=eTPe，

(12)

則有

-eTQe-ρ|fCe|-ξfCe≤

-eTQe-|fCe|(ρ-|ξ|)≤

-eTQe-|fCe|(ρ-D)。

(13)

其中第一項，Q雖然為半正定矩陣，但滿足該項沿任一軌跡不恒為零，故其平衡點為原點。第二項由于ρ≥D+η，η為正實數(shù)，也必然小于等于0，所以

(14)

等號僅在e=0時成立，于是可以證明，觀測器穩(wěn)定收斂，并且對參數(shù)的擾動具有魯棒性。

2.2 振動模態(tài)一階導(dǎo)數(shù)的估計

根據(jù)電流方程(2)，亦將其一相方程按狀態(tài)變量電壓u重新寫為

(15)

(16)

其中，k1>0，0

(17)

則其一階導(dǎo)數(shù)

(18)

(19)

結(jié)合Lyapunov函數(shù)，可以得到

(20)

則系統(tǒng)不僅是全局范圍內(nèi)漸進(jìn)穩(wěn)定，而且是有限時間穩(wěn)定，穩(wěn)定時間依賴于s的初值s0，即

(21)

(22)

對于上述觀測器中，均可采用sigmoid函數(shù)或者雙曲正切函數(shù)代換符號函數(shù)sgn(·)，以降低觀測過程中的抖振。

3 基于SMO的振動模態(tài)協(xié)調(diào)控制

針對TWUSM全橋驅(qū)動器，提出了一種適用于FPGA的兩相振動模態(tài)協(xié)調(diào)控制的實現(xiàn)方法，控制結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 基于非線性SMO的振動模態(tài)協(xié)調(diào)控制圖Fig.1 Nonlinear SMO based vibration mode coordination control block

(23)

這樣，通過計算獲得每相每次存儲的N個點中的峰值wAm和wBm及其對應(yīng)的位置idxA、idxB分別對幅值和相位進(jìn)行協(xié)調(diào)控制。

對于幅值，比較觀測得到的兩相振動模態(tài)的峰值wAm和wBm，利用PI控制下一定范圍內(nèi)協(xié)同調(diào)節(jié)兩相方波電壓占空比dA、dB。兩相的占空比的初值選取方波能量利用率最大時對應(yīng)的占空比37.1%[22]，調(diào)節(jié)范圍按能量利用率設(shè)置為25%～50%。

對于相位的調(diào)節(jié)，則以A相為參考，調(diào)節(jié)B相相位。根據(jù)峰值所對應(yīng)的位置idxA和idxB，可計算出振動模態(tài)的相位差

(24)

通過PI調(diào)節(jié)器調(diào)節(jié)B相電壓相位，使φ滿足±π/2(符號“±”表明電機(jī)正反轉(zhuǎn)需求的相位關(guān)系)。

依據(jù)上述兩相振動模態(tài)的幅值和相位的協(xié)同調(diào)節(jié)，則可實現(xiàn)兩相振動模態(tài)的等幅正交，降低合成行波的波動，從而減小轉(zhuǎn)矩脈動及多余的摩擦損耗。

進(jìn)一步地，為實現(xiàn)TWUSM的精密伺服控制，在以上述振動模態(tài)的協(xié)調(diào)控制作為內(nèi)環(huán)控制的基礎(chǔ)上，可結(jié)合以頻率調(diào)節(jié)和直流母線電壓補(bǔ)償?shù)目刂菩问絹硗瓿赏猸h(huán)速度/位置精密伺服控制。

4 仿真及實驗

4.1 電機(jī)參數(shù)

仿真和實驗中所用參數(shù)均取自一臺GTUSM-60-R型TWUSM及自制電機(jī)全橋驅(qū)動控制器，電機(jī)部分參數(shù)見表1。

表1 行波型超聲電機(jī)參數(shù)

4.2 振動模態(tài)觀測器仿真

在MATLAB/Simulink中建立TWUSM及其全橋驅(qū)動器仿真模型。對照實際電機(jī)驅(qū)動狀態(tài)，設(shè)置全橋電路輸出的方波電壓頻率為42.08 kHz，占空比37.1%，幅值70 V，A相電壓滯后B相π/2，空載運(yùn)行。按本文方法建立非線性SMO觀測振動模態(tài)。

圖2 起動初期兩相振動模態(tài)觀測曲線Fig.2 Observation curves of two-phase vibration modes at the beginning

圖3 穩(wěn)態(tài)兩相振動模態(tài)觀測曲線Fig.3 Observation curves of two-phase vibration modes at steady state

為驗證該非線性SMO系統(tǒng)的魯棒性，當(dāng)參數(shù)存在20%的擾動時，重新進(jìn)行上述仿真。為了快速檢驗，設(shè)置A相參數(shù)增加20%，B相減少20%，得到的仿真結(jié)果如圖3所示。圖中，兩相實際振動模態(tài)曲線為實線，觀測曲線為虛線，為便于觀察，觀測曲線同樣向上平移0.5 μm。圖中可以看出，兩組曲線與未改變參數(shù)前，幾乎沒有變化，其觀測值的相對誤差依然不超過2%。

圖4 觀測器參數(shù)擾動下兩相振動模態(tài)觀測曲線Fig.4 Observation curves of two-phase vibration modes under disturbance of parameters

通過上所述仿真結(jié)果說明，本文所提出的TWUSM振動模態(tài)非線性SMO能夠快速、準(zhǔn)確地觀測振動模態(tài)，并具有參數(shù)魯棒性，從而為優(yōu)化電機(jī)控制奠定基礎(chǔ)。

4.3 基于SMO的兩相振動模態(tài)協(xié)同控制仿真

建立協(xié)調(diào)控制仿真模型，對所提出的SMO兩相振動模態(tài)協(xié)調(diào)控制方法進(jìn)行仿真驗證。

首先，未加入?yún)f(xié)調(diào)控制，仿真參數(shù)設(shè)置與上一小節(jié)相同，得到穩(wěn)態(tài)時的兩相電壓、兩相振動模態(tài)以及轉(zhuǎn)速、轉(zhuǎn)矩的曲線，如圖5所示。

圖5(a)最上部分給出了兩相電壓曲線，由于全橋驅(qū)動電路兩相諧振電感以及電機(jī)兩相靜態(tài)電容參數(shù)并不完全相同，即使方波電壓的幅值、占空比設(shè)置相同，通過LC諧振得到的機(jī)端兩相電壓也不盡相同。其中A相電壓幅值為185.58 V，B相電壓峰峰值為171.19 V。下邊兩幅圖分別給出了兩相電壓幅值的偏差及兩相電壓的相位差(依算法按周期統(tǒng)計)，其中，平均幅值偏差為14.1748 V，平均相位差為-0.493 8π。可見兩相電壓幅值接近，相位差基本為-π/2。

圖5 未加入?yún)f(xié)調(diào)控制TWUSM運(yùn)行特性曲線Fig.5 TWUSM running characteristic curves without coordination control

在圖5(a)電壓作用下，仿真得到兩相振動模態(tài)曲線如圖5(b)最上部分所示，其中，兩相振動模態(tài)的幅值分別為：wA=1.251 4 μm，wB=1.593 9 μm。其幅值存在較大偏差，平均幅值偏差為-0.342 3 μm；A相相對于B相的相位差平均值為-0.507 2π rad，接近-π/2。引起振動模態(tài)幅值不相等的主要原因即電機(jī)兩相結(jié)構(gòu)參數(shù)不對等。

由于兩相振動模態(tài)幅值存在偏差，將引起轉(zhuǎn)矩脈動和轉(zhuǎn)速波動，如圖5(c)所示。空載運(yùn)行下，電機(jī)輸出轉(zhuǎn)矩平均值為0，但是其轉(zhuǎn)矩脈動ΔT達(dá)到0.84 N·m，相對于該型號電機(jī)最大輸出轉(zhuǎn)矩1.6 N·m，其脈動大。由此也帶來了轉(zhuǎn)速的波動：轉(zhuǎn)速均值約85 r/min，轉(zhuǎn)速的波動Δn約在1.03 r/min左右，雖然傳統(tǒng)意義上該轉(zhuǎn)速波動不大，但對于超聲電機(jī)低速、精密運(yùn)動控制，還是將導(dǎo)致控制精度下降等問題。

采用本文所提出的振動模態(tài)協(xié)調(diào)控制策略，構(gòu)建振動模態(tài)的幅值和相位閉環(huán)協(xié)調(diào)控制。在與上文相同的頻率和方波電壓幅值的條件下，兩相方波電壓的占空比分別經(jīng)控制調(diào)節(jié)為A相46.2%、B相28.0%，相位差為-0.49π。穩(wěn)態(tài)下，兩相電壓、兩相振動模態(tài)以及轉(zhuǎn)速、轉(zhuǎn)矩的仿真曲線分別如圖6所示。

調(diào)節(jié)后，機(jī)端兩相電壓發(fā)生了較大變化，如圖6(a)所示，兩相電壓的幅值分別為：A相201.25 V，B相138.09 V，幅值偏差64.42 V，相位差則變化為-0.485 8π。而兩相振動模態(tài)，如圖6(b)所示，呈現(xiàn)出等幅正交的狀態(tài)，兩相振動模態(tài)的幅值分別為1.359 8 μm和1.361 7 μm，平均幅值偏差僅3.730 1 nm，相對于幅值不到0.28%。兩相振動模態(tài)的平均相位差則-0.493 4π，更接近于-π/2。

通過兩相振動模態(tài)的調(diào)節(jié)，電機(jī)輸出的轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)矩特性得到改善。如圖6(c)所示，由于電機(jī)空載，穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)矩的平均值為0，轉(zhuǎn)矩脈動ΔT降至0.064 0 N·m，為未調(diào)節(jié)時的轉(zhuǎn)矩脈動的7.6%，可見轉(zhuǎn)矩脈動得到顯著降低。與此同時，速度開環(huán)轉(zhuǎn)速均值約83 r/min，轉(zhuǎn)速波動Δn降為0.268 2 r/min，性能亦得到了顯著改善。

綜上，由協(xié)調(diào)控制仿真結(jié)果可知，基于所提出的非線性SMO觀測振動模態(tài)，協(xié)調(diào)控制兩相振動模態(tài)使之等幅正交，可有效改善電機(jī)輸出轉(zhuǎn)矩和轉(zhuǎn)速的性能，進(jìn)一步提升TWUSM在精密運(yùn)動系統(tǒng)中的精密性和穩(wěn)定性。

4.4 振動模態(tài)非線性SMO及協(xié)調(diào)控制實驗驗證

采用如圖7所示的基于FPGA的TWUSM全橋驅(qū)動控制實驗平臺進(jìn)行實驗驗證，其中，TWUSM同軸連接扭矩傳感器和編碼器用于轉(zhuǎn)矩和轉(zhuǎn)速的測量，末端連接磁粉制動器用于加載。另外，實驗中將FPGA控制器中所觀測到的振動模態(tài)通過DAC輸出，從而便于直接觀測。

圖6 加入?yún)f(xié)調(diào)控制TWUSM運(yùn)行特性曲線Fig.6 TWUSM running characteristic curves with coordination control

未加協(xié)調(diào)控制時，全橋驅(qū)動器輸出方波電壓占空比37.1%，頻率42 kHz，磁粉制動器未加載(空載)。穩(wěn)定運(yùn)行，通過編碼器獲得電機(jī)轉(zhuǎn)速約為89 r/min，電機(jī)電壓和觀測振動模態(tài)波形如圖8所示。其中，A、B兩相電壓幅值分別為190 V和172 V，觀測到的振動模態(tài)幅值分別為1.43 μm及1.10 μm，相位差0.538 9π。兩相振動模態(tài)幅值存在有0.33 μm偏差。

圖7 基于FPGA的TWUSM全橋驅(qū)動控制實驗平臺Fig.7 FPGA-based full-bridge drive control platform of TWUSM

圖8 未加入?yún)f(xié)調(diào)控制電壓、振動模態(tài)曲線Fig.8 Voltage and vibration modes curves without coordination control

加入?yún)f(xié)調(diào)控制后，兩相占空比經(jīng)控制調(diào)整為A相30%、B相46%，空載下轉(zhuǎn)速約為87 r/min，電壓及觀測振動模態(tài)波形如圖9所示。其中，兩相電壓幅值分別調(diào)節(jié)為130 V和203 V，獲得觀測的振動模態(tài)幅值分別為1.35 μm和1.34 μm，相位差為0.494 4π，實現(xiàn)了模態(tài)的等幅正交。

上述兩組實驗所對應(yīng)的軸上輸出轉(zhuǎn)矩曲線通過波形記憶功同時顯示，如圖10所示，T1為未加協(xié)調(diào)控制的轉(zhuǎn)矩，T2為加入?yún)f(xié)調(diào)控制后的轉(zhuǎn)矩，由于均在空載下，其轉(zhuǎn)矩平均值近似為0。在圖中可以看出，T2轉(zhuǎn)矩脈動約為0.4 N·m，而T1的轉(zhuǎn)矩脈動達(dá)到1.4 N·m，明顯大于T2的轉(zhuǎn)矩脈動。

圖9 加入?yún)f(xié)調(diào)控制電壓、振動模態(tài)曲線Fig.9 Voltage and vibration modes curves with coordination control

圖10 輸出轉(zhuǎn)矩對比曲線Fig.10 Output torque comparison

對比上述實驗結(jié)果，如圖11所示，未引入?yún)f(xié)調(diào)控制而按等占空比進(jìn)行控制，電機(jī)兩相電壓接近，但是受電機(jī)參數(shù)不對稱的影響，激發(fā)出的兩相振動模態(tài)存在較大偏差，其輸出轉(zhuǎn)矩亦存在較大脈動；而利用非線性SMO針對電機(jī)的兩相振動模態(tài)實施協(xié)調(diào)控制，使其振動模態(tài)近乎等幅正交，可有效減小電機(jī)輸出的轉(zhuǎn)矩脈動。上述實驗也間接證明了所觀測得到的振動模態(tài)的正確性。

圖11 實驗結(jié)果對比Fig.11 Comparison of experiment results

5 結(jié) 論

本文著眼于TWUSM產(chǎn)生驅(qū)動的振動本質(zhì)，在分析了振動模態(tài)對輸出轉(zhuǎn)矩的影響上，研究了TWUSM振動模態(tài)非線性SMO及其協(xié)調(diào)控制策略。首先，針對不易直接測量的振動模態(tài)，在對振動模態(tài)一階導(dǎo)數(shù)估計的基礎(chǔ)上構(gòu)建了一種非線性SMO設(shè)計方法，利用Lyapunov法對其穩(wěn)定性以和參數(shù)魯棒性給予證明。其次，在非線性SMO的基礎(chǔ)上，提出了一種面向全橋驅(qū)動器的兩相模態(tài)協(xié)調(diào)控制的優(yōu)化策略。最后，對所提出的非線性SMO的準(zhǔn)確性和魯棒性進(jìn)行了仿真驗證，并針對電機(jī)兩相振動模態(tài)的協(xié)調(diào)優(yōu)化控制行了對比仿真和實驗。結(jié)果表明，基于所提出的非線性SMO準(zhǔn)確獲得電機(jī)振動模態(tài)，并協(xié)調(diào)控制使其等幅正交，能有效減小電機(jī)輸轉(zhuǎn)矩脈動，提高電機(jī)運(yùn)行性能。