剛度和齒隙對(duì)功率分流傳動(dòng)系統(tǒng)均載特性影響的敏感度分析

靳廣虎，高鵬,2，嚴(yán)岳勝，朱如鵬

(1.南京航空航天大學(xué)直升機(jī)傳動(dòng)技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江蘇南京，210016；2.南京模擬技術(shù)研究所，江蘇南京，210016；3.直升機(jī)傳動(dòng)技術(shù)國(guó)家級(jí)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖南株洲，412002)

功率分流齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)多用于大功率傳動(dòng)，具有減速比大、傳動(dòng)級(jí)數(shù)少、質(zhì)量小和可靠性高等優(yōu)點(diǎn)。與傳統(tǒng)行星齒輪傳動(dòng)相比，直升機(jī)主減速器采用具有載荷分流的定軸傳動(dòng)構(gòu)型具有顯著的優(yōu)點(diǎn)[1-4]。功率分流傳動(dòng)構(gòu)型的特點(diǎn)是：一個(gè)齒輪同時(shí)與兩個(gè)齒輪相嚙合，則每分支承擔(dān)的載荷減半，從而實(shí)現(xiàn)載荷的分流。載荷減小可以降低齒輪的體積(質(zhì)量)以及線速度，這對(duì)高速重載的齒輪傳動(dòng)具有非常重要的意義。該類構(gòu)型工程化應(yīng)用的關(guān)鍵技術(shù)之一是2個(gè)分支載荷均等，否則容易引起輪齒的折斷。圍繞載荷均等的技術(shù)要求，研究學(xué)者們開展了大量的研究工作。在圓柱齒輪功率分流領(lǐng)域，學(xué)者們提出采用平衡梁法[5-6]、同步角法[7-8]、彈性軸法[9-14]以及含彈性材料的齒輪腹板[15]等來提高傳動(dòng)系統(tǒng)的均載特性。為提高面齒輪功率分流傳動(dòng)的均載特性，采用的主要方法有輸入軸彈性浮動(dòng)[16]和含彈性腹板的面齒輪[17]等。此外，相關(guān)學(xué)者還開展了分流傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)[18]、均載系數(shù)[19-26]以及試驗(yàn)驗(yàn)證[27]等研究。

本文作者根據(jù)直升機(jī)主減速器傳動(dòng)系統(tǒng)的特點(diǎn)，結(jié)合面齒輪和圓柱齒輪功率分流傳動(dòng)的優(yōu)點(diǎn)，提出面齒輪-圓柱齒輪兩次功率分流的傳動(dòng)構(gòu)型。針對(duì)該構(gòu)型的均載特性，考慮齒輪副的時(shí)變嚙合剛度、誤差和齒側(cè)間隙等因素，建立彎扭耦合動(dòng)力學(xué)模型，研究影響該構(gòu)型均載特性的敏感性參數(shù)，分析主要敏感性參數(shù)對(duì)均載系數(shù)影響的規(guī)律，為提高功率分流傳動(dòng)系統(tǒng)均載特性的設(shè)計(jì)提供一定的參考和理論支撐。

1 功率分流傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程

1.1 動(dòng)力學(xué)模型

圖1所示為雙輸入兩次功率分流傳動(dòng)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)示意圖。由圖1可見，兩次功率分流傳動(dòng)系統(tǒng)由2 個(gè)構(gòu)型完全相同的子系統(tǒng)組成。圖1中：Zjm，ZLf_k，ZRf_k，ZLp_k，ZRp_k，ZLis_k，ZLih_k，ZRis_k，ZRih_k和ZB分別表示輸入圓柱齒輪、左面齒輪、右面齒輪、左分扭圓柱齒輪、右分扭圓柱齒輪、左雙聯(lián)軸圓柱齒輪、左雙聯(lián)軸人字齒輪、右雙聯(lián)軸圓柱齒輪、右雙聯(lián)軸人字齒輪和大人字齒輪；支撐ZLf_k和ZRf_k的軸分別命名為左分扭軸和右分扭軸；支撐ZL2s_L和ZL1s_L的軸分別命名為左分支雙聯(lián)軸2和左分支雙聯(lián)軸1；支撐ZR2s_L和ZR1s_L的軸分別命名為右分支雙聯(lián)軸2 和右分支雙聯(lián)軸1；左、右2 個(gè)子系統(tǒng)的零部件分別采用后綴L和R來區(qū)分。其中，i=1，2；j=L，R；k=L，R。

該系統(tǒng)的工作原理為(以左分支子系統(tǒng)為例)：輸入功率首先通過面齒輪傳動(dòng)實(shí)現(xiàn)換向與功率分流(定義為輸入級(jí))，然后經(jīng)圓柱齒輪傳動(dòng)實(shí)現(xiàn)功率的二次分流(定義為分扭級(jí))，最后經(jīng)四支分路由人字齒輪將功率匯合(定義為并車級(jí))，通過大人字齒輪輸出功率。

針對(duì)雙輸入兩次功率分流傳動(dòng)系統(tǒng)，建立圖2所示的動(dòng)力學(xué)模型。為清晰地表達(dá)視圖，只給出左分支的動(dòng)力學(xué)模型。嚙合剛度、軸的扭轉(zhuǎn)和支撐剛度用彈簧模擬。其中：K，c，b和e分別表示支撐剛度、阻尼、齒側(cè)間隙和傳遞誤差；φD_k，φm_k，φjf_k，φjp_k，φjis_k，φjih_k，φB和φo分別表示輸入端、輸入齒輪、面齒輪、圓柱齒輪、大圓柱齒輪、人字齒輪、輸出大齒輪和輸出端的微轉(zhuǎn)角；Xm_k，Xjp_k，Xji_k和XB分別表示輸入軸、分扭軸、雙聯(lián)軸和輸出軸在X方向上的位移；Yjp_k，Yji_k和YB分別表示分扭軸、雙聯(lián)軸和輸出軸在Y方向上的位移；Zm_k和Zjp_k分別表示輸入軸和分扭軸在Z方向上的位移。因此，該系統(tǒng)共有64 個(gè)自由度，其廣義坐標(biāo)Y為

1.2 動(dòng)力學(xué)方程

設(shè)左、右2 個(gè)子系統(tǒng)輸入轉(zhuǎn)矩分別為TLD和TRD；輸出轉(zhuǎn)矩為To；輸入端和輸出端的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為ID_k和Io；齒輪Zjm，Zjf_k，Zjp_k，Zjis_k，Zjih_k和ZB的集中質(zhì)量分別為mjm，mjf_k，mjp_k，mjis_k，mjih_k和mB，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為Ijm，Ijf_k，Ijp_k，Ijis_k，Ijih_k和IB。根據(jù)所建立的動(dòng)力學(xué)模型以及牛頓動(dòng)力學(xué)原理，可推導(dǎo)出兩次功率分流傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程為：

圖2 兩次功率分流傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型Fig.2 Dynamic model of twice power split transmission system

式中：KDm_k，Kjfp_k，Kjisih_k和KBo分別為輸入軸、分扭軸、雙聯(lián)軸和輸出軸的扭轉(zhuǎn)剛度；Kmx_k和Kmz_k，Kjpx_k、Kjpy_k和Kjpz_k，Kjix_k和Kjiy_k，KBx和KBy分別為輸入軸、分扭軸、雙聯(lián)軸、輸出軸在坐標(biāo)方向上的支撐剛度；Fmx_k和Fmz_k，F(xiàn)jpx_k、Fjpy_k和Fjpz_k，F(xiàn)jix_k和Fjiy_k，F(xiàn)Bx和FBy分別為輸入軸、分扭軸、雙聯(lián)軸、輸出軸在坐標(biāo)方向上承受的載荷；Fjnmf_k，F(xiàn)jnpis_k和FjnBih_k分別為齒輪Zjm與Zjf_k，Zjp_k與Zjis_k和Zjih_k與ZB之間的嚙合力；rjbm和rjbf_k分別為齒輪Zjm的分度圓半徑和面齒輪Zjf_k的等效嚙合半徑；rjbp_k，rjbis_k，rjbih_k和rbB分別為齒輪Zjp_k，Zjis_k，Zjih_k和ZB的基圓半徑。

該傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程組可用矩陣形式表示為

式中：M，C和K分別為系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣；Ft為外部激勵(lì)矢量。該傳動(dòng)系統(tǒng)存在剛體位移，可根據(jù)傳動(dòng)系統(tǒng)的力封閉特點(diǎn)進(jìn)行處理。鑒于本文主要是研究影響均載系數(shù)的敏感性參數(shù)，其中，傳動(dòng)軸的等效扭轉(zhuǎn)剛度采用材料力學(xué)理論計(jì)算獲得；采用赫茲接觸理論分析軸承彈性變形以及彈性變形和軸承外加載荷之間的關(guān)系，進(jìn)而計(jì)算出軸承的支撐剛度。

齒輪副間的嚙合力與嚙合線方向上的變形和嚙合剛度有關(guān)，齒輪副間的嚙合力Fl為

式中：Kl，f(Yl)和cl分別為相應(yīng)嚙合齒輪副間的嚙合剛度、間隙函數(shù)和嚙合阻尼；l表示jnmf_k，jnpis_k和jnBih_k。令相應(yīng)齒輪副間的齒側(cè)間隙為2bl，則間隙函數(shù)f(Yl)為

2 均載系數(shù)及敏感度

2.1 均載系數(shù)

采用龍格庫(kù)塔法求解該系統(tǒng)的非線性微分方程組可獲得系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)，將位移響應(yīng)代入式(7)，可分別獲得該輸入級(jí)、分扭級(jí)和并車級(jí)齒輪副間的動(dòng)態(tài)嚙合力Fjnmf_k(t)，F(xiàn)jnpis_k(t)和FjnBih_k(t)。分別用ΩLmf_k(t)和ΩRmf_k(t)，Ωj1s_k(t)和Ωj2s_k(t)，Ωj1h_k(t)和Ωj2h_k(t)表示輸入級(jí)面齒輪功率分流傳動(dòng)的左右端、分扭級(jí)分支1和分支2、并車級(jí)分支1和分支2的動(dòng)態(tài)均載系數(shù)，則兩次功率分流傳動(dòng)系統(tǒng)中的各動(dòng)態(tài)均載系數(shù)為

在功率分流傳動(dòng)系統(tǒng)中，兩分支的最大均載系數(shù)定義為該傳動(dòng)級(jí)的均載系數(shù)。令Ωmf_k，Ωjs_k和Ωjh_k分別為輸入級(jí)、分扭級(jí)和并車級(jí)的均載系數(shù)，則各傳動(dòng)級(jí)均載系數(shù)為

2.2 敏感度定義

該系統(tǒng)的傳動(dòng)鏈比較復(fù)雜，包含有較多傳動(dòng)軸、支撐以及嚙合齒輪副，涉及的參數(shù)較多。為提高傳動(dòng)系統(tǒng)的均載性能，開展主要參數(shù)對(duì)傳動(dòng)系統(tǒng)均載系數(shù)影響的敏感度分析，可以為該傳動(dòng)系統(tǒng)的設(shè)計(jì)提供理論依據(jù)。為獲取參數(shù)變化對(duì)傳動(dòng)系統(tǒng)各分支均載系數(shù)影響的程度，定義均載系數(shù)Ω對(duì)參數(shù)κl的敏感度SΩκl為

式中：κl和κl′分別為變化前后的參數(shù)，κl變動(dòng)量取5%；Ω′和Ω分別為參數(shù)κl變化前后某分支的均載系數(shù)。

3 均載特性與參數(shù)的敏感度分析

在滿足輪齒互換性的前提下，以體積最小為優(yōu)化目標(biāo)，基于序列二次規(guī)劃算法，利用MATLAB 中的優(yōu)化工具箱求解系統(tǒng)的優(yōu)化模型，獲得了傳動(dòng)系統(tǒng)的主要設(shè)計(jì)參數(shù)。該傳動(dòng)系統(tǒng)的基本參數(shù)如下：輸入功率為2 000 kW，轉(zhuǎn)速為21 000 r/min；輸入級(jí)、分扭級(jí)和并車級(jí)齒輪副的齒數(shù)比分別為28/140，20/59 和15/100；模數(shù)分別為3.0，3.0 和4.5 mm；壓力角分別為20.0°，22.5°和20.0°；并車齒輪的螺旋角為33.5°；輸入齒輪、面齒輪、圓柱齒輪和人字齒輪的齒寬分別為50，25，50和70 mm。

3.1 支撐剛度對(duì)均載特性影響的敏感度分析

圖3所示為支撐剛度對(duì)各分支均載特性影響的敏感度柱狀圖。圖3中，橫坐標(biāo)數(shù)值1～18 分別表示Kmx-k，Kmz-k，KRpx-k，KRpy-k，KRpz-k，KLpx-k，KLpy-k，KLpz-k，KR1x-k，KR1y-k，KR2x-k，KR2y-k，KL1x-k，KL1y-k，KL2x-k，KL2y-k，KBx和KBy。由圖3可見：影響均載系數(shù)的敏感性參數(shù)較多。但是，若選取影響最大的敏感性參數(shù)，則會(huì)發(fā)現(xiàn)對(duì)輸入級(jí)均載系數(shù)影響最大的敏感性支撐剛度是Kmx-k(如圖3(a)所示)；對(duì)分扭級(jí)和并車級(jí)均載系數(shù)影響最大的敏感性支撐剛度是雙聯(lián)軸1在Y方向的支撐剛度，如圖3(b)～3(e)所示。

為進(jìn)一步驗(yàn)證和獲取上述敏感性參數(shù)對(duì)均載特性的影響，開展其剛度變化對(duì)整個(gè)系統(tǒng)均載系數(shù)的影響研究，計(jì)算結(jié)果如圖4所示。由圖4可見：增大Kmx-k的支撐剛度，輸入級(jí)分流傳動(dòng)的均載系數(shù)變差，但其他分支的變化較??；當(dāng)支撐剛度很小時(shí)，輸入齒輪的浮動(dòng)量增加，此時(shí)的均載系數(shù)最好。隨著KR1y-k增大，右分支的分扭級(jí)和并車級(jí)均載系數(shù)降低，左分支的分扭級(jí)和并車級(jí)均載系數(shù)基本不變；但是，面齒輪分流傳動(dòng)的均載系數(shù)增大(如圖4(b)所示)；除了面齒輪分流傳動(dòng)的均載系數(shù)改善以外，KL1y-k變化對(duì)均載系數(shù)的影響與KR1y-k的相似。

3.2 扭轉(zhuǎn)剛度對(duì)均載特性影響的敏感度分析

圖5所示為扭轉(zhuǎn)剛度對(duì)各分支均載特性影響的敏感度柱狀圖。圖5中，橫坐標(biāo)數(shù)值1～8分別表示KDm_k，KRfp_k，KLfp_k，KL1s1h_k，KL2s2h_k，KR1s1h_k，KR2s2h_k和KBo。從圖5(a)可知：輸入級(jí)均載系數(shù)對(duì)KRfp_k最敏感，這主要與兩分扭軸的長(zhǎng)度有關(guān)；左分支、右分支的分扭級(jí)和并車級(jí)均載系數(shù)對(duì)雙聯(lián)軸2(KL2s2h_k和KR2s2h_k)最敏感(如輸入軸的轉(zhuǎn)動(dòng)方向改變，則左分支、右分支的分扭級(jí)和并車級(jí)均載系數(shù)對(duì)雙聯(lián)軸1最敏感)，如圖5(b)～5(e)所示。

從均載系數(shù)的變化來看，KRfp_k變化對(duì)其他分支的均載系數(shù)影響較小，但對(duì)輸入級(jí)分流傳動(dòng)的均載系數(shù)影響較大，如圖6(a)所示；雙聯(lián)軸2的扭轉(zhuǎn)剛度變化主要影響所在分支的分扭級(jí)與并車級(jí)的均載系數(shù)，且存在拐點(diǎn)現(xiàn)象，如圖6(b)～6(c)所示。從功率分流傳動(dòng)構(gòu)型來看，盡管傳動(dòng)結(jié)構(gòu)具有幾何對(duì)稱性，但是承受的載荷不對(duì)稱。載荷不對(duì)稱使得雙聯(lián)軸支撐的齒輪副中心距存在差異，進(jìn)而使得齒輪副的轉(zhuǎn)角發(fā)生變化，最終使得均載系數(shù)發(fā)生變化。通過改變雙聯(lián)軸的扭轉(zhuǎn)剛度，則其承載條件下的扭轉(zhuǎn)變形量改變，能夠?qū)d荷不對(duì)稱引起的轉(zhuǎn)角變化進(jìn)行補(bǔ)償，從而改善均載性能。

圖3 支撐剛度對(duì)各分支均載特性影響的敏感度Fig.3 Sensitivity of influence of supporting stiffness on load sharing characteristics of each branch

3.3 齒側(cè)間隙對(duì)均載特性影響的敏感度分析

除了振動(dòng)引起的載荷變化以外，實(shí)現(xiàn)分流傳動(dòng)載荷均等的關(guān)鍵因素之一是分流齒輪副的轉(zhuǎn)角同步變化。因此，齒側(cè)間隙的分布及其相互間匹配非常重要。圖7所示為齒側(cè)間隙對(duì)各分支均載特性影響的敏感度柱狀圖。圖7中，橫坐標(biāo)1～10 分別表示bRnmf_k，bLnmf_k，bRnp1s_k，bRnp2s_k，bLnp1s_k，bLnp2s_k，bRnB1h_k，bRnB2h_k，bLnB1h_k和bLnB2h_k。輸入級(jí)分流傳動(dòng)的均載系數(shù)對(duì)輸入級(jí)齒側(cè)間隙較敏感(如圖7(a)所示)，尤其是左分支的齒側(cè)間隙bLnmf_k；分扭級(jí)的均載系數(shù)僅僅對(duì)其本身的齒側(cè)間隙較敏感(如圖7(b)和圖7(c)所示)；并車級(jí)的均載系數(shù)不僅對(duì)其本身的齒側(cè)間隙較敏感，而且對(duì)分扭級(jí)的齒側(cè)間隙也較敏感，如圖7(d)和7(e)所示。

圖4 支撐剛度對(duì)均載系數(shù)的影響Fig.4 Influence of supporting stiffness on load sharing coefficients

圖5 扭轉(zhuǎn)剛度對(duì)各分支均載特性影響的敏感度Fig.5 Sensitivity of influence of torsional stiffness on load sharing characteristics of each branch

圖6 扭轉(zhuǎn)剛度對(duì)均載系數(shù)的影響Fig.6 Influence of torsional stiffness on load sharing coefficients

圖7 齒側(cè)間隙對(duì)均載特性影響的敏感度Fig.7 Sensitivity of influence of backlash on load sharing characteristics of each branch

圖8所示為齒側(cè)間隙對(duì)各分支均載系數(shù)影響的變化曲線圖。從圖8可以看出：隨著所選取的敏感度較大的齒側(cè)間隙增大，均載系數(shù)先減小后增大，存在拐點(diǎn)。在功率分流傳動(dòng)系統(tǒng)的設(shè)計(jì)中，可以利用這一現(xiàn)象，開展齒側(cè)間隙參數(shù)的匹配設(shè)計(jì)，通過合理分配齒側(cè)間隙改善系統(tǒng)的均載特性。

圖8 齒側(cè)間隙對(duì)均載系數(shù)的影響Fig.8 Influence of backlash on load sharing coefficients

4 結(jié)論

1)輸入級(jí)均載系數(shù)對(duì)輸入軸支撐剛度最敏感，輸入軸采用浮動(dòng)支撐有利于提高其均載性能；分扭級(jí)和并車級(jí)均載系數(shù)對(duì)雙聯(lián)軸1在Y方向的支撐剛度最敏感，適當(dāng)減小剛度可改善其均載性能；同時(shí)，改變上述剛度對(duì)其他傳動(dòng)級(jí)影響較小。

2)輸入級(jí)均載系數(shù)對(duì)右分扭軸的扭轉(zhuǎn)剛度最敏感，增大右分扭軸的扭轉(zhuǎn)剛度不利于提高該傳動(dòng)級(jí)的均載特性；分扭級(jí)和并車級(jí)均載系數(shù)對(duì)雙聯(lián)軸2的扭轉(zhuǎn)剛度最敏感，隨著扭轉(zhuǎn)剛度增大，均載系數(shù)先減小后增大，因此適當(dāng)選擇雙聯(lián)軸2的扭轉(zhuǎn)剛度有助于改善系統(tǒng)的均載特性。

3)輸入級(jí)均載系數(shù)對(duì)輸入級(jí)齒輪副間的齒側(cè)間隙較敏感，尤其是左分支齒輪副間的齒側(cè)間隙；分扭級(jí)和并車級(jí)均載系數(shù)對(duì)其本身的齒側(cè)間隙較敏感；隨著齒側(cè)間隙變化，均載系數(shù)曲線存在拐點(diǎn)現(xiàn)象。因此，在該構(gòu)型的傳動(dòng)設(shè)計(jì)中，可通過齒側(cè)間隙的參數(shù)匹配設(shè)計(jì)提高整個(gè)系統(tǒng)的均載性能。