3-RSR并聯(lián)機(jī)構(gòu)工作空間的研究

羅建國，王 婷，王宇強(qiáng)

(1.華北科技學(xué)院機(jī)電工程學(xué)院，河北 三河 065201)(2.河北省礦山設(shè)備安全監(jiān)測重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，河北 三河 065201)(3.華北科技學(xué)院安全工程學(xué)院，河北 三河 065201)

并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有剛度較大、結(jié)構(gòu)穩(wěn)定、誤差小、精度高、易于實(shí)現(xiàn)高速運(yùn)動(dòng)、結(jié)構(gòu)簡單等優(yōu)點(diǎn)，這也是并聯(lián)機(jī)構(gòu)比串聯(lián)機(jī)構(gòu)應(yīng)用更廣泛的原因[1]。3-RSR并聯(lián)機(jī)構(gòu)是一類具有1T2R少自由度的空間對(duì)稱并聯(lián)機(jī)構(gòu)，其被廣泛應(yīng)用于醫(yī)學(xué)、噴漆、汽車裝配、精密加工、精密測量等工程領(lǐng)域。諸多學(xué)者對(duì)此類一移兩轉(zhuǎn)并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行過研究[2-4]，并提出了具有1T2R的不同類型并聯(lián)機(jī)構(gòu)。文獻(xiàn)[5]基于拉格朗日方程建立該機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)模型，并對(duì)該機(jī)構(gòu)載荷以及力矩進(jìn)行了分析；文獻(xiàn)[6]對(duì)各支鏈轉(zhuǎn)動(dòng)副平行的3-RSR并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行了位置求解；文獻(xiàn)[7]～[9]對(duì)并聯(lián)機(jī)構(gòu)自由度、特殊位形、位置進(jìn)行了分析；文獻(xiàn)[10]～[11]基于3-RSR并聯(lián)機(jī)構(gòu)幾何運(yùn)動(dòng)特性和雅可比矩陣對(duì)機(jī)構(gòu)進(jìn)行了奇異分析。

上述文獻(xiàn)基于拉格朗日方程和雅可比矩陣的求解過程比較繁瑣，計(jì)算量比較大，鑒于此，本文基于螺旋理論對(duì)某一類各支鏈3運(yùn)動(dòng)副軸線平行的3-RSR并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行了自由度分析、正逆解求解、奇異位形分析和位置分析，并借助AutoCAD軟件繪制出3-RSR并聯(lián)機(jī)構(gòu)的工作空間。

1 坐標(biāo)系的建立及機(jī)構(gòu)描述

圖1所示為3-RSR并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)簡圖。該機(jī)構(gòu)由動(dòng)平臺(tái)B、定平臺(tái)A及3個(gè)相同的支鏈RSR組成，每個(gè)支鏈的分支兩端是兩個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副(R)，中間是一個(gè)球鉸副(S)，并且球鉸副上下兩桿長度相等，即3個(gè)分支支鏈在上、下平面上對(duì)稱分布，且該機(jī)構(gòu)移動(dòng)方向始終是與其中間平面S相垂直，即沿著Z軸在豎直方向上移動(dòng)。

圖1 3-RSR并聯(lián)機(jī)構(gòu)

定平臺(tái)和動(dòng)平臺(tái)坐標(biāo)系分別是O-XYZ、p-xyz。設(shè)θi為AiSi繞轉(zhuǎn)動(dòng)副Ai的軸線逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至與O-XY平面平行的轉(zhuǎn)角；φi為SiBi繞球鉸副Si的軸線逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至與O-XY平面平行的轉(zhuǎn)角；OA2和OA3與OA1的夾角分別為δ2，δ3；轉(zhuǎn)動(dòng)副Ai和球鉸副Si軸線之間的距離為ai，其中a1=a2=a3=a；球鉸副Si和轉(zhuǎn)動(dòng)副Bi軸線之間的距離為bi，其中b1=b2=b3=b；動(dòng)平臺(tái)和靜平臺(tái)內(nèi)接圓半徑分別為r，R。

2 自由度分析

本文基于螺旋理論(反螺旋)的自由度分析原理和修正Kutzbach-Grübler公式，求解機(jī)構(gòu)的自由度分析空間3-RSR并聯(lián)機(jī)構(gòu)的自由度[12]。圖2為3-RSR并聯(lián)機(jī)構(gòu)在任一位形下的單支鏈結(jié)構(gòu)圖，動(dòng)平臺(tái)與靜平臺(tái)始終保持平行。在支鏈i的Si上建立坐標(biāo)系Si-xiyizi，其中xi軸與轉(zhuǎn)動(dòng)副Ai的軸線平行，yi軸與轉(zhuǎn)動(dòng)副Ai的軸線垂直，zi軸的方向按照右手螺旋定則確定，即方向?yàn)榇怪盨i-xy平面豎直向上，則支鏈i運(yùn)動(dòng)螺旋系的5個(gè)螺旋為：

圖2 單支鏈結(jié)構(gòu)圖

(1)

當(dāng)支鏈i的3個(gè)運(yùn)動(dòng)副軸線不共面時(shí)，Si1,Si2,Si3,Si4,Si5線性無關(guān)，為支鏈i的運(yùn)動(dòng)螺旋系的基，即秩為5，則其約束反螺旋系的基有1個(gè)螺旋。根據(jù)螺旋的互逆性，可知反螺旋的方向，即支鏈i對(duì)動(dòng)平臺(tái)有1個(gè)約束，方向?yàn)槠叫杏趧?dòng)平臺(tái)且沿著x軸。在坐標(biāo)系Si-xiyizi中可表示為：

(2)

綜上可知，當(dāng)3個(gè)支鏈的3個(gè)運(yùn)動(dòng)副軸線都不共面時(shí)，各個(gè)支鏈都對(duì)動(dòng)平臺(tái)施加了沿著X軸的力約束，即公共約束λ=1，其約束中間兩個(gè)平面的移動(dòng)和繞中間平面法矢的轉(zhuǎn)動(dòng)，從而斷定整個(gè)機(jī)構(gòu)的自由度為5，整個(gè)機(jī)構(gòu)包含動(dòng)平臺(tái)和定平臺(tái)，由此可以推出3條支鏈組成的機(jī)構(gòu)的自由度為3，具有1平移2轉(zhuǎn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)。該機(jī)構(gòu)的自由度可由修正的Kutzbach-Grübler公式計(jì)算，考慮公共約束λ=1和冗余約束ν=0，有：

(3)

式中：M為機(jī)構(gòu)的自由度；d為機(jī)構(gòu)的“階”，由公共約束λ確定，d=6-λ；n為機(jī)架的構(gòu)件數(shù)目；g為運(yùn)動(dòng)副的數(shù)目；fi為第i個(gè)運(yùn)動(dòng)副的自由度；ν為并聯(lián)冗余約束；ζ為機(jī)構(gòu)中存在的局部自由度。

3 奇異分析

上述自由度的計(jì)算過程和分析具有瞬時(shí)性，在運(yùn)動(dòng)過程中，經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)處于死點(diǎn)或者失去穩(wěn)定等一些特殊現(xiàn)象，這些現(xiàn)象都會(huì)引起自由度的變化，進(jìn)而造成一定的損壞，因此人們把機(jī)構(gòu)在上述現(xiàn)象中出現(xiàn)的特殊位形稱為機(jī)構(gòu)的奇異位形。機(jī)構(gòu)奇異位形按照形成原因可分為運(yùn)動(dòng)奇異和約束奇異。因此，對(duì)該機(jī)構(gòu)的奇異位形進(jìn)行深入研究，不僅可以減少其對(duì)機(jī)構(gòu)造成的損毀，從而避免經(jīng)濟(jì)損失和潛在危害等的發(fā)生，還有助于提高機(jī)構(gòu)自身性能，促使并聯(lián)機(jī)構(gòu)在工程實(shí)際應(yīng)用中快速發(fā)展。

本文通過運(yùn)動(dòng)螺旋的線性相關(guān)性來判斷機(jī)構(gòu)奇異類型，當(dāng)該機(jī)構(gòu)的各個(gè)支鏈運(yùn)動(dòng)螺旋線性相關(guān)時(shí)，動(dòng)平臺(tái)的約束相應(yīng)增加，引起自由度發(fā)生變化，故機(jī)構(gòu)發(fā)生奇異。當(dāng)機(jī)構(gòu)處于上述初始位形，可知螺旋不可能發(fā)生線性相關(guān)，因此機(jī)構(gòu)處于此種狀態(tài)時(shí)，不需要分析奇異類型。對(duì)于本文的3-RSR并聯(lián)機(jī)構(gòu)，當(dāng)且僅當(dāng)該機(jī)構(gòu)3個(gè)運(yùn)動(dòng)副軸線共面時(shí)，有支鏈的運(yùn)動(dòng)螺旋線性相關(guān)，使得自由度發(fā)生變化，機(jī)構(gòu)處于運(yùn)動(dòng)奇異。本文在分析約束奇異時(shí)，選取轉(zhuǎn)動(dòng)副A1，A2，A3作為主動(dòng)件。鎖住該3-RSR所有的主動(dòng)件，則獲得一類各支鏈運(yùn)動(dòng)副軸線平行的3-RS并聯(lián)機(jī)構(gòu)，通過機(jī)構(gòu)約束分布的圖解，可以看出機(jī)構(gòu)不同的約束類型。

將機(jī)構(gòu)分為一移動(dòng)和兩轉(zhuǎn)動(dòng)自由度的位形，圖3為動(dòng)平臺(tái)只有一移動(dòng)自由度時(shí)的示意圖。假設(shè)機(jī)構(gòu)在運(yùn)動(dòng)過程中3條支鏈的運(yùn)動(dòng)副軸線共面平行，則此時(shí)的運(yùn)動(dòng)螺旋發(fā)生線性相關(guān)，自由度亦發(fā)生變化，因此在此種狀態(tài)下機(jī)構(gòu)的約束類型是運(yùn)動(dòng)奇異；若此時(shí)鎖住定平臺(tái)上的主動(dòng)副，則機(jī)構(gòu)自由度為0，無約束奇異。

圖3 動(dòng)平臺(tái)只有1移動(dòng)自由度

圖4為動(dòng)平臺(tái)只有2轉(zhuǎn)動(dòng)自由度時(shí)的示意圖。如圖4(a)所示，當(dāng)3條支鏈的3個(gè)運(yùn)動(dòng)副軸線共面平行時(shí)，機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)螺旋發(fā)生線性相關(guān)，其自由度發(fā)生變化。在此種狀態(tài)下，機(jī)構(gòu)的約束類型為運(yùn)動(dòng)奇異，無約束奇異；如圖4(b)、(c)所示，當(dāng)3條支鏈的3個(gè)運(yùn)動(dòng)副軸線平行不共面或3條支鏈各自的運(yùn)動(dòng)副軸線相交時(shí)，機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)螺旋發(fā)生線性無關(guān)，在此種狀態(tài)下機(jī)構(gòu)無運(yùn)動(dòng)奇異；若此時(shí)鎖住定平臺(tái)上的主動(dòng)副，動(dòng)平臺(tái)上的約束限制機(jī)構(gòu)在中間球鉸副平面的移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)，故無約束奇異。

圖4 動(dòng)平臺(tái)只有2轉(zhuǎn)動(dòng)自由度

綜上所述，通過對(duì)3-RSR并聯(lián)機(jī)構(gòu)的奇異類型分析，可知當(dāng)機(jī)構(gòu)處于1移動(dòng)自由度的位形，動(dòng)定平臺(tái)的轉(zhuǎn)動(dòng)副與球鉸副之間的夾角達(dá)到180°，機(jī)構(gòu)自由度減少，此時(shí)只有運(yùn)動(dòng)奇異、無約束奇異；當(dāng)機(jī)構(gòu)處于2移動(dòng)自由度的位形，任一支鏈的轉(zhuǎn)動(dòng)副與球鉸副之間的夾角達(dá)到180°，機(jī)構(gòu)自由度減少，此時(shí)機(jī)構(gòu)只有運(yùn)動(dòng)奇異、無約束奇異。故在實(shí)際工程應(yīng)用中，可合理設(shè)置機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)參數(shù)來有效避免運(yùn)動(dòng)奇異的產(chǎn)生，進(jìn)而減少對(duì)機(jī)構(gòu)的損壞。

4 位置求解

4.1 位置逆解

3-RSR并聯(lián)機(jī)構(gòu)位置逆解可簡述為：已知?jiǎng)悠脚_(tái)坐標(biāo)系上各個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副的坐標(biāo)，求定平臺(tái)上各個(gè)主動(dòng)副的輸入角度θi。圖5所示為動(dòng)平臺(tái)位姿圖，設(shè)動(dòng)平臺(tái)上點(diǎn)P在固定坐標(biāo)系的坐標(biāo)為(XP,YP,ZP)，動(dòng)平臺(tái)相對(duì)于靜平臺(tái)的姿態(tài)用歐拉角表示，分別為α，β，γ，其中γ為無窮小量。根據(jù)該機(jī)構(gòu)在不同的運(yùn)動(dòng)位形下，都有轉(zhuǎn)動(dòng)副Bi軸線平行于轉(zhuǎn)動(dòng)副Ai的軸線，從而恒有α=0、β=0、γ=0。動(dòng)平臺(tái)的內(nèi)接圓半徑為r，定平臺(tái)的內(nèi)接圓半徑為R，根據(jù)圖1的幾何關(guān)系,可得到Bi在定坐標(biāo)系O-XYZ中的坐標(biāo)，其表達(dá)式如下：

(4)

圖5 動(dòng)平臺(tái)位姿圖

在定平臺(tái)坐標(biāo)系O-XYZ中，定平臺(tái)上的3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副A1,A2,A3的坐標(biāo)如下：

(5)

根據(jù)該機(jī)構(gòu)的空間位置，可知Si為以Ai為圓心、a為半徑的圓和以Bi為圓心、b為半徑的圓的交點(diǎn)，Si存在即逆解存在，其必要條件為：

(a-b)2≤(xAi-xBi)2+(yAi-yBi)2+(zAi-zBi)2≤(a+b)2

(6)

當(dāng)給定的P點(diǎn)的坐標(biāo)滿足式(7)時(shí)，Si存在，且由于Si特殊的空間位置關(guān)系，根據(jù)幾何關(guān)系S1B1=S2B2=S3B3=b，A1S1=A2S2=A3S3=a，可建立如下表達(dá)式：

(7)

式(8)中兩個(gè)方程相減后成為二元二次方程，最多可有2組解，每組解都可確定唯一的θi，可由式(8)解得：

(8)

綜上可知，對(duì)于本文中的3-RSR并聯(lián)機(jī)構(gòu)，當(dāng)給定位姿時(shí)，每條支鏈最多可有2組解，3條支鏈最多8組解，即8種位形。

4.2 位置正解

位置正解剛好和位置逆解的思路相逆，位置正解可簡述為：已知定平臺(tái)坐標(biāo)系上各個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副Ai的坐標(biāo)以及轉(zhuǎn)動(dòng)副的輸入角θi，求動(dòng)平臺(tái)的位姿(XP,YP,ZP,0,0,0)T。當(dāng)給定(θ1,θ2,θ3)T時(shí)，在定坐標(biāo)系O-XYZ中，球鉸副Si的坐標(biāo)容易由幾何關(guān)系得出，Si的坐標(biāo)表示如下：

(9)

將求得的Si、Bi的坐標(biāo)代入式(7)中的第二個(gè)方程式，化簡得到的方程為三元二次方程，最多可有8組解。

5 工作空間實(shí)例分析

假設(shè)3-RSR結(jié)構(gòu)參數(shù)如下：a=b=500 mm，r=50 mm，R=100 mm，δ2=δ3=120°。將上述參數(shù)代入式(6)中，化簡以后可得式(10)，此式為一個(gè)三維圓柱體的表達(dá)式。

(10)

以式(10)中的3個(gè)不等式為支撐，利用AutoCAD對(duì)3-RSR并聯(lián)機(jī)構(gòu)的工作空間進(jìn)行直觀表述。具體為：根據(jù)不等式可知各個(gè)支鏈方程的最小和最大范圍，形成3個(gè)相同圓柱體相交匯的運(yùn)動(dòng)空間，如圖6(a)所示；基于3個(gè)圓柱體的交匯空間，利用AutoCAD中的命令I(lǐng)NTERSECT(交集)，可得該機(jī)構(gòu)的包絡(luò)空間，如圖6(b)所示；最后利用AutoCAD查詢功能顯示工作空間質(zhì)量特性，包括質(zhì)量、體積、質(zhì)心、慣性矩、旋轉(zhuǎn)半徑等數(shù)據(jù)，如圖6(c)所示。由圖7可知，3-RSR并聯(lián)機(jī)構(gòu)的工作空間是完全對(duì)稱結(jié)構(gòu)，且在x軸方向的活動(dòng)空間范圍較大，原因是動(dòng)平臺(tái)和定平臺(tái)上的轉(zhuǎn)動(dòng)副平行于x軸線方向。

圖6 工作空間求解

6 結(jié)論

1)本文基于螺旋理論(反螺旋)自由度分析原理，根據(jù)機(jī)構(gòu)任一位形下3條支鏈的空間約束分布情況來判斷自由度的變化，可以清晰地判斷機(jī)構(gòu)奇異類型。

2)根據(jù)數(shù)值法建立的機(jī)構(gòu)位置正解和位置逆解的計(jì)算公式，可為該機(jī)構(gòu)的位置求解提供快速有效的計(jì)算方法。

3)通過本文確立的3-RSR并聯(lián)機(jī)構(gòu)工作空間表達(dá)式，并利用三維制圖軟件AutoCAD中相關(guān)命令繪制工作空間，發(fā)現(xiàn)三維空間是3個(gè)空心圓柱的交集。