“技”由“道”生　學(xué)在悟“道”

錢德春

摘要

“道”是事物的根本，“技”是“道”的外在表現(xiàn)。數(shù)學(xué)中的“道”就是數(shù)學(xué)的本質(zhì)、基本原理、通性通法。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)離不開(kāi)技能與技巧，但關(guān)鍵在于悟“道”?！暗馈蹦苌迹材苌?，否則“技”就是無(wú)本之源?！暗馈毙枰處煹狞c(diǎn)撥引導(dǎo)，需要學(xué)習(xí)者主動(dòng)感悟與反思、完善與升華。掌握了數(shù)學(xué)本質(zhì)，“技”自然而生，從而達(dá)到“大道于心”的境界。

關(guān)鍵詞

技 道 規(guī)律 基本原理 通性通法

一、問(wèn)題提出

最近看到一段關(guān)于“分母有理化”的教學(xué)短視頻，內(nèi)容是如何將[432+3+7]分母有理化。大致過(guò)程如下：

師：（一段精彩的開(kāi)場(chǎng)白）我們來(lái)看，4[3]=2×2×[3]，而22+（[3]）2=（[7]）2，因此，原式=[22+（3）2+43-（7）22+3+7=（2+3）2-（7）22+3+7]=[（2+3+7）（2+3-7）2+3+7=2+3-7]。

教者根據(jù)[43]與分母的特殊關(guān)系，利用逆向思維順利解題，看上去方法非常巧妙。最后，教者畫(huà)龍點(diǎn)睛：“拿到題目不要輕言放棄。有的人動(dòng)不動(dòng)就抱怨自己不行，或者沒(méi)有靠山。我們應(yīng)該自信——自己就是靠山?！币曨l中，教者眉飛色舞、表情豐富，語(yǔ)言幽默詼諧，讓人看了大呼過(guò)癮，相信聽(tīng)者一定會(huì)被這位教師夸張的表演深深吸引。

看完視頻后，筆者不禁產(chǎn)生幾個(gè)疑問(wèn)：分母[2+3+7]中22+（[3]）2恰好等于[（7）2]，這個(gè)問(wèn)題的設(shè)置是不是巧合？由此得到的解法是偶然的還是具有一般性的？若利用加法交換律、結(jié)合律將[2+3+7]變?yōu)閇2+（3+7）]或[3+（2+7）]，該方法還行得通嗎？如果將[432+3+7]換成形如[13+5-1]的式子，教者的方法還同樣有效嗎？初中數(shù)學(xué)中對(duì)分母有理化的教學(xué)要求如何？

顯然，該題本身具有特殊性。一是分母中各項(xiàng)之間具有（[a]）2+（[b]）2=（[c]）2的關(guān)系;二是解題方法不具有一般性，運(yùn)用了特殊的技巧。筆者覺(jué)得這種視頻中看不中用，如此講課可能會(huì)將學(xué)生引入歧途。誠(chéng)然，數(shù)學(xué)解題需要一定的技能與技巧，但教師教學(xué)要“授之以漁”，而不是“授之以魚(yú)”，要引導(dǎo)學(xué)生回到概念、回到源頭，回到最基本、最一般、最本質(zhì)的思路與方法上來(lái)。另外，該內(nèi)容明顯超出義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)要求。分母有理化問(wèn)題在2011年版《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中已有所淡化，幾種版本的教材也將此內(nèi)容作為數(shù)學(xué)閱讀供學(xué)生了解，如蘇科版數(shù)學(xué)教材（下同）八年級(jí)下冊(cè)第166頁(yè)的“閱讀”，所舉例子的分母中最多也只涉及兩項(xiàng)的分母有理化。

二、方法探究

分母有理化有沒(méi)有最基本、最一般的方法呢？我們知道，分母有理化的復(fù)雜程度由分母中項(xiàng)的個(gè)數(shù)決定，解題的關(guān)鍵是如何尋找分母的有理化因式。如[1a]（a為正整數(shù)）分母只含有一項(xiàng)，其分母有理化比較簡(jiǎn)單。這里重點(diǎn)研究形如[1a±b]、[1a±b±c]、[1a±b±c±d]這3類代數(shù)式的分母有理化。

1.[1a±b]型（其中a、b為正整數(shù)）。

以[1a+b]為例。若a=b，則[1a+b]=[12a]= [a2a];若a[≠]b，因?yàn)閇a+b]與[a-b]的積為a-b，故將分子、分母同乘[a-b]，有[1a+b]=[a-b（a+b）（a-b）]=[a-ba-b]。這里，“兩個(gè)含有二次根式的代數(shù)式相乘，積不含有二次根式，則稱這兩個(gè)代數(shù)式互為有理化因式”，如[a+b]與[a-b]叫作互為有理化因式，也叫作互為共軛因式。

2.[1a±b±c]型（其中a、b、c為正整數(shù)）。

以[1a+b+c]為例，此類問(wèn)題一般不能將分母有理化一步到位，可分步實(shí)施，先轉(zhuǎn)化為[1a±b]型即可。將[a]、[b]、[c]任意兩項(xiàng)結(jié)合，如[1a+b+c]=[1（a+b）+c]，分子、分母同乘[a+b-c]，得[1a+b+c]

=[a+b-c[（a+b）+c][（a+b）-c]

=[（a+b）-c（a+b-c）+2ab]，這樣分母轉(zhuǎn)化為兩項(xiàng)和的形式。

3.[1a±b±c±d]型（其中a、b、c、d為正整數(shù)）。

以[1a+b+c+d]為例，分母各項(xiàng)任意結(jié)合。分子、分母同乘（[a+b]）-[（c+d）]，得[1a+b+c+d]=[（a+b）-（c+d）[（a+b）+（c+d][（a+b）-（c+d）]]=[（a+b）-（c+d）（a+b-c-d）+2ab-2cd]，從而將代數(shù)式轉(zhuǎn)化為形如[1a±b±c]的形式。

三、談“技”論“道”

與短視頻中授課教師的方法相比，上述方法雖然比較煩瑣，但更具一般性。我們將特殊的技能、技巧稱為“技”，將事物一般性、本質(zhì)性的規(guī)律、方法稱為“道”。那么“技”和“道”究竟是什么關(guān)系呢？顯然，“道”是事物的根本，“技”是“道”的外在表現(xiàn)。數(shù)學(xué)中的“道”就是數(shù)學(xué)的本質(zhì)、基本原理、通性通法。數(shù)學(xué)教學(xué)也好，解題也罷，一定離不開(kāi)“技”，但沒(méi)有“道”，“技”就成了無(wú)本之源。

1.學(xué)在悟“道”。

數(shù)學(xué)之“道”的形成是一個(gè)生長(zhǎng)過(guò)程，需要教師的引導(dǎo)與點(diǎn)撥，需要學(xué)習(xí)者的領(lǐng)悟與建構(gòu)、不斷完善與升華。因此，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的關(guān)鍵在于悟“道”。

（1）“道”的形成是一個(gè)生長(zhǎng)過(guò)程。

數(shù)學(xué)之“道”是生長(zhǎng)出來(lái)的，“道”的形成過(guò)程是學(xué)習(xí)與理解、運(yùn)用與體驗(yàn)的生長(zhǎng)過(guò)程，是經(jīng)歷從低級(jí)到高級(jí)、從特殊到一般、從具體到抽象的過(guò)程。如在“分母有理化”問(wèn)題的學(xué)習(xí)中，學(xué)生必須弄清這樣幾個(gè)問(wèn)題：分母為什么會(huì)出現(xiàn)根式、什么叫作分母有理化、為什么要分母有理化、分母如何有理化。在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生不斷增長(zhǎng)數(shù)學(xué)知識(shí)、深化數(shù)學(xué)理解、掌握數(shù)學(xué)方法、感悟數(shù)學(xué)本質(zhì)，從而明晰數(shù)學(xué)之“道”。

①分母為什么會(huì)出現(xiàn)根式？

分母出現(xiàn)二次根式的主要原因是除法運(yùn)算中除數(shù)含有二次根式。如八下教材P155：已知平行四邊形的面積為[10]，一邊的長(zhǎng)為[5]，求這邊上的高。根據(jù)面積公式得到所求邊上的高為[105]，這就出現(xiàn)了形如[1a]的形式，其中分母含有二次根式。又如：“△ABC中，∠C=90°，AC=6，∠A=15°，求△ABC的面積?！庇蟆鰽BC的面積，只要求BC的長(zhǎng)，由于AC長(zhǎng)及∠A=15°已知，關(guān)鍵是如何利用15°的條件，由此聯(lián)想到30°，構(gòu)造特殊三角形：在AC上取一點(diǎn)D，使∠BDC=30°（如圖1），設(shè)BC=x，則BD=AD=2x，CD=[3x]，所以AC=2x+[3x]=（2+[3]）x。因?yàn)锳C=6，所以（2+[3]）x=6，則x=[62+3]，此時(shí)出現(xiàn)了形如[1a+b]的式子。

②什么叫作分母有理化？

像[105]、[62+3]這種分母含有二次根式的代數(shù)式，通過(guò)適當(dāng)?shù)淖冃位シ帜钢懈?hào)的運(yùn)算，就叫作分母有理化。

③為什么要分母有理化？

這是源于數(shù)學(xué)“最簡(jiǎn)”原則。簡(jiǎn)潔是數(shù)學(xué)的特征之一，也是現(xiàn)實(shí)的需要。數(shù)學(xué)總是追求“最簡(jiǎn)”，如思路與方法、運(yùn)算過(guò)程、形式與結(jié)果的“最簡(jiǎn)”;如能用簡(jiǎn)便方法的不用復(fù)雜方法，能用整式表示的不用分式表示，能化為積的形式的不用除法表示。就分母含有二次根式的運(yùn)算而言，乘法運(yùn)算比除法運(yùn)算簡(jiǎn)便，無(wú)理數(shù)除以有理數(shù)比一個(gè)數(shù)除以無(wú)理數(shù)運(yùn)算更方便。分母有理化（即化去分母中的二次根式）后，數(shù)學(xué)運(yùn)算及實(shí)際問(wèn)題中取近似值會(huì)更加方便。如求[105]的近似值，如果直接計(jì)算則要將[10]與[5]的近似值代入計(jì)算，此時(shí)分母出現(xiàn)小數(shù)，計(jì)算會(huì)比較復(fù)雜。但分母有理化后結(jié)果為[2]，因此，只要知道[2]的近似值即可。再如求[62+3]的近似值，如果取[3]≈1.732，那么[62+3]≈[62+1.732]，這樣的計(jì)算也比較煩瑣，而分母有理化后結(jié)果為6（2-[3]），其近似值為6×（2-1.732），轉(zhuǎn)化為求兩數(shù)積的運(yùn)算，過(guò)程就顯得簡(jiǎn)便。

④分母如何有理化？

在[105]中，分母如何有理化呢？（法一）觀察式子，發(fā)現(xiàn)分子[10]=[5]×[2]，所以[105]=[5×25]=[2]。（法二）思考的關(guān)鍵是如何將分母中的[5] 變?yōu)橛欣頂?shù)。聯(lián)想到二次根式產(chǎn)生的原因是開(kāi)平方，“解鈴還須系鈴人”，故平方可以解鎖，即（[5]）2=5=[5×5]。要將分母變?yōu)?，可以乘[5]，根據(jù)分式的基本性質(zhì)，分子必須同時(shí)乘[5]，這樣就有：[105]=[5×25]=[2]。比較兩種方法發(fā)現(xiàn)：方法一巧妙地利用了分子、分母都含有[5]這個(gè)“因數(shù)”的特征，“約簡(jiǎn)”即可，方法優(yōu)美、過(guò)程簡(jiǎn)潔，這就是“技”。但問(wèn)題是，不是所有的式子分子、分母都可以約簡(jiǎn)，該方法不具有一般性。方法二則“放之四海而皆準(zhǔn)”。

如何將[33-2]分母有理化？基本方法就是“平方”，即出現(xiàn)（[3]）2和（[2]）2，然后聯(lián)想到平方差公式，則（[3-2]）（[3+2）]=（[3]）2-（[2]）2=1（具體過(guò)程略）。

至于分母超過(guò)3項(xiàng)的二次根式和（差）、根號(hào)內(nèi)含字母的分母有理化方法，見(jiàn)本文“二、方法探究”。

（2）“道”需要教師的點(diǎn)撥與引導(dǎo)。

2011年版《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：“教學(xué)活動(dòng)是師生積極參與、交往互動(dòng)、共同發(fā)展的過(guò)程。有效的教學(xué)活動(dòng)是學(xué)生學(xué)與教師教的統(tǒng)一，學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，教師是學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者與合作者?！?這說(shuō)明教學(xué)中教師的啟發(fā)、引導(dǎo)不可或缺。教師要設(shè)計(jì)恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)情境，讓學(xué)生感受為什么分母出現(xiàn)二次根式，為什么要化去分母中的根式，什么叫作分母有理化。教師通過(guò)具體案例的教學(xué)，讓學(xué)生思考分母有理化的關(guān)鍵是什么、如何分母有理化。同時(shí)，在探究過(guò)程中自然會(huì)出現(xiàn)分母為單個(gè)根式、兩個(gè)二次根式的和與差、三個(gè)根式的和與差如何處理的問(wèn)題。教師引導(dǎo)學(xué)生思考：這樣處理的思維源頭在哪里？其中蘊(yùn)含了哪些數(shù)學(xué)思想方法？從而達(dá)到啟思與點(diǎn)撥的目的。

（3）“道”需要學(xué)習(xí)者體會(huì)與感悟。

老子言：“道可道，非常道。名可名，非常名。”意即能夠言明的就不成為“道”，可見(jiàn)“道”需要體驗(yàn)與感悟。學(xué)生“掌握知識(shí)，既不像照相機(jī)、錄音機(jī)那樣僅僅對(duì)外界信息消極地接受和儲(chǔ)存，也不像容器那樣被動(dòng)地‘填裝，而是一種能動(dòng)的認(rèn)識(shí)過(guò)程”。教師的啟發(fā)、引導(dǎo)與點(diǎn)撥，只有通過(guò)學(xué)習(xí)者主動(dòng)積極的思考、領(lǐng)悟、建構(gòu)、反思，才能轉(zhuǎn)化為學(xué)生自己的知識(shí)、智慧和能力。

比如，學(xué)生可結(jié)合實(shí)例自主思考：分母有理化的本質(zhì)就是追求形式與結(jié)果的“最簡(jiǎn)”，基本方法是轉(zhuǎn)化——將“除法運(yùn)算”轉(zhuǎn)化為“乘法運(yùn)算”;理論依據(jù)是分?jǐn)?shù)（式）的基本性質(zhì);被開(kāi)方數(shù)含字母的分母有理化可類比具體數(shù)的分母有理化。在掌握這個(gè)數(shù)學(xué)本質(zhì)的前提下，適當(dāng)歸納、梳理分母有理化的特點(diǎn)、類型，從而建構(gòu)相關(guān)知識(shí)、方法體系，體驗(yàn)類比、轉(zhuǎn)化、特殊到一般等數(shù)學(xué)思想方法。這正是數(shù)學(xué)之“道”。悟“道”的過(guò)程就是學(xué)生主動(dòng)建構(gòu)、自主感悟、獨(dú)立思考的過(guò)程，而不是他人的給予、灌輸和牽引。正如《學(xué)記》所言：“君子之教，喻也：道而弗牽，強(qiáng)而弗抑，開(kāi)而弗達(dá)?！?/p>

（4）“道”需要自我的反思與完善。

從哲學(xué)角度來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)之“道”是數(shù)學(xué)內(nèi)在的發(fā)展規(guī)律與人類對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)知規(guī)律。數(shù)學(xué)總是在發(fā)現(xiàn)矛盾、遭遇危機(jī)后，經(jīng)過(guò)數(shù)學(xué)家的艱苦努力，從而克服危機(jī)，取得了新的突破，得到新的發(fā)展，正所謂“逢山開(kāi)路、遇水架橋”，這就是數(shù)學(xué)的發(fā)展之“道”。

以數(shù)系的發(fā)展為例。遠(yuǎn)古時(shí)代人們?cè)诜峙湮锲返倪^(guò)程中出現(xiàn)了分?jǐn)?shù)，小數(shù)由此誕生了;人們發(fā)現(xiàn)了數(shù)的“不可公度性”，無(wú)理數(shù)應(yīng)運(yùn)而生，從而出現(xiàn)實(shí)數(shù)系;“實(shí)數(shù)時(shí)代”默認(rèn)負(fù)數(shù)不能開(kāi)平方，但出現(xiàn)了負(fù)數(shù)開(kāi)方的問(wèn)題，人們將[-1]記為i，稱為虛數(shù)，復(fù)平面的發(fā)明給復(fù)數(shù)以幾何解釋，使虛數(shù)有了現(xiàn)實(shí)意義，從而使數(shù)學(xué)向前邁了一大步。這就是不斷反思、不斷完善的過(guò)程。

再比如，幾何圖形的研究一般按照“定義→表示→分類→性質(zhì)（判定）”的“套路”進(jìn)行。這個(gè)“套路”的形成是一個(gè)循序漸進(jìn)、逐步完善的過(guò)程。在幾何學(xué)習(xí)初始階段，如在七年級(jí)“直線、射線、線段”和“角”“相交線與平行線”的學(xué)習(xí)中，教師引導(dǎo)學(xué)生初步感知幾何研究的“套路”，積累幾何研究活動(dòng)經(jīng)驗(yàn);在八年級(jí)“三角形”“四邊形”的學(xué)習(xí)中借鑒七年級(jí)的幾何研究活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，并將這種經(jīng)驗(yàn)提升為一種策略;到了九年級(jí)“圓”和“相似三角形”的學(xué)習(xí)時(shí)，學(xué)生通過(guò)自主反思，不斷完善這種策略，使之升華為幾何研究的“套路”。

這些數(shù)學(xué)發(fā)展的規(guī)律、問(wèn)題研究的方法與路徑，有時(shí)教材難以直接呈現(xiàn)，也難以通過(guò)一兩個(gè)具體問(wèn)題的解決加以歸納，需要學(xué)習(xí)者在學(xué)習(xí)過(guò)程中慢慢思考、感悟，經(jīng)歷從特殊到一般、從低級(jí)到高級(jí)的過(guò)程，逐步認(rèn)識(shí)、理解與完善數(shù)學(xué)發(fā)展規(guī)律，并升華為數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)的一種策略、方法和觀念，從而達(dá)到積“小技”為“大能”、變“小道”為“大道”的目的，為更高層次的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)，這才是數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)之“道”。

2.“技”由“道”生。

“熟能生巧”或許有一定道理，卻是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的大忌。不少學(xué)生平時(shí)測(cè)試成績(jī)較好，但在比較正式的考試中卻成績(jī)平平。這是什么原因呢？由于平時(shí)有的測(cè)試中原創(chuàng)題較少，大多是教師講過(guò)或反復(fù)訓(xùn)練過(guò)的“熟題”，學(xué)生不需動(dòng)腦筋，憑記憶就能得高分。但中考、高考等測(cè)試中的試題以原創(chuàng)題為主，試題的背景、形式、結(jié)構(gòu)新穎，不少學(xué)生面對(duì)新題型、新面孔只能望“題”興嘆。

因此，學(xué)習(xí)的重點(diǎn)在于悟“道”，掌握了數(shù)學(xué)基本原理、基本方法等最本質(zhì)的東西之后，“技”自然而生，就能應(yīng)對(duì)形形色色的數(shù)學(xué)問(wèn)題。

如分母有理化[16-3+2-1]。

我們可以按照第3種類型的方法進(jìn)行計(jì)算，但仔細(xì)觀察可以發(fā)現(xiàn)，分母可以變形為（[2-1]）（[3+1）]，即[16-3+2-1]=[12-1]·[13+1]，因此，只要將[12-1]與[13+1]分別分母有理化即可（具體過(guò)程略）。

再比如，比較 [3]-[2]與[6]-[5]的大小。

一般用作差法：因?yàn)閇3]-[2]-（[6]-[5]）=[3]+[5]-（[2]+[6]），所以比較[3]+[5]與[2]+[6]兩數(shù)平方的大小。（[3]+[5]）2-（[2]+[6]）2=8+2[15]-（8+4[3]）=2[15]-4[3]=2（[15]-[23]），再比較[15]與2[3]兩數(shù)的平方大小，顯然（[15]）2-（2[3]）2=15-12[>]0。

但觀察兩個(gè)代數(shù)式的特征，還可以想到用有理化因式：因?yàn)閇3]-[2]=[13+2]，[6]-[5]=[16+5]，而[3]+[2]<[6]+[5]，所以[3]-[2][>][6]-[5]。這種方法簡(jiǎn)便快捷，讓人有暢快淋漓的感覺(jué)，這就是由“道”生“技”的魅力所在。

這兩個(gè)例子說(shuō)明：悟出分母有理化之“道”，任你問(wèn)題千變?nèi)f化，都能以“道”化之;觀察代數(shù)式的不同特點(diǎn)，還可以根據(jù)具體問(wèn)題思考不同的分母有理化策略和技能，由“道”生“技”。

由此可見(jiàn)，“技”不足“道”，“技”由“道”生。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的根本任務(wù)在于悟“道”，即經(jīng)歷知識(shí)產(chǎn)生的過(guò)程，感悟、思考、歸納數(shù)學(xué)的基本原理、通性通法。只有這樣，在面對(duì)具體問(wèn)題時(shí)才能以不變應(yīng)萬(wàn)變，達(dá)到“大道于心”的境界。

（作者單位：江蘇省泰州市教育局教研室）