基于最大周向應變的巖石復合型斷裂準則解析與驗證

侯鐵軍，滿 宇，唐 巍

（1.青海交通職業(yè)技術學院，青海 西寧 810000；2.廣漢市生產(chǎn)力促進中心，四川 廣漢 618300；3.四川鹽業(yè)地質(zhì)鉆井大隊，四川 自貢 643000）

0 引 言

裂紋斷裂準則的研究主要致力于解決裂紋斷裂的強度大小和擴展方向2 個問題［1］。 為預測裂紋的起裂和擴展，國內(nèi)外學者從應力、應變和應變能角度建立了不同的斷裂準則，常用的斷裂推測主要有以下3 種：ERDOGAN 等［2］提出的最大周向應力準則（MTS 準則），SIH 等［3］提出的最小應變能密度因子準則（S 準則）和PALANISWAMY 等［4］提出的最大能量釋放率理論（G 準則）。 但這些準則的分析結(jié)果與試驗數(shù)據(jù)之間還存在一定差別，并沒有準確地描述巖石的斷裂機理，如MTS 準則與材料泊松比無關，不能區(qū)分平面應力和平面應變的差異，尚未被普遍接受。 斷裂力學領域相關學者從不同的機理出發(fā)對斷裂判別準則做了大量研究工作，文獻［5-6］推導出了裂紋尖端塑性區(qū)半徑，建立了R 準則，指出裂紋將會沿著裂紋尖端到彈塑性邊界的最短路徑擴展；任利等［7］基于Mises 屈服準則，充分考慮裂尖應力狀態(tài)對于裂紋擴展區(qū)半徑的影響，建立了新的斷裂準則；董晗等［8］發(fā)現(xiàn)巖石穿透斜裂紋在單軸壓縮條件下，大角度裂紋運用MTS 準則求得的理論起裂角與實際較為吻合，小角度裂紋運用摩爾庫倫準則得到的理論起裂角與實際較為吻合；蔣玉川等［9］從裂紋尖端的最小無量綱塑性區(qū)尺度和廣義合成偏應力強度理論相角度建立了斷裂準則。 上述研究大都從應力機理出發(fā)建立的裂紋斷裂判別準則，而忽略了應變這一材料斷裂的判別條件。 此外，最新研究表明，巖石的斷裂受裂紋尖端奇異項應力強度因子及常數(shù)項T 應力的共同控制［10-12］。 且越來越多的試驗證明，不考慮T 應力的斷裂準則預測結(jié)果存在較大誤差［13-15］。 建立裂紋擴展的臨界條件是斷裂力學研究中的重要任務，然而無論何種斷裂準則都與裂紋尖端應力-應變場的分布特征有關。 筆者主要以裂紋尖端應力場的WILLIAMS 級數(shù)解和胡克定律為基礎，建立了考慮T 應力影響的最大周向拉應變準則，在裂紋尖端應變場分析的基礎上，對裂紋擴展規(guī)律與巖石材料性質(zhì)和T 應力的關系進行了研究。

1 裂紋尖端應力場級數(shù)解

傳統(tǒng)的強度理論假設材料為連續(xù)介質(zhì)，顯然不適用于含裂紋結(jié)構。 WILLIAMS 建立了以裂紋尖端頂端為原點的極坐標下裂紋尖端應力場（圖1）的冪級數(shù)展開式，取應力級數(shù)解的前2 項，可表示為

圖1 裂紋尖端應力場變量Fig 1 Stress field variables at crack tip

將式（1）改為以應力強度因子和T 應力表示的常見形式為

根據(jù)胡克定律可知，在極坐標下裂紋尖端各應變分量可表示為

2 最大周向應變裂紋擴展準則

對于線彈性材料，最大周向應變理論認為：①裂紋起裂發(fā)生在裂紋尖端徑向沿周向應變εθ最大的方向上；②根據(jù)周向應變εθ取得極大值εθmax的條件確定裂紋擴展方向θ0；③斷裂發(fā)生在沿裂紋尖端徑向距離rc處且周向應變εθ超過臨界值εc。 上述條件中，rc和εc是材料的固有屬性。 根據(jù)上述條件，最大周向裂紋擴展應變準則的數(shù)學表達式為

以無限大平板內(nèi)含長度為2d 的裂紋為研究對象，平板縱向分布均勻載荷σ，橫向載荷為kσ，k 為橫向載荷系數(shù)，裂紋傾角為β，如圖2 所示。 在該模型中應力強度因子及T 應力表達式為

圖2 無限大平板內(nèi)含傾斜直裂紋Fig.2 An angled crack in a biaxial compressive infinite plate

為方便下文討論，引入無量綱特征距離α 為

將式（3）、式（5）和式（6）代入式（4）可得裂紋起裂判別依據(jù)：

根據(jù)式（7）和式（8）即可得到泊松比、無量綱特征距離、裂紋傾角及圍壓系數(shù)等因素對脆性材料斷裂行為的影響。

3 最大周向應變裂紋擴展準則解析

3.1 裂紋尖端應變場

以無限大平板內(nèi)含裂紋模型為例，取縱向載荷σ ＝10 MPa，橫向載荷系數(shù)k ＝0，彈性模量E ＝20 GPa，泊松比μ＝0.2，并假設無量綱特征距離α＝0.5，將上述參數(shù)代入式（3）中，可得考慮T 應力的裂紋尖端周向應變分布，計算得到裂紋傾角分別為15°和60°時，裂紋尖端夾角-90°～90°內(nèi)周向應變曲線，將不考慮T 應力的周向應變值列于圖中進行對比，結(jié)果如圖3 和圖4 所示。

圖3 裂紋傾角為15°時尖端周向應變分布Fig.3 Crack tip circumferential strain distribution when crack dipping angle is 15°

圖4 裂紋傾角為60°時尖端周向應變分布Fig.4 Crack tip circumferential strain distribution when crack dipping angle is 60°

由圖3 和圖4 可知，考慮T 應力后，裂紋尖端周向應變分布產(chǎn)生顯著變化，且周向應變?nèi)〉脴O值的裂尖角度，即裂紋初始起裂角同樣發(fā)生改變，若忽略T 應力，會得出錯誤的裂紋尖端應變場分布特征，進而得到帶有很大誤差的裂紋初始起裂角。

3.2 T 應力對裂紋起裂角的影響

將3.1 節(jié)無限大平板內(nèi)含裂紋模型參數(shù)代入式（3）中，可得不同裂紋傾角情況下，沿裂紋尖端旋轉(zhuǎn)1 周的周向應變曲線，計算結(jié)果如圖5 所示。

圖5 不同裂紋傾角下裂紋尖端周向應變分布Fig.5 Circumferential strain distribution at crack tip with different dip angles

提取不同裂紋傾角下的裂紋尖端周向應變最大值對應的角度，即為不同裂紋傾角時材料的初始起裂角，進而可以得到最大周向應變準則預測的裂紋起裂角隨裂紋傾角的變化規(guī)律，如圖6 所示。 由圖6 可知，裂紋起裂角均隨著裂紋傾角的增大而減小，當裂紋傾角為0 時，不考慮T 應力的最大周向應變準則預測的裂紋起裂角為66°，而考慮T 應力的預測結(jié)果為90°；當0°＜β＜45°時，若不考慮T 應力，預測結(jié)果偏小，當45°＜β＜90°時，預測結(jié)果偏大。

圖6 裂紋起裂角與裂紋傾角的關系曲線Fig.6 Relation curves between critical angle and crack orientation angle

3.3 無量綱特征距離對裂紋起裂角的影響

同樣，假設μ＝0.2，可得不同無量綱下的裂紋起裂角隨裂紋傾角的變化規(guī)律，如圖7 所示。 當裂紋傾角為0°時，不同無量綱條件下，考慮T 應力的最大周向應變準則預測的裂紋起裂角均為-90°；當0°＜β＜45°時，裂紋起裂角預測結(jié)果隨α 的增大而增大，且對裂紋傾角的變化更加敏感；當45°＜β＜90°時，裂紋起裂角預測結(jié)果隨α 的增大而減小，但隨裂紋傾角的增大，裂紋起裂角的變化幅度逐漸減小。

圖7 無量綱特征距離對裂紋起裂角的影響Fig.7 Effect of dimensionless feature distance on crack initiation angle

4 最大周向應變裂紋擴展準則驗證

T 應力和α 對裂紋起裂角有重要影響，采用考慮T 應力的最大周向應變準則判斷巖石裂紋的斷裂特征能夠彌補基于應力的裂紋擴展判別準則的不足。 為驗證最大周向應變準則的有效性，將不考慮T 應力的最大周向應變準則的起裂角預測值、不同α 時的預測值及WILLIAMS 和EWING［18］不同裂紋傾角的裂紋起裂角試驗結(jié)果進行對比（圖8）。

圖8 巖石裂紋起裂角隨裂紋傾角的變化曲線Fig.8 Curve of initiation angle and crack orientation angle

聚甲基丙烯酸甲酯材料（PMMA）具有良好的均質(zhì)性和硬脆性，可排除材料性質(zhì)對試驗結(jié)果的影響。WILLIAMS 和EWING 將該材料制成含傾斜裂紋的平板，開展了不同裂紋傾角的拉伸試驗，所用設備為WE300 型萬能試驗機試驗過程采用位移控制，加載速率為0.01 mm／min，保證裂紋的擴展始終處于準靜態(tài)狀態(tài)，得到不同裂紋傾角平板的初始起裂角的試驗數(shù)據(jù)如圖8 所示。 由圖8 可知，考慮T 應力修正之后的最大周向應變準則預測值與試驗數(shù)據(jù)更加吻合，且預測結(jié)果基本分布在無量綱參數(shù)為0.1 ～0.2。 若不考慮T 應力的影響，理論預測值與試驗結(jié)果存在很大誤差，當β＜45°時，預測值偏小，當β＞45°時，預測值偏大，且裂紋傾角越小，誤差越大；當裂紋傾角較大時，Ⅰ型斷裂占主導地位，此時T 應力較小，裂紋擴展主要受奇異項應力強度因子控制，因此，不考慮T 應力的預測值與試驗結(jié)果誤差較小，而當裂紋傾角較小時，Ⅱ型斷裂占主導地位，T 應力偏大，裂紋擴展受T 應力和應力強度因子的共同作用，T 應力的影響不可忽略，因此誤差偏大。

5 結(jié) 論

1）當裂紋傾角為0 時，不考慮T 應力的最大周向應變準則預測裂紋起裂角為66°，而考慮T 應力后預測結(jié)果為90°；當45°＜β＜90°時，裂紋起裂角預測結(jié)果隨α 的增大而減小；當0°＜β＜45°時，裂紋起裂角預測結(jié)果隨α 的增大而增大，且對裂紋傾角的變化更加敏感。

2）不考慮T 應力的最大周向應變準則預測值存在很大誤差，且在II 型斷裂占主導地位時，誤差更大；考慮T 應力后，預測值與試驗數(shù)據(jù)更加吻合；T 應力的加入使裂紋尖端應力場解析式對裂紋尖端應力分布的描述更加精確，因而提高了對裂紋擴展特征預測精度；脆性材料裂紋擴展受到裂紋尖端應力強度因子及常數(shù)項T 應力的共同控制。

3）考慮T 應力的最大周向應變準則描述了I 型和II 型斷裂應力強度因子、斷裂韌性KⅠ和KⅡ、T 應力以及臨界裂紋擴展區(qū)半徑和泊松比對裂紋擴展的影響，彌補了基于應力的裂紋擴展判別準則的不足，研究結(jié)果可為水力壓裂、煤層開采等巖土工程中的裂紋擴展問題提供理論支撐和指導。