排除表面干擾　洞察問題本質(zhì)

唐榮喜

函數(shù)本身的抽象性和形式化，使得我們?cè)趯W(xué)習(xí)函數(shù)知識(shí)時(shí)，有時(shí)會(huì)出現(xiàn)只知其表面，不能洞察其本質(zhì)的現(xiàn)象，從而造成知識(shí)間的混淆不清。本文就同學(xué)們?nèi)菀壮鲥e(cuò)的問題進(jìn)行分類剖析，以幫助大家更好地復(fù)習(xí)函數(shù)。

一、概念理解不清

在展現(xiàn)一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的概念時(shí)，教材給出了三種形式化的定義。因此，在解決某些含參數(shù)的函數(shù)問題時(shí)，我們要注意挖掘定義中有關(guān)系數(shù)的隱藏條件，否則就會(huì)因?yàn)榭紤]不周導(dǎo)致解題出錯(cuò)。

例1 若函數(shù)y=（m-3）xm2+2m-14-5是一次函數(shù)，則m=。

【錯(cuò)解】因?yàn)橐阎瘮?shù)是一次函數(shù)，所以m2+2m-14=1，解得m=3或-5。

【剖析】錯(cuò)解只考慮了最高次項(xiàng)的次數(shù)是1，忽視了一次項(xiàng)系數(shù)不為0這一隱藏條件，從而導(dǎo)致出錯(cuò)。

【正解】根據(jù)題意，得m2+2m-14=1，解得m=3或-5。但已知函數(shù)是一次函數(shù)，所以m-3≠0，即m≠3，故m的值只能是-5。

二、函數(shù)性質(zhì)掌握不牢

在解題時(shí)，我們常常會(huì)因?yàn)閷?duì)函數(shù)性質(zhì)的理解產(chǎn)生混淆或者偏差而導(dǎo)致解題錯(cuò)誤。三種函數(shù)的性質(zhì)各有不同，我們?cè)趶?fù)習(xí)的過程中要注意區(qū)別，可以借助圖像的直觀性理解函數(shù)的性質(zhì)。

例2 已知一次函數(shù)y=kx+b中，自變量x的取值范圍是-1

【錯(cuò)解】由題意可知，當(dāng)x=-1時(shí)，y的對(duì)應(yīng)值是-3;當(dāng)x=5時(shí)，y的對(duì)應(yīng)值是9。將x=-1，y=-3和x=5，y=9分別代入y=kx+b中，得[-k+b=-3，5k+b=9，]解得[k=2，b=-1，]從而所求函數(shù)的表達(dá)式是y=2x-1。

【剖析】錯(cuò)解只考慮了函數(shù)圖像上升（k>0）的情況，而忽視了函數(shù)在當(dāng)k<0時(shí)變量之間不同的對(duì)應(yīng)關(guān)系。顯然k≠0。

【正解】當(dāng)k>0時(shí)，y隨著x的增大而增大。所以，當(dāng)x=-1時(shí)，y的對(duì)應(yīng)值是-3;當(dāng)x=5時(shí)，y的對(duì)應(yīng)值是9。將x=-1，y=-3和x=5，y=9分別代入y=kx+b中，得[-k+b=-3，5k+b=9，]解得[k=2，b=-1，]從而所求函數(shù)的表達(dá)式是y=2x-1。

當(dāng)k<0時(shí)，y隨著x的增大而減小。所以，當(dāng)x=-1時(shí)，y的對(duì)應(yīng)值是9;當(dāng)x=5時(shí)，y的對(duì)應(yīng)值是-3。將x=-1，y=9和x=5，y=-3分別代入y=kx+b中，得[-k+b=9，5k+b=-3，]解得[k=-2，b=7，]從而所求函數(shù)的表達(dá)式是y=-2x+7。

所以所求函數(shù)的表達(dá)式是y=2x-1或y=-2x+7。

例3 已知反比例函數(shù)y=[m2+1x]的圖像上的三點(diǎn)A（-3，y1）、B（-2，y2）、C（1，y3），則下列關(guān)系成立的是（）。

A.y1

C.y2

【錯(cuò)解】因?yàn)榉幢壤瘮?shù)的比例系數(shù)k=m2+1>0，故y隨著x的增大而減小，而-3<-2<1，所以y3

【剖析】我們知道，反比例函數(shù)y=[kx]的比例系數(shù)k>0時(shí)，在每個(gè)象限內(nèi)y隨著x的增大而減小，而本題中點(diǎn)A、B、C并不在同一個(gè)象限，故不能完全用增減性解決問題。

【正解】因?yàn)榉幢壤瘮?shù)的比例系數(shù)k=m2+1>0，所以點(diǎn)C在第一象限，點(diǎn)A、B在第三象限，從而確定y3>0，y1<0，y2<0。在第三象限內(nèi)，y隨著x的增大而減小，而-3<-2，故y2

例4 已知二次函數(shù)y=[12]x2-x，當(dāng)0≤x≤3時(shí)，函數(shù)值y的取值范圍是。

【錯(cuò)解】當(dāng)x=0時(shí)，y=0;當(dāng)x=3時(shí)，y=[32]。所以y的取值范圍是0≤x≤[32]。

【剖析】結(jié)合函數(shù)圖像，我們知道，當(dāng)0≤x≤3時(shí)，函數(shù)值y隨著x的增大并沒有持續(xù)地增大，所以錯(cuò)解抓住兩個(gè)特殊值求y的取值范圍是錯(cuò)誤的。

【正解】首先求得函數(shù)的對(duì)稱軸是直線x=1，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（1，[-12]）。所以當(dāng)0

三、忽視問題的實(shí)際意義

在利用函數(shù)解決實(shí)際問題時(shí)，我們要注意問題中各個(gè)數(shù)量的實(shí)際意義，在得到數(shù)學(xué)問題的解后，還要把它放回到實(shí)際問題中進(jìn)行檢驗(yàn)。問題的解如果脫離了實(shí)際意義，也會(huì)導(dǎo)致解題出錯(cuò)。

例5 某汽車出租公司以每輛汽車月租費(fèi)2880元租出時(shí)，100輛汽車可以全部租出。若每輛汽車的月租費(fèi)每增加50元，則將少租出1輛汽車。已知每輛租出的汽車需支付月維護(hù)費(fèi)200元，則該出租公司的最大月收益是多少？

【錯(cuò)解】設(shè)每月租出x輛汽車，月收益為y元，則y=[2880+50（100-x）-200]x=-50（x-76.8）2+294912，所以當(dāng)x=76.8時(shí)，y最大值=294912，即該出租公司的最大月收益是294912元。

【剖析】錯(cuò)解在于求實(shí)際問題中的最值時(shí)忽視了問題的實(shí)際意義，即x表示的是出租公司每月租出汽車的輛數(shù)，必須是自然數(shù)。

【正解】設(shè)每月租出x輛汽車，月收益為y元，則y=[2880+50（100-x）-200]x=-50（x-76.8）2+294912，因?yàn)閤必須是自然數(shù)，且76.8-76>77-76.8，所以當(dāng)x=77時(shí)，y最大值=294910，即該出租公司的最大月收益是294910元。

（作者單位：江蘇省無錫市新吳區(qū)第一實(shí)驗(yàn)學(xué)校）