隱藏在等量關(guān)系中的不等關(guān)系

李蘇萍

數(shù)學(xué)通常用數(shù)字與符號(hào)來描述事物，從某種角度看，屬于形式科學(xué)。當(dāng)我們將概念或生活中的情境轉(zhuǎn)化為用數(shù)學(xué)語言來表述時(shí)，因觀察的角度和描述的方式不同，往往會(huì)涉及多種關(guān)系。如方程是表示相等關(guān)系的，但在學(xué)習(xí)方程概念、性質(zhì)以及運(yùn)用過程中，經(jīng)常也會(huì)涉及不等關(guān)系，如果能挖掘出這種隱性的關(guān)系，就可以較全面透徹地理解問題。

一、藏在方程的概念中

例1 關(guān)于x的一元二次方程（k-4）x2

-2x+1=0在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有解，求k的范圍。

解：根據(jù)題意，得

[k-4≠0，b2-4ac=4-4（k-4）≥0，]

解這個(gè)不等式組，得

k≤5且k≠4。

【點(diǎn)評(píng)】一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0），其中二次項(xiàng)系數(shù)不為0是對(duì)其形式上的必要補(bǔ)充。很多同學(xué)對(duì)括號(hào)內(nèi)的補(bǔ)充內(nèi)容重視不足，解題時(shí)經(jīng)常忽視。從此以后，對(duì)概念中“隱藏”在括號(hào)內(nèi)的條件，我們?cè)诮忸}時(shí)要格外留意。

例2 若關(guān)于x的方程-2x+[m2017-x]+4020=0存在整數(shù)解，則正整數(shù)m的所有取值的和為 。

解：將方程變形，得[m2017-x]=2x-4020。

∵m是正整數(shù)，∴2x-4020≥0，解得x≥2010。

又∵2017-x≥0，得x≤2017，∴2010≤x≤2017。

若x=2017，則m無解。

∴當(dāng)x≠2017時(shí)，m=[2（x-2010）2017-x]。令t=2017-x，則m=[2（7-t）t]。

∴0

當(dāng)t=1時(shí)，m=12;當(dāng)t=4時(shí)，m=3。

所以12+3=15。

【點(diǎn)評(píng)】本題乍一看，是求無理方程的解，但其中二次根式中被開方數(shù)的取值范圍才是解題關(guān)鍵，是容易被忽視的“隱藏條件”?？衫帽婚_方數(shù)大于等于0和m為正整數(shù)這些題目中的隱藏條件，將x的值變?yōu)橛邢蘅赡?，再一一取值?yàn)證，從而求出所有m的值。

由上述兩題我們可以發(fā)現(xiàn)，由于方程概念的嚴(yán)謹(jǐn)性，方程本身就含有不等關(guān)系。

二、藏在數(shù)的實(shí)際意義中

例3 小明用12元買軟面筆記本，小麗用21元買硬面筆記本。已知每本硬面筆記本比軟面筆記本貴1.2元，小明和小麗能買到相同數(shù)量的筆記本嗎？

解：設(shè)軟面筆記本每本x元，則硬面筆記本每本（x+1.2）元。

若小明和小麗能買到相同數(shù)量的筆記本，則[12x]=[21x+1.2]，解這個(gè)方程，得x=1.6。

經(jīng)檢驗(yàn)，x=1.6是所列方程的解。

但按此價(jià)格，他們都買了7.5本筆記本，不符合實(shí)際意義。

答：小明和小麗不能買到相同數(shù)量的筆記本。

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查分式方程的應(yīng)用，但題目中隱藏了不等關(guān)系，即實(shí)際生活中，筆記本的數(shù)量只可以是正整數(shù)，它排除了分?jǐn)?shù)、負(fù)數(shù)、無理數(shù)等可能。所以用方程解決問題往往需要雙重檢驗(yàn)：第一，檢驗(yàn)方程的解是否符合方程本身的特征;第二，檢驗(yàn)方程的解是否符合實(shí)際意義。

例4 如圖1，某農(nóng)場(chǎng)老板準(zhǔn)備建造一個(gè)矩形羊圈ABCD。他打算讓矩形羊圈的一面完全靠著墻MN，墻MN可利用的長(zhǎng)度為25m，另外三面用長(zhǎng)度為50m的籬笆圍成（籬笆正好全部用完，且不考慮接頭的部分）。農(nóng)場(chǎng)老板想將羊圈ABCD的面積建造成320m2，他的這個(gè)想法能實(shí)現(xiàn)嗎？為什么？

解：不能。

設(shè)所圍矩形ABCD的邊AB為x米，則邊AD為（50-2x）米。其中，[252]

根據(jù)題意，得

x·（50-2x）=320，即x2-25x+160=0。

∵b2-4ac=（-25）2-4×1×160=-15<0，

∴上述方程沒有實(shí)數(shù)根。

因此，圍成的矩形羊圈的面積不可能為320m2，農(nóng)場(chǎng)老板的想法不能實(shí)現(xiàn)。

【點(diǎn)評(píng)】本題涉及一元二次方程的運(yùn)用，其中農(nóng)場(chǎng)老板的想法是否可行是由一元二次方程根的情況來決定的。本題中，由一元二次方程根的判別式b2-4ac<0得出方程沒有實(shí)數(shù)根，反映成實(shí)際生活，即農(nóng)場(chǎng)老板的想法不可能實(shí)現(xiàn)。

例5 如圖2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=[7]，AC=2，過點(diǎn)B作直線m∥AC，將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△A′B′C（點(diǎn)A、B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A′、B′），射線CA′、CB′分別交直線m于點(diǎn)P、Q。問在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)點(diǎn)P、Q分別在CA′、CB′的延長(zhǎng)線上時(shí)，四邊形PA′B′Q的面積是否存在最小值。若存在，求出四邊形PA′B′Q的最小面積;若不存在，請(qǐng)說明理由。

解：如圖3，設(shè)PB=x，BQ=y，PQ=a。

由△PBC∽△CBQ，得BC2=PB·BQ。

從而[x+y=a，xy=3。]

消去y，得x2-ax+3=0。

由Δ=a2-12≥0，得a≥[23]，

即當(dāng)x=y=[3]時(shí)，PQ取得最小值，

則S四邊形PA′B′Q=S△PCQ-S△A′CB′

=[32]PQ-[3]，

所以四邊形PA′B′Q的最小面積=[32]×[23]-[3]=3-[3]。

【點(diǎn)評(píng)】本題的難點(diǎn)在于先在變中找不變，再根據(jù)不變找出變化的范圍。如圖4，隨著△ABC繞著點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，各線段、圖形的面積的大小也在不斷地變化，但PQ=PB+BQ、△PBC∽△CBQ這樣的關(guān)系卻始終沒變。再運(yùn)用“消元”思想，將兩個(gè)關(guān)系“合二為一”，得出PB、PQ的等量關(guān)系式。此時(shí)，可根據(jù)方程的特征，將其看作是含參數(shù)a的一元二次方程，再利用根的判別式這個(gè)較隱蔽的不等關(guān)系，得出a的取值范圍，從而得解。

數(shù)學(xué)是一門嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科，對(duì)于同一個(gè)問題的表述有時(shí)涉及多種數(shù)量關(guān)系。這些關(guān)系有些較為明顯，有些較為隱蔽。這就需要同學(xué)們平時(shí)解題時(shí)，做個(gè)勤于思考、善于挖掘的有心人。

（作者單位：江蘇省儀征市實(shí)驗(yàn)中學(xué)東區(qū)校）