素養(yǎng)立意下數(shù)學高考難點突破

王祥芬

高考評價體系確立了高考中學科素養(yǎng)的考查目標，標志著高考從能力考查到素養(yǎng)立意的轉變，素養(yǎng)立意更強調知識的組合和遷移。數(shù)與形是高中數(shù)學的兩大基石，解析幾何兼有兩者的雙重特征，它是高中數(shù)學的主干知識，也是歷年高考的難點內容，是提升直觀想象和數(shù)學運算素養(yǎng)的良好載體。解析幾何高考考查的難點在于要求學生具有較強的運算求解能力，分析問題和解決問題的能力;善于結合題目中的幾何特征尋找與設計合理的運算途徑;挖掘試題中數(shù)與形的潛在信息和價值，找準元素關系;理清解題思路，進行有效轉化和化歸，深刻領悟問題本真。如何突破教學中解析幾何難點，筆者通過分析近幾年高考解析幾何試題中難點的成因，提出復習中突破難點的策略，素養(yǎng)導向的教學中通過落實基本知識、基本技能、基本思想方法、基本活動經(jīng)驗達到突破難點的效果。

一、分析成因，認清難點

（一）知識交匯，要素復雜

近幾年高考數(shù)學全國卷和各省自主命題中的解析幾何試題，常與平面幾何、向量、三角函數(shù)、函數(shù)、導數(shù)、不等式等知識進行交匯，有較高的靈活性和較強的綜合性。解析幾何研究的要素多而復雜，研究的圖形有點、直線、圓、橢圓、雙曲線、拋物線;研究的特征量有距離、斜率、半徑、長軸、短軸、實軸、虛軸、焦距、離心率、焦半徑;研究的位置關系有平行、垂直、相交、相切，還有長度，角度，面積等。

（二）考點分散，難點眾多

直線、圓、圓錐曲線是解析幾何的核心內容，考點有：直線與圓的方程及位置關系，圓錐曲線的定義，標準方程和幾何特征，直線與圓錐曲線的位置關系的判定。難點有：弦長問題，中點弦，焦點弦，定點，定值，范圍，最值，探索性問題等。

（三）方法多樣，思想蘊含

解析幾何是以代數(shù)方法研究幾何問題，研究對象是幾何圖形，用代數(shù)方法進行推理、論證和求解，所以坐標法是它的核心也是通性通法。教學中還會用到定義法，消元法，點差法，待定系數(shù)法等方法。蘊含了數(shù)形結合、分類討論、轉化與化歸、函數(shù)與方程等思想，考查學生的直觀想象、數(shù)學運算、數(shù)學建模、邏輯推理和數(shù)學抽象等素養(yǎng)。

二、策略復習，突破難點

（一）理解知識是關鍵：理解概念，理解基本量

從高考解析幾何試題考查的知識點來看，對圓錐曲線的定義和性質進行基本考查，需要學生理解概念，分清基本量，在應用中才能得心應手。強化對基本量a，b，c，e，p的認識和理解，基本量既有其各自的幾何意義，又有其代數(shù)間的聯(lián)系。所以研究與這些基本量相關的運算問題，最能體現(xiàn)數(shù)形結合的作用。以離心率e為例，我們知道無論是橢圓還是雙曲線，求解離心率的問題，只需要建立一個有關a，b，c的等量關系或不等關系，進一步轉化為只含有a，c（或a，b）的關系。而這種等量關系或不等關系的建立，既需要研究圖形中基本量間的幾何關系，又需要運用它們之間的代數(shù)關系。

（二）明晰算理是主線：指導思維，簡化計算

解析幾何的核心是有效的運算，但是根據(jù)運算目標擬定運算程序，實現(xiàn)有效快速的運算對學生來說是困難的。學生在復習中暴露出來的計算問題表面看是知識本身的問題造成的，如所學的定理或公式記不住，不會運用所學的知識解決數(shù)學問題等，但是從數(shù)學學科的特點去分析的話，不難看出問題產生的根源在于學生思維能力不足，算理邏輯不清。因此在解析幾何教學中，教師要注重對學生數(shù)學運算核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，關注學生數(shù)與式的運算，教會學生算理，強化思維，合理計算，鼓勵學生迎難而上。教會學生明晰算理的關鍵，明晰目標需要算什么，整合條件清楚怎么計算，耐心細致敢于算出結果，勤于反思善于優(yōu)化計算。例如2020年全國一卷理科第11題，根據(jù)圓的知識得出四點共圓，先將所求解的問題轉化為四邊形的面積，再進一步簡化為直角三角形的面積，最后回歸到定點到直線的距離。通過思維的層層深入，抽絲剝繭得到問題的本質，既明晰了算理，又簡化了計算。

（三）數(shù)形結合是核心：分析圖形，誘思導悟

解析幾何的精髓在于通過數(shù)形結合動態(tài)地處理問題，挖掘幾何圖形特征，靈活運用圖形知識，形中有數(shù)，數(shù)中藏形，數(shù)形相生，揭示解析幾何本質規(guī)律，培養(yǎng)學生直觀想象和邏輯推理等核心素養(yǎng)。因此解析幾何教學中數(shù)形結合是核心，通過分析題目，誘思導悟，探索數(shù)形幾何式。如方程? ? ? ? ? ? ? ? ?，

形式上很復雜，分析本質發(fā)現(xiàn)形式中藏有很濃的幾何特征，可理解為動點到兩定點的距離之和為一常數(shù)，并且這一常數(shù)大于兩定點間的距離，所以軌跡是一個橢圓。通過理解方程，數(shù)形結合，大大降低了運算量，提高了解題效率。又如2020年全國三卷理科第5題設O為坐標原點，直線x=2與拋物線C：y2=2px（p>0）交于D，E兩點，若OD[⊥]OE，則C的焦點坐標為（? ? ），根據(jù)題中所給的條件OD[⊥]OE，結合拋物線圖形的性質可知∠DOx=∠EOx=? ，從而可以確定出點D的坐標，代入方程求得p的值，利用數(shù)形結合問題迎刃而解。

（四）變換視角是突破：多重路徑，把握本真

高考數(shù)學在解析幾何部分經(jīng)常設置變換視角多重選路徑的試題，主要考查學生的數(shù)學運算核心素養(yǎng)。這種變換與通常的一題多解相比較，更注重數(shù)學學科內知識間的聯(lián)系和綜合，讓學生能從不同的視角認識問題，在分析中選擇運算路徑，增強解題效率的預判意識，避免盲目僵化地實施運算。解析幾何綜合題中經(jīng)常會出現(xiàn)一題多表的形式，同一個數(shù)學問題，采用不同的方式呈現(xiàn)給學生，學生的心理感受是不一樣的。復習過程中，要有意識地設計形異質同的問題，讓學生從多種視角認識一個問題，培養(yǎng)學生轉化與化歸的思維，深刻理解問題的本真。例如：已知一條直線l過橢圓E：? ? ? ?右焦點F，交橢圓E于A，B兩點，P為橢圓的左頂點，PA，PB與直線x=2交于點M，N。（1）則M，N兩點縱坐標之積是否為定值？（2）試判斷? ? ? ?是否為定值？（3）則以線段MN為直徑的圓是否過定點？

以上三個問題本質上是一樣的，是一個問題的三種表述，從三種視角考查同一個問題，引領學生審視問題的潛在本質，思考問題的設問方式和方法，破除題海戰(zhàn)術，達到事半功倍的效果。

三、素養(yǎng)導向，落實難點

（一）構建基礎知識的聯(lián)系與整體

數(shù)學是一個充滿聯(lián)系的整體，數(shù)學教學應強化知識的整體性與聯(lián)系性。通過對解析幾何知識之間邏輯關系的思考，引導學生從整體上把握數(shù)學知識，建立起知識的邏輯關系?；谥R邏輯的復習，既要讓學生對每個知識點或知識塊有準確的理解，又要讓學生明確不同的知識點或知識塊在整個知識系統(tǒng)中的地位以及它們之間的邏輯關系。

（二）強化基本技能的意識與訓練

重視圓錐曲線常見基本題型的專項總結，積累常見幾何條件的恰當翻譯方法，幾何特征所蘊含的信息挖掘全面，積累優(yōu)化的解題方法，注意解析幾何與向量、不等式、函數(shù)知識的交匯問題，及時對錯誤進行整理和反思。例如高考中經(jīng)常出現(xiàn)有關定點和定值問題，教學中針對這些比較集中的類型，可進行專項訓練，找到學生熟悉的解題方式來計算。

（三）提升思想方法的靈活與熟練

把握解析幾何坐標法的核心思想，提高坐標法的靈活與熟練，要提高學生的畫圖、識圖能力，培養(yǎng)文字語言與圖形語言互相轉化的能力。平時教學中教師可盡量少給圖，多讓學生自己根據(jù)題目已知去畫圖、識圖、分析圖。先讓學生理清題目蘊含的幾何特征，將幾何特征逐條拆解，然后再將幾何問題代數(shù)化，將幾何條件逐條翻譯成代數(shù)條件，代數(shù)化的過程中要注意轉化必須是等價的，不重不漏，還要注意方法的靈活選擇。再根據(jù)題目條件建立等量關系求解等。

（四）注重活動經(jīng)驗的積累與激活

教學中應該給學生獨立探索的學習經(jīng)歷，讓學生獲得自主發(fā)現(xiàn)的體驗，促進經(jīng)驗的積累。匯集并分享各種數(shù)學學習經(jīng)驗，交流激活經(jīng)驗的直覺意識，提升對問題本質的分析能力。解析幾何中積累同一個幾何特征的不同的翻譯方式，積累方法的靈活選擇。對幾何特征的不同角度的挖掘，轉化后的代數(shù)問題會不同，解決問題的難易程度也不同，積累常見條件的轉化方法等。

高考數(shù)學復習應該積極轉型，從知識立意到素養(yǎng)立意轉變，課堂教學不僅要傳授知識，更要提升學生素養(yǎng)。解析幾何的教學要優(yōu)化學生的思維品質，想得越透，算得越少，在解析幾何復習的過程中堅持思維有邏輯，理解更深刻。

（責任編輯? 左毓紅）