指數(shù)反余弦函數(shù)變換灰色預(yù)測模型

劉 陽， 紀躍芝

(長春工業(yè)大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院， 吉林 長春 130012)

0 引 言

灰色預(yù)測模型[1]因為數(shù)據(jù)少、原理簡單易懂等諸多優(yōu)點被廣泛應(yīng)用于預(yù)測當中，其中最常用的是GM(1,1)模型。任何一種方法的使用都是具有前提條件的，灰色預(yù)測模型亦是如此。對于生成序列不滿足準指數(shù)規(guī)律[2]的序列，如果直接使用灰色預(yù)測模型進行模擬和預(yù)測，有時得到的預(yù)測結(jié)果會與實際值偏差非常大。

為了追求更高精度的預(yù)測結(jié)果，學(xué)者們提出了數(shù)據(jù)變換方法，例如對數(shù)函數(shù)變換[3]、冪函數(shù)變換[4]、負指數(shù)函數(shù)變換[5]、反余弦函數(shù)變換[6]等，這些數(shù)據(jù)變換方法大多只關(guān)注于數(shù)據(jù)序列的光滑度。然而，一個能夠顯著提高模型預(yù)測精度的數(shù)據(jù)變換方法需要考慮的因素是多方面的，文獻[7]指出了更一般的構(gòu)造準則，以保證構(gòu)造的數(shù)據(jù)變換滿足減小光滑比、級比壓縮和還原誤差不增大等條件。

文中根據(jù)數(shù)據(jù)變換的構(gòu)造準則，提出指數(shù)反余弦函數(shù)變換方法，給出了指數(shù)反余弦函數(shù)變換性質(zhì)的證明，并將該數(shù)據(jù)變換方法應(yīng)用到吉林省2009-2017年糧食產(chǎn)量數(shù)據(jù)的實證分析中，同時使用多種灰色預(yù)測模型進行比較，結(jié)果表明，該數(shù)據(jù)變換方法應(yīng)用到GM(1,1)模型中是可行的。其中可變參數(shù)a的合理取值也能有效提高模型預(yù)測精度。最后，使用該模型對吉林省2018-2020年糧食產(chǎn)量進行預(yù)測。

1 數(shù)據(jù)變換的構(gòu)造準則

1.1 光滑比和級比

定義1[8]設(shè)序列X=(x(1),x(2),…,x(n)),x(k)>0,k=1,2,…,n，則序列X的光滑比、級比和級比偏差分別為

δ(k)=|1-σ(k)|=

定理1[7]設(shè)序列X=(x(1),x(2),…,x(n)),x(k)>0,k=1,2,…,n，變換f(x(k))>0，經(jīng)過f(x(k))變換后的序列，若滿足

ρf(k)<ρ(k),k=2,3,…,n,

則f(x(k))可減小序列光滑比，其中ρf(k)和ρ(k)分別為變換后序列和原序列的光滑比，等價條件是f(x(k))可以表示為x(k)g(k)的形式,其中,g(k)是一個非負且嚴格遞減的序列,若滿足

δf(k)<δ(k),k=2,3,…,n,

f(x(k))為級比壓縮變換。

1.2 還原誤差

定理2[8]若變換f是|f′(x)|≥1的函數(shù)，則變換的還原誤差不會增大。

2 指數(shù)反余弦函數(shù)變換的性質(zhì)

性質(zhì)1指數(shù)反余弦函數(shù)，即aarccosx,a>1,0

即g(k)嚴格遞減。由定理1可得ρf(k)<ρ(k),k=2,3,…,n。

性質(zhì)2設(shè)遞增序列

X=(x(1),x(2),…,x(n)),

x(k)>0,k=1,2,…,n，

且滿足

則經(jīng)過指數(shù)反余弦函數(shù)變換后得到的新序列的級比要小于原非負單調(diào)序列的級比，指數(shù)反余弦函數(shù)變換為級比壓縮變化。

即

δf(k)<δ(k)。

由定理1可知,指數(shù)反余弦函數(shù)變換對于非負單調(diào)序列而言為級比壓縮變換。

性質(zhì)3指數(shù)反余弦函數(shù)變換對非負單調(diào)序列而言，還原誤差減小了。

證明 因為x(k)>0,k=1,2,…,n,指數(shù)反余弦函數(shù)的定義域為x(k)∈(0,1)，若可變參數(shù)a≥e，則

由定理2可知性質(zhì)3成立。

3 基于指數(shù)反余弦函數(shù)變換的GM(1,1)模型

灰色預(yù)測通過鑒別系統(tǒng)因素之間發(fā)展趨勢的相異程度進行關(guān)聯(lián)分析，并對原始數(shù)據(jù)進行生成處理來尋找系統(tǒng)變動的規(guī)律，生成有較強規(guī)律性的數(shù)據(jù)序列，然后建立微分方程模型，預(yù)測事物未來趨勢發(fā)展狀況[9]。

1)數(shù)據(jù)標準化。為了保證函數(shù)變換前的數(shù)據(jù)序列在定義域(0,1)內(nèi)，要先對序列

A(0)=(a(0)(1),a(0)(2),…,a(0)(n)),

a(0)(k)>0,k=1,2,…,n

進行標準化處理，得到序列

X(0)=(x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n)),

2)函數(shù)變換。對序列X(0)進行指數(shù)反余弦函數(shù)變換，得到序列

Y(0)=(y(0)(1),y(0)(2),…,y(0)(n)),

其中

y(0)(k)=aarccosx(0)(k),

k=1,2,…,n。

3)GM(1,1)建模[10]。對Y(0)做累加生成，得到累加生成序列

Y(1)=(y(1)(1),y(1)(2),…,y(1)(n)),

其中

k=1,2,…,n。

令

Z(1)=(z(1)(2),z(1)(3),…,z(1)(n)),

其中

z(1)(k)=0.5y(1)(k)+0.5y(1)(k-1),

則GM(1,1)模型為

y(0)(k)+az(1)(k)=b,

k=2,3,…,n。

白化方程為

時間響應(yīng)序列為

k=1,2,…,n,

即為預(yù)測方程。

4)數(shù)據(jù)還原。先根據(jù)GM(1,1)模型一次還原得

k=1,2,…,n,

再根據(jù)y(0)(k)=aarccosx(0)(k)二次還原得

k=1,2,…,n。

4 吉林省糧食產(chǎn)量實證分析

近年來，隨著吉林省人口數(shù)量的增長，糧食產(chǎn)量呈現(xiàn)上升趨勢。采用吉林省2009-2017年糧食產(chǎn)量數(shù)據(jù)作為原始數(shù)據(jù)序列，此時，序列是遞增的，滿足性質(zhì)要求。

利用反余弦函數(shù)變換模型(見文獻[6])和指數(shù)反余弦函數(shù)變換的GM(1,1)模型進行預(yù)測，需將原數(shù)據(jù)標準化至(0,1)區(qū)間內(nèi)，方法為

根據(jù)原始數(shù)據(jù)和標準化數(shù)據(jù)，分別采用GM(1,1)模型、反余弦函數(shù)變換模型、指數(shù)反余弦函數(shù)變換模型進行建模，模擬值及相對誤差見表1。

表1 不同灰色預(yù)測模型的計算結(jié)果

其中，MAPE為平均絕對百分誤差，反映預(yù)測的平均相對誤差是用于評價不同預(yù)測方法好壞的標準，計算公式為

從表1可以看出，基于指數(shù)反余弦函數(shù)變換的GM(1,1)模型MAPE最小，僅為1.21%。吉林省2009-2017年糧食產(chǎn)量實際值與三種灰色預(yù)測模型模擬值的擬合圖如圖1所示。

圖1 不同灰色預(yù)測模型的擬合圖

從圖1可以看到，指數(shù)反余弦函數(shù)變換模型所得模擬值與吉林省2009-2017年糧食產(chǎn)量實際值擬合的最好。

由于指數(shù)反余弦函數(shù)變換中的a是一個可變參數(shù)，a取不同值的模擬結(jié)果見表2。

從表2可以看出，a的取值對于模型精度是有影響的，但是MAPE均小于GM(1,1)模型和反余弦函數(shù)變換模型。

表2 文中模型a取不同值的計算結(jié)果

使用基于指數(shù)反余弦函數(shù)變換的GM(1,1)模型對2018-2020年吉林省糧食產(chǎn)量進行預(yù)測，預(yù)測結(jié)果見表3。

表3 2018-2020年吉林省糧食產(chǎn)量的預(yù)測值 萬t

5 結(jié) 語

基于數(shù)據(jù)變換的構(gòu)造準則，提出了指數(shù)反余弦函數(shù)變換，將這種數(shù)據(jù)變換方法應(yīng)用于吉林省2009-2017年糧食產(chǎn)量的實證分析中，同時進行了多種灰色預(yù)測模型比較，結(jié)果說明,該灰色預(yù)測模型精度最高。該數(shù)據(jù)變換中的可變參數(shù)a的合理取值也能有效提高模型精度。最后，使用此模型對吉林省2018-2020年糧食產(chǎn)量進行預(yù)測。