分?jǐn)?shù)階微分方程解的存在性

張艷輝 郭瑞

摘? 要：基于Banach不動(dòng)點(diǎn)定理，通過構(gòu)造積分算子和GREEN函數(shù)，研究了如下兩點(diǎn)分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題

解的存在性。當(dāng)函數(shù)滿足不同的條件時(shí)，通過證明積分算子的有關(guān)性質(zhì)，結(jié)合Banach不動(dòng)點(diǎn)定理，能夠證明出該分?jǐn)?shù)階微分方程至少存在一個(gè)解的充分條件。在這里f是一個(gè)連續(xù)的函數(shù)，λ是實(shí)數(shù)。

關(guān)鍵詞：分?jǐn)?shù)階微分方程? 分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)? 解的存在性? 不動(dòng)點(diǎn)定理

中圖分類號(hào)：O177? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1672-3791（2021）02（b）-0242-04

The Existence of Solution for Fractional Differential Equation

ZHANG Yanhui*? GUO Rui

（College of Science， Shihezi University， Shihezi， Xinjiang Uygur Autonomous Region， 832003? China）

Abstract： Based on Banach fixed point theorem， by constructing integral operator and GREEN function， the following two-point fractional differential equation boundary value problems are studied， The existence of solutions.When the function satisfies different conditions， the sufficient conditions for the existence of at least one solution of the fractional differential equation can be proved by proving some properties of the integral operator and combining with the Banach fixed point theorem. Here f is a continuous function， λ is a real number.

Key Words： Fractional differential equation; Fractional derivative; Existence of solution; Fixed point theorem

分?jǐn)?shù)階微積分是一種經(jīng)典的微積分，在聲學(xué)、熱力系統(tǒng)和力學(xué)中起著重要的作用。此外，在其他科學(xué)領(lǐng)域，比如光學(xué)、流變學(xué)、材料、信號(hào)處理和控制理論等方面也扮演著重要的角色，關(guān)于分?jǐn)?shù)階邊值問題已經(jīng)有許多研究成果[1-6]，受文獻(xiàn)[7]的啟發(fā)，該文研究下面的分?jǐn)?shù)階微分方程的邊值問題解的存在性。

（1）

式中是Riemann-Liouville型α階導(dǎo)數(shù)。

1? 預(yù)備知識(shí)

定義1[8]：令，那么Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階積分定義如下：

該積分右端在上逐點(diǎn)有定義，這里的*表示卷積，表示Gamma函數(shù)并且

定義2：令，，那么Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義如下：

注釋：

是包含了上所有的連續(xù)函數(shù)的Banach空間，空間上函數(shù)f的范數(shù)定義為：

是包含了上所有的連續(xù)函數(shù)的Lebesgue可積空間。

如果，則存在，并且

，是正數(shù)集合。

引理3[9]：假設(shè)且，

則：

引理4：令，則是的唯一解，其中C∈R。

引理5[10]：E是Banach空間，是E的非空有界閉凸子集，是緊的且連續(xù)，則T在C中至少有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)。

引理6：假設(shè)是連續(xù)的，方程（1）的等價(jià)積分方程為：

貫穿整篇文章，我們會(huì)用到以下假設(shè)。

（H1）關(guān)于t是有界函數(shù)，也就是說，存在，使得有成立。

（H2）存在，使得

有成立。

2? 主要結(jié)果

在這一部分中，我們將證明方程（1）的解是存在的。如果是方程（1）的解，則：

其中是Green函數(shù)，定義為：

這里。

另外，我們還須考慮序列：

其中

接下來，定義算子，即：

。

定理2.1：算子T是連續(xù)的。

證明：由假設(shè)（H2），有：

則

另外，

對(duì)于（j=0，1，2，…有

由Euler積分，，特別的，

。通過變量替換，令，則? ? 可得：

所以：

因此，可得：

即，T是連續(xù)的。

定理2.2 T是緊的。

證明： （1）T是等度連續(xù)的。

令，則：

當(dāng)，所以，T是等度連續(xù)的。

T是一致有界的，即是有界集。

所以，

因此，T是一致有界的。

綜上所述，由Arzela-Ascoli定理可知，T是緊的。

定理2.3 是一致緊序列。

證明：當(dāng)時(shí)，。因此是基序列。假設(shè)，是的子序列，則：

當(dāng)。當(dāng)所以是收斂的，即是收斂的。

綜上所述，是一致緊序列。

另外，當(dāng)時(shí)，有，即是方程（1）的解。

定理4 假設(shè)（H1）和（H2）都成立，則方程（1）至少有一個(gè)解。

證明：由定理1和2、引理5可知，方程（1）有不動(dòng)點(diǎn)，換句話說，方程（1）至少有一個(gè)解。

3? 結(jié)語

該文運(yùn)用不動(dòng)點(diǎn)定理解決了微分方程兩點(diǎn)邊值問題，筆者也會(huì)去考慮如果把邊界條件換成積分邊界條件能否解決該問題。

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