基于有限元法的井底應(yīng)力場隨井底壓差變化規(guī)律研究

席境陽

（中石化勝利石油工程有限公司鉆井工藝研究院，山東東營257000）

0 引言

提高機(jī)械鉆速是鉆井工程領(lǐng)域不懈追求的目標(biāo)和努力的方向。國內(nèi)外大量的室內(nèi)實(shí)驗(yàn)和現(xiàn)場實(shí)踐都已表明，“降低井底壓力，改變井底巖石應(yīng)力狀態(tài)”是提高鉆速最有效的手段［1-7］。但目前針對井底應(yīng)力場及其受井底壓力影響規(guī)律的研究較少，對其認(rèn)識仍不深入，導(dǎo)致“降壓提速”工藝技術(shù)的提升與應(yīng)用受限。

目前井底應(yīng)力場的研究方法主要分為室內(nèi)實(shí)驗(yàn)與數(shù)值模擬2類。Maurer［8］利用模擬井底條件下單齒侵入試驗(yàn)得出液柱壓力的存在不僅增強(qiáng)了巖石的強(qiáng)度，而且對巖石破碎產(chǎn)生的巖屑有著“壓持作用”；常德玉等［9］通過對不同井底壓差下的井底巖石應(yīng)力場進(jìn)行數(shù)值模擬計(jì)算，將井底待破碎巖石按照應(yīng)力狀態(tài)分為破碎區(qū)、較易破碎區(qū)和難破碎區(qū)3部分；彭燁等［10］采用有限元方法分析得出常規(guī)鉆井井壁徑向應(yīng)力和周向應(yīng)力呈喇叭形分布且隨著半徑增大逐漸趨于原地應(yīng)力的結(jié)果；王延民等［11］、林鐵軍等［12］對氣體鉆井條件下的井底應(yīng)力場進(jìn)行了基于有限元理論的分析研究，得出了氣體鉆井條件下井底巖石更趨向于“受拉”狀態(tài)，較泥漿鉆井更容易破碎的結(jié)論。

可以看出，目前石油工程業(yè)內(nèi)針對井底巖石應(yīng)力場的研究尚不夠深入，且大多為定性分析［13-14］。本文利用有限元數(shù)值模擬的研究方法，建立了考慮三向地應(yīng)力、井底壓差（液柱壓力和孔隙壓力差）、滲流等因素的井底應(yīng)力場分析模型，分析井底壓差對井底應(yīng)力場分布的影響規(guī)律，為“降壓提速”技術(shù)的研究提供理論基礎(chǔ)。

1 控制方程

1.1 應(yīng)力平衡方程

根據(jù)虛功原理，某一時(shí)刻巖石的虛功等于作用其上的作用力（體力和面力）產(chǎn)生的虛功之和，則巖石材料的應(yīng)力平衡方程為：

式中：G——體力；f——面力；δε——虛位移；δu——虛應(yīng)變。

同時(shí)，為了將應(yīng)力和滲流進(jìn)行耦合，特對虛功方程（1）進(jìn)行時(shí)間的求導(dǎo)，最終形式為：

式中；Dep——彈塑性矩陣；dε——由孔隙壓力引起的固體顆粒在正方向上的壓縮，剪方向上無變形；V——控制體體積；SW——控制面積；KS——骨架顆粒模量；ξ——待定系數(shù)，可通過試驗(yàn)確定；m=［1，1，1，0，0，0］T。

1.2 連續(xù)方程

根據(jù)質(zhì)量守恒原理，單位時(shí)間段內(nèi)流入單位體積巖石內(nèi)的流體量與其內(nèi)部流體量變化值相等，結(jié)合達(dá)西定律可得滲流連續(xù)方程，如式（3）所示。

式中：k0——初始滲透系數(shù)張量與水密度的乘積；kr——比滲透系數(shù)（含水飽和度、應(yīng)力、應(yīng)變或者損傷變量等的函數(shù)）；ρw——流體密度；g——重力加速度；n——孔隙度；Kw——水的體積模量。

1.3 邊界條件

（1）流量邊界條件：

式中：pwb——已知邊界的孔隙壓力值。

式中：FS——邊界的單位法向流量；qw——單位時(shí)間內(nèi)流過邊界的流體流量。

（2）孔隙壓力邊界條件：

2 井底應(yīng)力分析有限元模型

井眼形成過程中，巖石位移和應(yīng)力重新分布，直到達(dá)到新的平衡狀態(tài)，形成“二次應(yīng)力場”。本文有限元模型分析了井眼形成后，不同井底壓差條件下井底巖石的應(yīng)力狀態(tài)。

2.1 基本假設(shè)

為了充分說明問題，并使研究過程簡化，本文在分析模型中做如下假設(shè)：

（1）地層巖石物性、力學(xué)性質(zhì)各向同性；

（2）井身結(jié)構(gòu)為直井，且井底面為水平面；

（3）忽略溫度對巖石物性、力學(xué)性質(zhì)的影響；

（4）不考慮流固耦合因素。

2.2 物理模型

井底巖石所受應(yīng)力狀態(tài)如圖1所示。

圖1 井底受力示意Fig.1 The schematic diagram of bottom hole pressure

為了提高計(jì)算機(jī)分析效率、減少計(jì)算量，在實(shí)際計(jì)算中取模型的1/4進(jìn)行分析。設(shè)井孔的直徑為D=300 mm，在鉆井工程分析中，模型的尺寸通常大于井眼直徑的5～10倍，因此取模型尺寸H=2 m，建立的井底幾何模型如圖2所示。

圖2 井底應(yīng)力場數(shù)值分析幾何模型Fig.2 Numerical analysis of bottom hole stress field geometric model

2.3 有限元離散方程

定義形函數(shù)：

式中：u——位移；Nu、Np——分別為形函數(shù)中表達(dá)位移和孔隙壓力的形函數(shù)系數(shù)；uˉ、pˉw——分別為單元節(jié)點(diǎn)的位移和孔隙壓力。

將式（4）代入式（2），精簡化可得 到有限元列式：

其中：

使用Galerkin方法，將式（3）作為控制方程，將式（4）作為通過邊界的連續(xù)性方程，并聯(lián)立形函數(shù)表達(dá)式（6），可得：

聯(lián)立式（7）與式（11），可得應(yīng)力-滲流耦合的有限元離散方程：

其中：

2.4 材料參數(shù)及邊界條件

2.4.1 材料參數(shù)

根據(jù)假設(shè)，巖石性質(zhì)為各向同性，其各項(xiàng)參數(shù)源自川西某井砂巖巖心MTS三軸力學(xué)試驗(yàn)結(jié)果，具體見表1。

表1 模型參數(shù)Table 1 Model parameters

2.4.2 邊界條件

（1）位移和約束邊界。在模型的XOZ面及YOZ上加對稱約束，并分別約束XOZ面和YOZ在Y和X方向的位移；同時(shí)在模型的底部XOY面上加Z方向約束。

（2）原始地應(yīng)力場邊界。模型頂部Z方向加載上覆巖層壓力σz，X、Y賦予2個(gè)水平主應(yīng)力σH、σh。

（3）井底、井壁壓力邊界。在井壁和井底施加液柱壓力ph與地層壓力pp之差pd。

2.5 分析步驟及方案設(shè)計(jì)

本文利用Abaqus有限元分析軟件，采用“地應(yīng)力自動釋放法”［15］對井底應(yīng)力場進(jìn)行研究，分析步1施加初始邊界條件，進(jìn)行地應(yīng)力平衡，即獲得初始平衡地應(yīng)力場，使數(shù)值計(jì)算模型得到一個(gè)存在應(yīng)力而不存在應(yīng)變的狀態(tài)。分析步2去除井眼內(nèi)的巖石模型，去除形成的井眼底部巖石原來所受到的上覆巖層壓力，同時(shí)在井底和井壁施加井筒液柱壓力及孔隙壓力，形成新的應(yīng)力場，達(dá)到較真實(shí)地模擬井底應(yīng)力場的目的。其分析求解的基本流程如圖3所示。

為了研究不同鉆井方式、不同井底壓差下井底應(yīng)力場的分布，及不同井底壓差對井底應(yīng)力的影響規(guī)律，施加的模擬條件如表2所示［16-18］。

3 結(jié)果及分析

為了便于分析井底應(yīng)力場的變化規(guī)律及各個(gè)因素對井底應(yīng)力場的影響，建立分析路徑O-A、O-B、O-C、O-D、O-E，它們與X軸之間的夾角分別為：0°、30°、45°、60°和90°，如圖4所示，O為路徑起點(diǎn)，A、B、C、D、E為終點(diǎn)。

3.1 井底巖石應(yīng)力徑向分布規(guī)律

3.1.1 Mises等效應(yīng)力

根據(jù)計(jì)算結(jié)果，井底平面不同路徑上Mises應(yīng)力分布規(guī)律基本一致。因此，僅以路徑O-C為例，作出不同井底壓差條件下井底巖石的Mises等效應(yīng)力分布曲線如圖5所示。

圖3 有限元數(shù)值求解基本流程Fig.3 The flow chart of finite element numerical solution

表2 不同鉆井方式下的應(yīng)力邊界條件Table 2 Stress boundary conditions under different drilling methods

圖4 井底平面巖石應(yīng)力徑向分析路徑示意Fig.4 Schematic diagram of radial stress analysis path for plane rock at bottom hole

可以看出，在井底中心周圍0～0.5R（R為井眼半徑）范圍內(nèi)，曲線表現(xiàn)較為平穩(wěn)，等效應(yīng)力變化較小；在（0.5～0.8）R范圍內(nèi)，曲線逐漸有了較明顯的變化，等效應(yīng)力增大；（0.8～1）R范圍，曲線變化最大，等效應(yīng)力出現(xiàn)了明顯的陡增陡降，這表示近井壁地帶的井底巖石出現(xiàn)了明顯的應(yīng)力集中現(xiàn)象。從鉆頭破巖角度講，這個(gè)范圍內(nèi)的巖石較難被鉆頭破碎。

圖5 不同壓差下井底Mises應(yīng)力分布Fig.5 Mises stress distribution at bottom hole under different pressure difference

3.1.2 最大主應(yīng)力與最小主應(yīng)力

圖6 描述了不同壓差下，井底平面最大主應(yīng)力與最小主應(yīng)力隨徑向距離的變化規(guī)律。由圖6可以看到，在從井底中心到井壁的徑向范圍內(nèi)，最大主應(yīng)力受井底壓差的影響，顯示出了不同的應(yīng)力狀態(tài)：井底負(fù)壓差時(shí)，最大主應(yīng)力以拉應(yīng)力為主（數(shù)值上為正數(shù)）；井底正壓差時(shí)則以壓應(yīng)力為主（數(shù)值上為負(fù)數(shù)）。在徑向上，在0～0.5R范圍內(nèi)幾乎保持水平，（0.5～0.8）R范圍內(nèi)開始出現(xiàn)小幅度變化，而在（0.8～1）R范圍內(nèi)則出現(xiàn)了極為明顯的變化：拉應(yīng)力降低、壓應(yīng)力增大。甚至出現(xiàn)了拉應(yīng)力向壓應(yīng)力的轉(zhuǎn)變過程。相對于最大主應(yīng)力而言，最小主應(yīng)力一般以負(fù)數(shù)的形式出現(xiàn)，應(yīng)力狀態(tài)為壓應(yīng)力，其變化規(guī)律與最大主應(yīng)力類似，在近井壁地帶應(yīng)力集中現(xiàn)象明顯［19-21］。

通過以等效應(yīng)力、最大和最小主應(yīng)力沿井底徑向方向的變化規(guī)律，證實(shí)了近井壁地帶井底巖石的應(yīng)力集中現(xiàn)象。結(jié)合巖石材料的強(qiáng)度特性，在近井壁地帶，無論是拉應(yīng)力的大幅度減小，還是壓應(yīng)力的大幅度增加，都使得井底這一區(qū)域的巖石難以被破碎。

3.2 井底巖石應(yīng)力周向分布規(guī)律

為說明井底巖石應(yīng)力沿周向的變化規(guī)律，以井底壓差為-4 MPa的情況為例進(jìn)行分析。如圖4所示，在井底平面上選取5條分析路徑，其中O-A為平行X軸方向，在這個(gè)方向上施加了最大水平地應(yīng)力（50 MPa），O-B、O-C、O-D、O-E路徑與X軸夾角分別為30°、45°、60°、90°，O-E路徑為井底平面上的Y軸方向，這個(gè)方向施加了最小水平地應(yīng)力。

圖6 不同壓差下最大、最小主應(yīng)力分布Fig.6 Distribution of maximum and minimum principal stresses under different pressure difference

圖7 ～圖9表示井底壓差為-4 MPa時(shí)，不同分析路徑上的等效應(yīng)力、最大和最小主應(yīng)力的分布規(guī)律。由圖可知，在周向上，自最大水平地應(yīng)力方向（OA）向最小水平地應(yīng)力方向（OE）偏移，在距離井底中心同一距離的圓弧上，井底巖石應(yīng)力逐漸降低。

利用有限元分析軟件將井底節(jié)點(diǎn)單元的應(yīng)力數(shù)據(jù)提取出來，形成點(diǎn)云文件，再通過MathCad的數(shù)據(jù)處理功能，做出井底平面上應(yīng)力分布的三維圖形，可以形象直觀地看到井底應(yīng)力的分布特點(diǎn)。在井底中心附近范圍應(yīng)力變化較為平穩(wěn)，而在近井壁地帶會出現(xiàn)明顯的應(yīng)力集中現(xiàn)象，且分布不均，最大主應(yīng)力方向近井壁地帶處應(yīng)力集中較最小主應(yīng)力方向處要大，如圖10所示。

圖7 不同分析路徑井底等效應(yīng)力分布曲線Fig.7 Equivalent stress distribution curve of bottom hole under different analysis paths

圖8 不同分析路徑井底最大主應(yīng)力分布曲線Fig.8 Maximum principal stress distribution curve of bottom hole under different analysis paths

圖9 不同分析路徑井底最小主應(yīng)力分布曲線Fig.9 Minimum principal stress distribution curve of bottom hole under different analysis paths

綜合以上分析，井底巖石應(yīng)力的分布可大致分為3個(gè)應(yīng)力區(qū)，井底中心至0.5R為低應(yīng)力區(qū)，（0.5～0.8）R為較高應(yīng)力區(qū)，0.8R至井壁的近井壁地帶出現(xiàn)應(yīng)力集中現(xiàn)象，為高應(yīng)力區(qū)。3個(gè)應(yīng)力區(qū)的破巖難度依次增加。

3.3 井底壓差對井底應(yīng)力場的影響

由圖5～圖9可以明顯地看出，隨著井底壓差的降低（鉆井液密度的降低），井底等效應(yīng)力、最大和最小主應(yīng)力都在隨之相應(yīng)地變化，具體表現(xiàn)在：在過平衡壓差條件下，最大和最小主應(yīng)力均為壓應(yīng)力，說明井底巖石處于三向受壓狀態(tài)，等效應(yīng)力較近平衡及欠平衡時(shí)更大；隨著井底逐漸向欠平衡狀態(tài)過渡，等效應(yīng)力逐漸減小，最大主應(yīng)力也逐漸出現(xiàn)拉應(yīng)力。從應(yīng)力云圖上可以清楚地看到井底壓差對井底應(yīng)力的影響效果，如圖11～圖13所示，井底壓差的改變使得井底巖石應(yīng)力狀態(tài)及大小發(fā)生變化。

圖10 井底平面巖石三維云圖Fig.10 Three-dimensional cloud images of plane rock at bottom hole

圖11 井底壓差對井底巖石等效應(yīng)力影響的對比Fig.11 Comparison of influence of bottom hole pressure difference on equivalent stress of bottom hole rock

圖12 井底壓差對井底巖石最大主應(yīng)力影響的對比Fig.12 Comparison of influence of bottom hole pressure difference on maximum principal stress of bottom hole rock

圖13 井底壓差對井底巖石最小主應(yīng)力影響的對比Fig.13 Comparison of influence of bottom hole pressure difference on minimum principal stress of bottom hole rock

總的來說，降低井底壓差可以降低巖石壓應(yīng)力，應(yīng)力狀態(tài)也逐漸向受拉轉(zhuǎn)變，向更有利于破巖的趨勢發(fā)展。分析原因，地層中原有的孔隙壓力相當(dāng)于多孔介質(zhì)巖石內(nèi)部的內(nèi)張力，這個(gè)內(nèi)張力使得井底巖石向著拉伸狀態(tài)發(fā)展，促使井底巖石破碎或者崩離井底。鉆井過程中，鉆井循環(huán)介質(zhì)在井底形成的液柱壓力可以部分或抵消孔隙壓力對巖石形成的“外推”效果，鉆井循環(huán)介質(zhì)密度越高，這種抵消作用越明顯［22-25］。隨著井底壓差的降低，即鉆井液密度的降低，鉆井循環(huán)介質(zhì)對孔隙壓力的抵消作用減弱，巖石內(nèi)部應(yīng)力減小，更容易被破碎。

4 結(jié)論

（1）利用有限元數(shù)值分析原理建立了井底平面應(yīng)力場的分析模型，結(jié)合井底巖石的受力分析，提供了一種研究井底壓差對井底平面上巖石應(yīng)力場的影響規(guī)律的方法。

（2）特定井底壓差下，井底平面從井眼中心到井壁的徑向方向上，巖石應(yīng)力逐步增大，在0.8R附近出現(xiàn)明顯的應(yīng)力集中現(xiàn)象；在從最大水平主應(yīng)力向最小水平主應(yīng)力偏移的周向方向上，應(yīng)力逐漸減小。

（3）不同的井底壓差對巖石強(qiáng)度和巖石的應(yīng)力狀態(tài)都有影響，總體而言，低壓差時(shí)巖石的強(qiáng)度較高壓差時(shí)低，同時(shí)應(yīng)力狀態(tài)會出現(xiàn)受拉的情況，更有利于巖石的破碎。