鳶尾花數(shù)據(jù)集在隨機(jī)向量數(shù)字特征中的相關(guān)應(yīng)用

馬淑蘭

(寧夏師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計算機(jī)科學(xué)學(xué)院，寧夏 固原 756000)

多元統(tǒng)計分析是統(tǒng)計學(xué)中內(nèi)容十分豐富、應(yīng)用性極強(qiáng)的一個重要分支,它在自然科學(xué)、社會科學(xué)和經(jīng)濟(jì)學(xué)等各個領(lǐng)域中得到了越來越廣泛的應(yīng)用,是一種非常重要和實(shí)用的多元數(shù)據(jù)處理方法.它的內(nèi)容從一元統(tǒng)計推廣到多元統(tǒng)計,主要闡述了多元分布的基本概念及其統(tǒng)計推斷,也涉及了多元統(tǒng)計獨(dú)有的涉及降維方法包括:費(fèi)希爾判別、主成分分析、因子分析、對應(yīng)分析和典型分析[1-2].多元統(tǒng)計分析是指針對多元數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析方法,是同時考量多個變量,從多元數(shù)據(jù)集中獲取信息的統(tǒng)計方法.在當(dāng)前大數(shù)據(jù)時代,信息技術(shù)推動了可視化教學(xué)發(fā)展,借助計算機(jī)軟件搜集可視化教學(xué)素材成為新的理工科教學(xué)理念的重要內(nèi)容[3-4].R語言是新西蘭奧克蘭大學(xué)的Robert Gentleman 和Ross Ihaka及其他志愿者人員共同開發(fā),主要用于統(tǒng)計分析、數(shù)據(jù)挖掘以及數(shù)據(jù)可視化,是一個用于統(tǒng)計計算和統(tǒng)計制圖的優(yōu)秀工具[5].RStudio是一款R語言的綜合開發(fā)環(huán)境,使得R運(yùn)行更加方便.本文以Fisher的鳶尾花數(shù)據(jù)集為研究對象[6],利用R語言對隨機(jī)向量數(shù)字特征相關(guān)內(nèi)容進(jìn)行數(shù)據(jù)可視化,幫助學(xué)習(xí)者理解和掌握數(shù)學(xué)期望、協(xié)方差矩陣、相關(guān)系數(shù)矩陣等概念及性質(zhì).

1 隨機(jī)向量數(shù)字特征

1.1 數(shù)學(xué)期望

p×q隨機(jī)矩陣X=(xij)的數(shù)學(xué)期望定義為

特別地,當(dāng)q=1時得隨機(jī)向量x=(x1,x2,…,xp)′的數(shù)學(xué)期望定義,即

E(x)=[E(x1),E(x2),…,E(xp)]′.

1.2 協(xié)方差矩陣

設(shè)x=(x1,x2,…,xp)′和y=(y1,y2,…,yq)′分別為p維和q維隨機(jī)向量,x和y的協(xié)方差矩陣定義為

可將其簡寫為

Cov(x,y)=E[x-E(x)][y-E(y)]′.

當(dāng)x=y,Cov(x,x)稱為x的協(xié)方差矩陣,記作V(x).

1.3 相關(guān)矩陣

設(shè)x=(x1,x2,…,xp)′和y=(y1,y2,…,yq)′分別為p維和q維隨機(jī)向量,x和y的相關(guān)矩陣定義為

當(dāng)x=y,ρ(x,x)稱為x的相關(guān)矩陣,記作R=(ρij),其中ρij=ρ(xi,yj),ρii=1,即

2 多元數(shù)據(jù)數(shù)字特征的展示與可視化

2.1 數(shù)據(jù)來源

鳶尾花數(shù)據(jù)集(Fisher′s iris flower data set)由英國統(tǒng)計學(xué)家Ronald Aylmer fisher(費(fèi)希爾)于1936年整理得到的,為了量化不同種類的鳶尾花形態(tài)上的區(qū)別進(jìn)行收集的,它包含了三類鳶尾花數(shù)據(jù):山鳶尾(Setosa)、雜色鳶尾(Versicolour)、維吉尼亞鳶尾(Virginica)的花萼、花瓣的長度與寬度.這個數(shù)據(jù)集是一個非常典型的多元數(shù)據(jù)集,共有150個不同種類鳶尾花的觀測值,每一種鳶尾花的觀察數(shù)據(jù)均為50個.數(shù)據(jù)集中的行代表了很多朵鳶尾花的樣本,數(shù)據(jù)集中的每一列代表一個信息維度,共有五個信息維度即花萼的長(Sepal length),花萼的寬(Sepal width),花瓣的長(Petal length),花瓣的寬((Petal width ),鳶尾花的種類(Species).不同的鳶尾花在形態(tài)上有沒有什么不同呢?這個問題給了Fisher研究多元統(tǒng)計分析方法的動機(jī)，面對這樣一個數(shù)據(jù)集能做很多統(tǒng)計分析,比如變量之間的相關(guān)性分析,判別分析、回歸分析等.生活中這樣類似的數(shù)據(jù)集有很多，這也是利用該數(shù)據(jù)集做統(tǒng)計分析的原因.

2.2 基于R語言的數(shù)據(jù)結(jié)果展示與可視化

在多元統(tǒng)計分析中,相比一元隨機(jī)變量數(shù)字特征的表達(dá),多元數(shù)據(jù)的數(shù)字特征表達(dá)方式要復(fù)雜一些.在一元狀態(tài)下,數(shù)學(xué)期望、協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)等都用一個數(shù)值可以表示,而多元情況則用隨機(jī)向量及矩陣表示.在R中調(diào)用colMeans函數(shù)對上述數(shù)據(jù)集中前四列變量求出數(shù)學(xué)期望，如表1所示

表1 三種鳶尾花前四個信息維度的數(shù)學(xué)期望

所求數(shù)學(xué)期望結(jié)果應(yīng)記為(5.84，3.06，3.76，1.20).

在R中分別調(diào)用cov及cor函數(shù)即可得出前四列變量協(xié)方差矩陣及相關(guān)系數(shù)矩陣，如表2,表3所示.

表2 三種鳶尾花前四個信息維度的協(xié)方差陣

所求協(xié)方差矩陣結(jié)果應(yīng)記為

表3 三種鳶尾花前四個信息維度的相關(guān)矩陣

以上是數(shù)字特征數(shù)值形式呈現(xiàn)，為了更好的解讀數(shù)字特征在數(shù)據(jù)分布及其數(shù)據(jù)間相互依存關(guān)系中所起的作用,仍然以鳶尾花數(shù)據(jù)集前四個信息維度為例，利用R繪圖功能以圖形方式展現(xiàn)數(shù)據(jù)分布如圖1所示,數(shù)據(jù)間兩兩相關(guān)程度如圖2所示.

圖1 三種鳶尾花前四個信息維度的分布直方圖與兩兩散點(diǎn)圖

圖2 包含相關(guān)系數(shù)的三種鳶尾花前四個信息的分布直方圖與兩兩散點(diǎn)圖

2.3 結(jié)果與分析

表1分別給出了鳶尾花數(shù)據(jù)集前四個變量數(shù)據(jù)的均值,即刻畫了前四個信息維度的中心位置為(5.84，3.06，3.76，1.20),結(jié)合圖1中的直方圖分布圖可以看出數(shù)據(jù)集里三種鳶尾花的花萼的長(Sepal length)、花萼的寬(Sepal width)、花瓣的長(Petal length)、花瓣的寬((Petal width )都分別向各自的中心位置集中.表2列出了鳶尾花數(shù)據(jù)集前四個變量數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣數(shù)表,刻畫了前四個信息維度的兩兩線性關(guān)系,結(jié)合圖1中的二維散點(diǎn)圖可以了解到四個信息維度數(shù)據(jù)的分散程度,利用圖中的線性擬合曲線能看出花瓣的長(Petal length)、花瓣的寬((Petal width )線性關(guān)系最強(qiáng).表3給出了鳶尾花數(shù)據(jù)集前四個變量數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)矩陣數(shù)表,這個數(shù)表理論上可以認(rèn)為是協(xié)方差矩陣數(shù)表的標(biāo)準(zhǔn)化結(jié)果,將兩兩散點(diǎn)圖的信息用[-1,1]之間的數(shù)去刻畫,由于協(xié)方差矩陣的對稱性,圖2在圖1的基礎(chǔ)上把上三角的位置用相關(guān)系數(shù)填充,這樣增強(qiáng)了圖形的可視化效果,圖2中上三角位置中的數(shù)據(jù)越大意味著其對稱位置數(shù)據(jù)的線性相關(guān)性越強(qiáng),譬如花瓣的長(Petal length)、花瓣的寬((Petal width )線性關(guān)系最強(qiáng),相關(guān)系數(shù)為0.96.

3 結(jié)論

本文以隨機(jī)向量數(shù)字特征理論為研究內(nèi)容,以Fisher的鳶尾花數(shù)據(jù)集為研究對象,利用R語言強(qiáng)大的統(tǒng)計和繪圖功能,完成了相關(guān)數(shù)據(jù)的展示和可視化,整個分析結(jié)果一目了然.“數(shù)缺形時少直覺,形少數(shù)時難入微”,在互聯(lián)網(wǎng)和信息技術(shù)突飛猛進(jìn)的背景下,數(shù)據(jù)的可視化充斥在生活的方方面面,利用理論知識和實(shí)用的計算機(jī)軟件,提煉數(shù)據(jù)隱含信息、挖掘其統(tǒng)計規(guī)律并對其發(fā)展規(guī)律進(jìn)行預(yù)測分析將成為數(shù)據(jù)分析的關(guān)鍵內(nèi)容.