化簡步步為營　求值洞察類型

謝燕

分式的化簡求值題是中考中的常見題型之一，是同學(xué)們需要掌握的重點內(nèi)容。同學(xué)們只要熟練掌握因式分解、通分、約分，注意符號和正確的運(yùn)算順序，就能順利地進(jìn)行化簡;只要仔細(xì)觀察題目給出的求值條件，按照正確的方法代入運(yùn)算，就能輕松得到準(zhǔn)確的結(jié)果。

今天，老師就帶同學(xué)們一起來復(fù)習(xí)分式化簡的一般步驟，看看分式化簡求值的幾種常見類型。

一、穩(wěn)扎穩(wěn)打，步步為營

例1 （2020·江蘇南通）計算：[x-yx]÷（x+[y2-2xyx]）。

解：原式=[x-yx]÷（[x2x]+[y2-2xyx]）

=[x-yx]÷[x2-2xy+y2x]

=[x-yx]?[x（x-y）2]

=[1x-y]。

【點評】這是一道分式化簡題，化簡過程按照先乘除后加減，有括號的先算括號內(nèi)的運(yùn)算順序。本題先進(jìn)行括號內(nèi)的加減運(yùn)算。括號內(nèi)是整式與分式的加減，應(yīng)先將整式通分成與分式同分母的分式形式，這是分式化簡中常見的類型，然后進(jìn)行同分母分式加減;接著進(jìn)行乘除運(yùn)算，本題是除法，所以要倒除為乘，然后進(jìn)行分式乘法運(yùn)算，本質(zhì)是約分，把最后的結(jié)果化到最簡。這樣按照解題步驟，一步一步，穩(wěn)扎穩(wěn)打，就能得到正確的結(jié)果。

二、直接代入，簡單求值

例2 （2020·江蘇宿遷）先化簡，再求值：[x-2x]÷（x[-4x]），其中x=[2]-2。

解：原式=[x-2x]÷（[x2x][-4x]）

=[x-2x]÷[（x+2）（x-2）x]

=[x-2x]?[x（x+2）（x-2）]

=[1x+2]。

當(dāng)x=[2]-2時，

原式=[12-2+2]=[12]=[22]。

【點評】本題按照題目要求，先化簡，再求值。在得到最簡結(jié)果之后，將x的值直接代入求值就能得到正確答案。本題給出的值含有根式，需要進(jìn)行分母有理化，保證最后算出的值是最簡根式。

三、整體代入，巧妙求值

例3 （2020·山東菏澤）先化簡，再求值：（2a-[12aa+2]）÷[a-4a2+4a+4]，其中a滿足a2+2a-3=0。

解：原式=（[2a2+4aa+2][-12aa+2]）÷[a-4（a+2）2]

=[2a2-8aa+2]·[（a+2）2a-4]

=[2a（a-4）a+2]·[（a+2）2a-4]

=2a（a+2）

=2a2+4a。

∵a2+2a-3=0，

∴a2+2a=3，

∴原式=2（a2+2a）=2×3=6。

【點評】在化簡得到結(jié)果之后，根據(jù)題目給出的a2+2a-3=0條件，同學(xué)們會想，該怎么求值呢？或許有的同學(xué)想通過解方程求出a的值，然后代入求值;或許有的同學(xué)通過仔細(xì)觀察發(fā)現(xiàn)了什么?？吹筋}目后，你腦子里閃現(xiàn)的任何一個念頭都是好的，都可以進(jìn)行嘗試。想解方程的同學(xué)可以求出a的值為-3或1，然后分別代入，得到的結(jié)果都是6;仔細(xì)觀察的同學(xué)或許會發(fā)現(xiàn)只要將方程適當(dāng)變形便能得到a2+2a這個整體的值是3，整體代入便能化繁為簡。問題解決了，我們再回頭看一看，如果以后再遇到這類問題，怎么處理更好呢？老師相信同學(xué)們心里已經(jīng)有了正確的答案。

四、謹(jǐn)慎取值，正確求值

例4 （2020·四川遂寧）先化簡：（[x2+4x+4x2-4]-x-2）÷[x+2x-2]，然后從-2≤x≤2范圍內(nèi)選取一個合適的整數(shù)作為x的值代入求值。

解：原式=[[（x+2）2（x+2）（x-2）]-（x+2）]·[x-2x+2]

=（[x+2x-2]-[x2-4x-2]）·[x-2x+2]

=[-x2+x+6x-2]·[x-2x+2]

=[-（x+2）（x-3）x-2]·[x-2x+2]

=-（x-3）

=-x+3。

∵x≠±2，∴可取x=1，

∴原式=-1+3=2。

【點評】本題的分式化簡要注意第一步中將-x-2化成分式形式之前有個添括號，第三步中同分母分式相加減時分?jǐn)?shù)線具有括號功能。將分式化簡到最簡后，同學(xué)們會面臨一個選值問題，其本質(zhì)是考查原分式及運(yùn)算過程中出現(xiàn)的那些分母取值不能為0，這樣就很容易確定規(guī)定范圍內(nèi)的正確取值，從而得到正確的結(jié)果。

在分式的化簡求值時，只要我們按照步驟，步步為營，注意觀察，掌握方法，就一定能順利地求得正確的結(jié)果。

（作者單位：江蘇省常熟市第一中學(xué)）