“數(shù)與式”，在靈動中見深度

施曉丹

“數(shù)與式”是初中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識，也是中考的基本考查內(nèi)容之一，主要考查同學(xué)們對基本概念的理解、基礎(chǔ)知識的運用和基本技能的掌握情況。近年來，中考中也出現(xiàn)了一些新題型，面貌煥然一新。這些題更具靈活性和思辨性，有時需要同學(xué)們仔細閱讀，回歸概念;有時還需計算推理。

一、在嘗試中計算

例1 （2020·湖北荊州）若x為實數(shù)，在“（[3]+1）□x”的“□”中添上一種運算符號（在“+，-，×，÷”中選擇）后，其運算的結(jié)果為有理數(shù)，則x不可能是（ ）。

A.[3]+1 B.[3]-1

C.[23] D.1-[3]

【解析】選項A：（[3]+1）÷（[3]+1）=1，或（[3]+1）-（[3]+1）=0;

選項B：（[3]+1）（[3]-1）=3-1=2，或（[3]+1）-（[3]-1）=2;

選項D：（[3]+1）（1-[3]）=1-3=-2，或（[3]+1）+（1-[3]）=2;

而選項C，無論填“+，-，×，÷”中的任何一種符號，都不能保證其運算的結(jié)果為有理數(shù)。故選C。

【點評】本題考查了實數(shù)的運算和有理數(shù)的概念，只是這樣的呈現(xiàn)形式使題目更具靈活性。本題要我們先選擇運算符號，再進行計算，最后根據(jù)運算結(jié)果進行判斷。我們只要逐一對每個選項做出相應(yīng)的計算嘗試，即可得到答案。當(dāng)然，選擇運算符號的時候也應(yīng)有目的地篩選。

二、在閱讀中理解

例2 （2020·重慶）在數(shù)的學(xué)習(xí)過程中，我們總會對其中一些具有某種特性的數(shù)充滿好奇，如學(xué)習(xí)自然數(shù)時，我們發(fā)現(xiàn)一種特殊的自然數(shù)——“好數(shù)”。

定義：對于一個三位自然數(shù)n，各位數(shù)字都不為0，且百位數(shù)字與十位數(shù)字之和恰好能被個位數(shù)字整除，則稱這個自然數(shù)n為“好數(shù)”。

例如：426是“好數(shù)”，因為4、2、6都不為0，且4+2=6，6能被6整除;

643不是“好數(shù)”，因為6+4=10，10不能被3整除。

（1）判斷312、675是否是“好數(shù)”，并說明理由;

（2）求出百位數(shù)字比十位數(shù)字大5的所有“好數(shù)”的個數(shù)，并說明理由。

【解析】（1）312是“好數(shù)”，675不是“好數(shù)”。理由：

312是“好數(shù)”，因為3、1、2都不為0，且3+1=4，4能被2整除;

675不是“好數(shù)”，因為6+7=13，13不能被5整除。

（2）設(shè)十位數(shù)字為a（a為整數(shù)且1≤a≤4），則百位數(shù)字為a+5，

∴a+a+5=2a+5。

當(dāng)a=1時，2a+5=7，7能被1、7整除，∴此時“好數(shù)”有2個：611，617;

當(dāng)a=2時，2a+5=9，9能被1、3、9整除，∴此時“好數(shù)”有3個：721，723，729;

當(dāng)a=3時，2a+5=11，11能被1、11整除，但個位數(shù)字不可能是11，∴此時“好數(shù)”有1個：831;

當(dāng)a=4時，2a+5=13，13能被1、13整除，但個位數(shù)字不可能是13，∴此時“好數(shù)”有1個：941。

綜上所述，滿足條件的“好數(shù)”共有7個：611，617，721，723，729，831，

941。

【點評】本題是一道新定義問題，新定義的實質(zhì)就是作出一種規(guī)定，根據(jù)規(guī)定來解決問題。本題主要考查我們閱讀題干后，獲得的解決問題的能力，正確理解“好數(shù)”是解決問題的關(guān)鍵，同時，也需要我們深入周密地去思考。第（1）問，根據(jù)“好數(shù)”的定義進行判斷即可。第（2）問，用字母表示數(shù)后問題就變得清晰多了，設(shè)十位數(shù)字為a，進而表示出百位數(shù)字，根據(jù)題意，可推斷出a為整數(shù)且1≤a≤4，這是做到不遺漏、不重復(fù)的前提。在此范圍內(nèi)分別取定a的值，根據(jù)“好數(shù)”的定義，結(jié)合整除的知識，就能得出結(jié)果。

（作者單位：江蘇省常熟市教育局教學(xué)研究室）