感知　規(guī)則　應(yīng)用

謝蓓蓓

本節(jié)課是蘇科版數(shù)學(xué)教材七年級(jí)上冊(cè)第三章第四節(jié)的第一課時(shí)。本章內(nèi)容從生活中引入代數(shù)式，以代數(shù)式的認(rèn)識(shí)、運(yùn)算以及應(yīng)用為主線展開研究。合并同類項(xiàng)是本章的重點(diǎn)，其法則的應(yīng)用是整式加減的基礎(chǔ)，也是以后學(xué)習(xí)解方程、解不等式的基礎(chǔ)。另外，合并同類項(xiàng)其實(shí)是有理數(shù)運(yùn)算的延伸與拓展，是簡(jiǎn)化數(shù)學(xué)運(yùn)算的常用方法，對(duì)于解決一些實(shí)際問題和進(jìn)一步學(xué)習(xí)有著深遠(yuǎn)的意義。因此，這節(jié)課具有承上啟下的作用。

一、從整體到部分，感受知識(shí)的必要性

建構(gòu)主義認(rèn)為，學(xué)生的學(xué)習(xí)應(yīng)該建立在已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，教師需要為學(xué)生創(chuàng)設(shè)學(xué)習(xí)情境，以幫助者和促進(jìn)者的身份引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)發(fā)現(xiàn)、合作交流，從而獲得新知識(shí)和新經(jīng)驗(yàn)。

筆者將教材中計(jì)算學(xué)校校園占地面積的生活情境轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)內(nèi)部的情境，分為以下幾個(gè)問題。

問題1：在第二章，我們認(rèn)識(shí)了有理數(shù)，學(xué)習(xí)了有理數(shù)的運(yùn)算以及應(yīng)用。類比有理數(shù)的學(xué)習(xí)過程，你覺得下面我們?cè)撛鯓友芯看鷶?shù)式呢？

問題2：3a+2a可以計(jì)算嗎？

問題3：3a+2b可以計(jì)算嗎？

問題1是希望學(xué)生感受數(shù)與式之間的聯(lián)系，體會(huì)類比的數(shù)學(xué)思想，從整體的角度建立式類知識(shí)的研究路徑。教師可以繼續(xù)追問學(xué)生：該如何研究代數(shù)式的運(yùn)算呢？此時(shí)，可以引導(dǎo)學(xué)生從運(yùn)算分類的角度以及從簡(jiǎn)單到復(fù)雜的角度進(jìn)行思考，從而確定研究的方向：從單項(xiàng)式的加法入手。

對(duì)于問題2，學(xué)生在已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，容易得出結(jié)果為5a，而教師此時(shí)一定要讓學(xué)生說出自己的想法。在實(shí)際教學(xué)中，學(xué)生會(huì)有很多想法：有的學(xué)生會(huì)說3份a加2份a應(yīng)該是5份a，他們其實(shí)是從物化的角度出發(fā)，聯(lián)系生活實(shí)際進(jìn)行思考的;有的學(xué)生則是提出可以利用乘法分配律將3a+2a寫成（3+2）a。此時(shí)，教師更要引導(dǎo)學(xué)生從圖形的角度來認(rèn)識(shí)3a和2a，3a可以看作是邊長(zhǎng)分別為3和a的矩形，2a可以看作是邊長(zhǎng)分別為2和a的矩形，它們可以拼成邊長(zhǎng)分別為5和a的矩形（圖1）。

接著，筆者提出問題3，引發(fā)學(xué)生積極思考，激發(fā)他們從不同的角度去說明3a和2b是不可以相加的，讓學(xué)生生出單項(xiàng)式要分類的需求。

二、從感性到理性，感受知識(shí)的合理性

問題4：你能將下列單項(xiàng)式分類嗎？說說你的理由。

（1）0;（2）a2;（3）-20a2;（4）-0.5x2y3;（5）-[12];（6）5x2y3。

問題5：你覺得什么樣的單項(xiàng)式可以分為一類？

對(duì)于問題4，教師在課堂上應(yīng)該給學(xué)生獨(dú)立思考的空間，讓他們可以根據(jù)自己的感知進(jìn)行分類。學(xué)生通常有兩種分類方法：第一種是根據(jù)單項(xiàng)式中有無字母，將（1）（5）分為一類，（2）（3）（4）（6）分為一類;第二種則是在前面分類的基礎(chǔ)上，再根據(jù)字母的特征將（2）（3）和（4）（6）分開。學(xué)生在表達(dá)想法的同時(shí)體會(huì)了分類的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)了數(shù)感。

到這里，學(xué)生已經(jīng)對(duì)同類項(xiàng)的概念有了感性的認(rèn)識(shí)。于是筆者接著追問：你覺得單項(xiàng)式2x3y2能和以上6個(gè)單項(xiàng)式中的哪些單項(xiàng)式分為一類？此時(shí)，學(xué)生的目光必定集中在（4）（6）這一類上，但是馬上又能發(fā)現(xiàn)2x3y2和5x2y3的字母x和y的指數(shù)是不一樣的，引發(fā)新的思考和判斷。在學(xué)生思考的同時(shí)，筆者繼續(xù)追問：你能說出一些和（4）（6）是一類的單項(xiàng)式嗎？學(xué)生在剛剛思考的基礎(chǔ)上很快就能舉出例子。最后，通過問題5，讓學(xué)生總結(jié)、補(bǔ)充，逐步明晰同類項(xiàng)的判斷標(biāo)準(zhǔn)。

在剛才的探索中，學(xué)生已經(jīng)對(duì)同類項(xiàng)的概念有了自己的感悟，接下來就是要將自己的感悟表達(dá)出來，從而歸納出同類項(xiàng)的概念：所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也相同，另外，幾個(gè)常數(shù)項(xiàng)也是同類項(xiàng)。此時(shí)，筆者提出以下問題。

問題6：下列各組單項(xiàng)式是同類項(xiàng)嗎？

（1）a與ac;（2）3x2y與-xy2;（3）a2與-2a2;

（4）23與-a3;（5）500與-1;（6）ab與ba;（7）b2a與a2b。

對(duì)于概念的教學(xué)，我們通常都是先創(chuàng)設(shè)出生活或數(shù)學(xué)的情境，然后與學(xué)生一起發(fā)現(xiàn)概念，再通過正例或反例辨析概念，明確概念的內(nèi)涵和外延。所以，筆者提出了問題6。在實(shí)際教學(xué)中，學(xué)生對(duì)于（6）和（7）的辨析有些疑惑，而學(xué)生的糾結(jié)點(diǎn)就是教師最好的出發(fā)點(diǎn)。故筆者追問學(xué)生：你是如何思考的？學(xué)生通常會(huì)從同類項(xiàng)的概念或者乘法分配律的角度進(jìn)行解釋，也有學(xué)生受到之前的啟發(fā)，從圖形的角度來表達(dá)。比如ab可以看作是邊長(zhǎng)分別為a和b的矩形，ba可以看作是邊長(zhǎng)分別為b和a的矩形，它們是同一種圖形（圖2）;b2a可以看作是底面邊長(zhǎng)為b、高為a的長(zhǎng)方體，而a2b可以看作是底面邊長(zhǎng)為a、高為b的長(zhǎng)方體，它們不是同一種圖形（圖3）。

學(xué)生通過思考一系列層層深入的問題，在觀察、思考、歸納和辨析的過程中，從感性到理性的角度逐步感悟同類項(xiàng)的概念。在教學(xué)中，教師應(yīng)該有意識(shí)地幫助學(xué)生體會(huì)數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想，提升直觀想象等核心素養(yǎng)。

三、從認(rèn)識(shí)到運(yùn)用，感受知識(shí)的一致性

教師在前面學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上提出新問題。

問題7：下列式子能運(yùn)算嗎？如果可以，請(qǐng)說出運(yùn)算結(jié)果。

（1）a2+2a2;（2）-x2y3+4x2y3;（3）3x2y-xy2;

（4）2ab-ac。

問題8：你能總結(jié)歸納出單項(xiàng)式加法法則嗎？

問題9：請(qǐng)嘗試計(jì)算2a2-3ab+5-2a2-3ab-7。

學(xué)生通過問題7的運(yùn)算，再次思考，并明確什么樣的單項(xiàng)式才能相加。筆者通過問題8，讓學(xué)生歸納出單項(xiàng)式的加法運(yùn)算可以分為同類項(xiàng)相加和非同類項(xiàng)相加兩種類型，如果是非同類項(xiàng)，則不能合并;如果是同類項(xiàng)，則將同類項(xiàng)的系數(shù)相加，所得的結(jié)果作為系數(shù)，字母和字母的指數(shù)不變，并指明這就是合并同類項(xiàng)的法則。最后，筆者利用問題9，讓學(xué)生嘗試?yán)煤喜⑼愴?xiàng)的法則進(jìn)行整式的加減運(yùn)算，提高學(xué)生的應(yīng)用能力。教師在學(xué)生分享自己的做法時(shí)，可以讓學(xué)生讀讀題目，類比有理數(shù)的運(yùn)算，將減號(hào)看作是省略加號(hào)的符號(hào);可以利用投影，對(duì)學(xué)生的作業(yè)進(jìn)行修改，規(guī)范解題過程;可以多關(guān)注運(yùn)算有差錯(cuò)的學(xué)生，將個(gè)別輔導(dǎo)和合作糾錯(cuò)落到實(shí)處。接下來，筆者再給出一道練習(xí)“-2m2n-[13]mn2-1+[23]n2m+m2n”，要求學(xué)生獨(dú)立完成，以提高學(xué)生的運(yùn)算能力。

合并同類項(xiàng)法則的應(yīng)用是整式加減的基礎(chǔ)，也是以后學(xué)習(xí)解方程、解不等式的基礎(chǔ)。而合并同類項(xiàng)的法則是建立在數(shù)的運(yùn)算的基礎(chǔ)之上，因此，教師需要適時(shí)引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中建立數(shù)與式的聯(lián)系，感受數(shù)式通性，體會(huì)知識(shí)的一致性。

四、從當(dāng)下到未來，感受知識(shí)的延伸性

至此，學(xué)生對(duì)同類項(xiàng)的概念以及合并同類項(xiàng)的法則已經(jīng)有所掌握，并且對(duì)合并同類項(xiàng)在單項(xiàng)式運(yùn)算中的地位有了一定的認(rèn)識(shí)。因此，教師可以在學(xué)生小結(jié)本節(jié)課收獲的基礎(chǔ)上提出最后一個(gè)問題。

問題10：你覺得以后我們還會(huì)學(xué)習(xí)什么知識(shí)？

這個(gè)問題給了學(xué)生更為廣闊的思考空間。教師可以引導(dǎo)學(xué)生從運(yùn)算方式的角度或者從簡(jiǎn)單到復(fù)雜的角度思考、交流、表達(dá)，逐步完善式類知識(shí)的結(jié)構(gòu)，展望冪的運(yùn)算、單項(xiàng)式和多項(xiàng)式以及多項(xiàng)式和多項(xiàng)式的運(yùn)算、分式的運(yùn)算等知識(shí)，讓學(xué)生對(duì)未來的學(xué)習(xí)充滿期待。