利用自發(fā)拉曼散射建立三個(gè)原子節(jié)點(diǎn)的糾纏*

劉艷紅 周瑤瑤 閆智輝 賈曉軍

1) (太原師范學(xué)院物理系, 晉中 030619)

2) (太原師范學(xué)院, 計(jì)算物理與應(yīng)用物理研究所, 晉中 030619)

3) (山西大學(xué)光電研究所, 量子光學(xué)與光量子器件國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 太原 030006)

4) (山西大學(xué), 極端光學(xué)協(xié)同創(chuàng)新中心, 太原 030006)

量子糾纏是一種關(guān)鍵的量子資源.隨著量子信息技術(shù)的發(fā)展, 由量子通道和量子節(jié)點(diǎn)組成的量子網(wǎng)絡(luò)成為研究的熱點(diǎn).量子信息網(wǎng)絡(luò)的建立需要在多個(gè)遠(yuǎn)距離的量子節(jié)點(diǎn)間建立糾纏, 它在分步式量子計(jì)算及量子因特網(wǎng)等方面有很重要的應(yīng)用價(jià)值.本文在光和原子混合糾纏的基礎(chǔ)上, 提出了結(jié)合前饋網(wǎng)絡(luò)建立三個(gè)獨(dú)立的遠(yuǎn)程原子系綜之間的連續(xù)變量確定性糾纏.三個(gè)原子系綜分別放置在三個(gè)遠(yuǎn)程的節(jié)點(diǎn)中, 每個(gè)節(jié)點(diǎn)首先通過自發(fā)拉曼散射過程制備光和原子的混合糾纏; 然后, 利用平衡零拍探測器測量三束Stokes 光場干涉后的量子噪聲, 并將測量的結(jié)果前饋到原子系綜, 在三個(gè)獨(dú)立的遠(yuǎn)距離的原子系綜間建立糾纏; 最后, 利用來自三個(gè)原子系綜的三束反斯托克斯光束的關(guān)聯(lián)方差通過三組份不可分判據(jù)驗(yàn)證三個(gè)原子系綜的糾纏.該方案簡單可行,可以拓展到基于不同物理系統(tǒng)的量子節(jié)點(diǎn), 甚至實(shí)現(xiàn)更多原子節(jié)點(diǎn)的糾纏, 從而實(shí)現(xiàn)大規(guī)模量子信息網(wǎng)絡(luò).

1 引 言

量子糾纏是實(shí)現(xiàn)量子通信和構(gòu)建量子信息網(wǎng)絡(luò)的一種關(guān)鍵的量子資源[1,2].伴隨著量子信息科學(xué)的快速發(fā)展, 由量子節(jié)點(diǎn)和連接量子節(jié)點(diǎn)的量子通道構(gòu)成的量子網(wǎng)絡(luò)開辟了廣闊的科學(xué)領(lǐng)域[3].光是最好的量子信息載體, 可以用來傳輸量子態(tài)和連接量子節(jié)點(diǎn).原子系綜[4?10]、單原子[11,12]、囚禁離子[13?15]、光力系統(tǒng)[16?20]、超導(dǎo)體[21?23]、固態(tài)系統(tǒng)[24?27]和其他物理系統(tǒng)都可以被用作量子節(jié)點(diǎn).量子信息網(wǎng)絡(luò)的發(fā)展需要在量子節(jié)點(diǎn)間產(chǎn)生、存儲及分發(fā)糾纏的能力.近年來, 兩個(gè)量子節(jié)點(diǎn)間的糾纏已經(jīng)實(shí)現(xiàn)[28?38].伴隨著量子信息網(wǎng)絡(luò)的發(fā)展, 利用量子存儲已經(jīng)實(shí)現(xiàn)了三個(gè)和四個(gè)原子系綜的預(yù)告式糾纏[39,40].產(chǎn)生、存儲和釋放三個(gè)原子系綜的確定性糾纏已經(jīng)實(shí)現(xiàn)[41].多個(gè)量子節(jié)點(diǎn)間高糾纏度的遠(yuǎn)距離的確定性量子糾纏的建立是未來量子信息網(wǎng)絡(luò)和量子力學(xué)進(jìn)一步發(fā)展的顯著目標(biāo).

量子態(tài)轉(zhuǎn)移是建立量子節(jié)點(diǎn)間糾纏的一種有效的方法, 其中前提是必須制備多組份的糾纏態(tài)光場[28?33,41].多組份糾纏態(tài)光場的建立多用參量下轉(zhuǎn)換的方法[42,43], 并且已經(jīng)廣泛應(yīng)用于各種量子方案中.基于電磁感應(yīng)透明相互作用可以將糾纏態(tài)的量子信息映射到原子自旋波, 因此原子自旋波的糾纏可以被產(chǎn)生并存儲.在原子的相干時(shí)間內(nèi), 糾纏態(tài)可以從原子自旋波釋放到光場, 進(jìn)而可以驗(yàn)證原子系綜的糾纏, 并且可以用于其下游應(yīng)用.另一方面, 光和原子的混合糾纏結(jié)合光子間的干涉可以運(yùn)用在多個(gè)原子系綜預(yù)告式糾纏的產(chǎn)生[39,40], 與原子系綜糾纏的光場可以在量子信道中傳輸, 以連接和糾纏不同的遙遠(yuǎn)的原子系綜.

本文在光和原子混合糾纏的基礎(chǔ)上, 提出了結(jié)合前饋網(wǎng)絡(luò)來產(chǎn)生三個(gè)空間分離原子系綜的連續(xù)變量確定性糾纏.由于光與原子系綜相互作用集體增強(qiáng), 原子系綜適合作為量子節(jié)點(diǎn).在我們的方案中, 只需要三個(gè)原子系綜, 以及由干涉、測量和射頻線圈組成的前饋網(wǎng)絡(luò)就可以將三個(gè)原子系綜糾纏在一起.該方案的實(shí)現(xiàn)不需要制備糾纏態(tài)光場,使整個(gè)實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)簡單穩(wěn)定.首先, 通過自發(fā)拉曼散射過程, 在寫光的作用下三個(gè)原子系綜產(chǎn)生三束Stokes 光場; 然后, 第一和第二束Stokes 光場在第一個(gè)分束比為R1∶T1光學(xué)分束片(BS1)上干涉, 并且來自于BS1 的其中一束輸出場和第三束Stokes 光場在第二個(gè)分束比為R2∶T2光學(xué)分束片(BS2)上耦合.用平衡零拍探測器分別測量三束Stokes 光場干涉后輸出光場的正交振幅和正交相位的量子噪聲.最后, 通過射頻線圈將測量的正交振幅和相位的結(jié)果前饋給三個(gè)原子系綜.在用戶控制的時(shí)間內(nèi), 將存儲的三個(gè)原子系綜的糾纏態(tài)釋放到三束反斯托克斯光場中, 用于驗(yàn)證三個(gè)原子系綜的糾纏及其在量子網(wǎng)絡(luò)中的應(yīng)用.

2 三個(gè)原子系綜確定性糾纏的產(chǎn)生

三個(gè)遠(yuǎn)距離原子系綜確定性糾纏的產(chǎn)生原理圖如圖1 所示.這個(gè)系統(tǒng)包括三個(gè)獨(dú)立的原子系綜A, B 和C, 兩個(gè)光學(xué)分束片BS1 和BS2, 三套平衡零拍探測器BHD1, BHD2 和BHD3.三個(gè)原子系綜A, B 和C 分別放置在三個(gè)射頻線圈中間,平衡零拍探測器由一個(gè)50/50 的分束片、一對光電二極管和一個(gè)功率減法器組成.三束斯托克斯光束由自發(fā)拉曼散射過程產(chǎn)生分別來自于原子系綜A, B 和C,在分束比為R1∶T1的光學(xué)分束片BS1 上干涉產(chǎn)生兩束光, 其中一束干涉后的輸出光與在分束比為R2∶T2的光學(xué)分束片BS2 上干涉, 分別產(chǎn)生三束光,用平衡零拍探測器BHD1, BHD2 和BHD3 分別測量的正交振幅、相位和振幅分量的噪聲.將BHD1, BHD2 和BHD3 探測到的信號通過射頻線圈分別前饋到原子系綜A, B 和C, 最終建立三個(gè)遠(yuǎn)程原子系綜A, B 和C 之間的糾纏.

圖1 三個(gè)原子系綜確定性糾纏產(chǎn)生原理圖Fig.1.Schematic diagram of deterministic entanglement generation among three atomic ensembles.

2.1 光和原子系綜糾纏的產(chǎn)生

在量子光學(xué)理論中, 光場由產(chǎn)生和湮滅算符和來表示.光場的正交振幅分量和正交相位分量分別對應(yīng)湮滅算符的實(shí)部和虛部,,.原子總的自旋波S? 可以用龐加萊球上的Stokes 矢量描述, 且可以被看作滿足玻色對易關(guān)系同樣, 原子自旋波的振幅和相位分量分別對應(yīng)的實(shí)部和虛部,=當(dāng)原子自旋波通過自發(fā)拉曼散射過程和信號光、抽運(yùn)光耦合時(shí), 光和原子系綜的糾纏建立.制備糾纏的原子系綜的能級結(jié)構(gòu)如圖1 左下角插圖所示, 該原子具有 Λ 型能級結(jié)構(gòu), 存在基態(tài)|g〉、亞穩(wěn)態(tài)|s〉和激發(fā)態(tài)|e〉.起初, 原子通過光學(xué)抽運(yùn)光制備在基態(tài), 在寫脈沖的作用下, Stokes 光場和總的原子自旋波同時(shí)產(chǎn)生.在相互作用表象下, 該系統(tǒng)的有效相互作用哈密頓量可以寫為如下形式:

式中,η是光和原子的相互作用常數(shù),η=其中κeg和κes是光和原子的耦合系數(shù),Na是總的原子數(shù),Δ是寫光和Stokes 光場的失諧.在這里假設(shè)所有的失諧均相等且忽略損耗.

當(dāng)一束強(qiáng)的寫脈沖光作用于原子系綜時(shí), 自發(fā)拉曼散射過程發(fā)生, 并且其哈密頓量類似于參量下轉(zhuǎn)換模型

其中AW是強(qiáng)的寫光脈沖的歸一化振幅,是其共軛.

其中i=1,2,3 分別對應(yīng)在原子系綜A, B 和C 中.根據(jù)算符線性化表達(dá)式, 算符可以表示為平均值和波動(dòng)的和, 即.輸入光場可以看作真空光場, 其量子波動(dòng)根據(jù)段路明等[44]和Simon[45]提出的光場的兩組份不可分判據(jù), 可以將其拓展到光和原子.如果光和原子系綜的正交分量的關(guān)聯(lián)方差和小于4, 那么光和原子間存在糾纏.光和原子的關(guān)聯(lián)方差V等于

其中τ是光和原子的相互作用時(shí)間.很明顯光和原子相互作用的關(guān)聯(lián)度依賴于關(guān)聯(lián)參量r=ηAWτ=r越大, 關(guān)聯(lián)方差越小.當(dāng)r= 0時(shí),V= 4 對應(yīng)相干態(tài)的關(guān)聯(lián)方差, 它被定義為量子噪聲極限(quantum noise limit, QNL); 當(dāng)r> 0時(shí), 光和原子的關(guān)聯(lián)方差V小于QNL, 這意味著光和原子間存在糾纏; 當(dāng)r→∞,V→ 0 此時(shí)獲得的糾纏為完美糾纏.

2.2 通過前饋網(wǎng)絡(luò)建立三個(gè)原子系綜的糾纏

接下來, 考慮如何實(shí)現(xiàn)三個(gè)原子系綜A, B 和C的糾纏.原子系綜A 和B 通過自發(fā)拉曼散射過程產(chǎn)生的Stokes 光場和在分束比為R1∶T1的光學(xué)分束片BS1 上干涉, 干涉后的其中一束輸出光與產(chǎn)生于原子系綜C 的Stokes 光束在分束比為R2∶T2的光學(xué)分束片BS2 上干涉, 輸出的三束光場可以寫為

三個(gè)原子系綜糾纏的實(shí)現(xiàn)通過三組份不可分判據(jù)來驗(yàn)證:

其中Vi(i=1,2,··· ,6) 代表不同正交分量的關(guān)聯(lián)方差,上述不等式中右邊的4 代表三組份糾纏不可分的邊界.當(dāng)E1,E2和E3中任意兩個(gè)關(guān)聯(lián)方差之和小于量子噪聲極限時(shí), 三個(gè)原子系綜是三組份類Greenberger-Horne-Zeilinger (GHZ)糾纏態(tài).g4,g5和g6是可調(diào)節(jié)的經(jīng)典測量增益因子為了獲得原子系綜的最小關(guān)聯(lián)方差之和.系統(tǒng)中不可避免的傳輸損耗會影響原子系綜糾纏的質(zhì)量.除此之外, 糾纏交換的質(zhì)量被原子的相干壽命限制,這段時(shí)間保證了原子系綜的糾纏, 因此原子的相干壽命影響原子系綜的糾纏.在熱原子系綜中相干壽命高于5 ms[46], 甚至可以達(dá)到40 ms[37], 在冷原子系綜中相干壽命可以達(dá)到秒級[47], 這個(gè)時(shí)間足以維持測量和糾纏交換的時(shí)間, 因此足夠建立三個(gè)原子系綜的糾纏.為了證明三個(gè)原子系綜的糾纏, 分別用三束讀光脈沖同時(shí)作用于原子系綜A, B 和C, 通過自發(fā)拉曼散射過程將原子系綜的量子態(tài)轉(zhuǎn)換到反斯托克斯光場的量子態(tài).三束反斯托克斯光場的正交分量的關(guān)聯(lián)方差可以用來驗(yàn)證三個(gè)遠(yuǎn)距離原子系綜間的糾纏.

3 三個(gè)原子系綜糾纏的驗(yàn)證

圖2 和圖3 給出了原子系綜的最終關(guān)聯(lián)方差之和E1,E2,E3的變化曲線.分別計(jì)算E1,E2,E3的最小值, 可以得到最佳測量增益因子的表達(dá)式, 最佳測量增益因子依賴于前饋增益因子g2、壓縮參量r及光學(xué)分束片BS1, BS2 的反射率R1,R2.經(jīng)過理論計(jì)算后原子系綜的關(guān)聯(lián)方差之和E1與前饋增益因子g1,g2有關(guān),E2與前饋增益因子g1,g2,g3有關(guān),E3與前饋增益因子g2,g3有關(guān), 且E1,E2,E3都依賴于壓縮參量r及光學(xué)分束片BS1, BS2 的反射率R1,R2.由于存在前饋網(wǎng)絡(luò)的影響, 原子系綜關(guān)聯(lián)方差之和E1,E2,E3的變化曲線比較復(fù)雜, 隨后分別分析各參量對原子系綜關(guān)聯(lián)方差之和E1,E2和E3的影響.

圖2 描述了原子系綜的關(guān)聯(lián)方差之和E1,E2,E3與光學(xué)分束片BS1, BS2 反射率R1,R2的依賴關(guān)系, 圖2(a)和圖2(b)對應(yīng)E1的變化曲線, 圖2(c)和圖2(d)對應(yīng)E2的變化曲線, 圖2(e)和圖2(f)對應(yīng)E3的變化曲線.圖2 中, 曲線1 代表QNL,曲線2, 3, 4, 5, 6, 7 表示光學(xué)分束片BS1 的反射率R1分別取0.1, 0.2, 0.3, 0.5, 0.7 和0.9 時(shí), 原子系綜關(guān)聯(lián)方差之和隨光學(xué)分束片BS2 的反射率R2的變化曲線.在我們的方案中, 壓縮參量的取值r= 0.8, 前饋增益因子的取值分別為g1=0.8 ,g2=1.0 ,g3=0.8 , 所有的參量值在實(shí)驗(yàn)上均可以達(dá)到, 為實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)的設(shè)計(jì)提供了理論參考.從圖2(a)和圖2(b)可看到: 在R1取值一定時(shí), 原子系綜的關(guān)聯(lián)方差之和E1隨著R2的增大而減小; 在R2一定時(shí),E1隨著R1的增大先減小后增大, 在R1= 0.5時(shí)關(guān)聯(lián)方差之和E1的值最小.從圖2(a)和圖2(b)得到在R1= 0.5,R2在小于1 的范圍內(nèi)取值越大時(shí), 原子系綜關(guān)聯(lián)方差之和E1的值越小.在圖2(d)中, 當(dāng)光學(xué)分束片BS1 的反射率R1= 0.9 時(shí), 不存在R2的取值使得關(guān)聯(lián)方差之和E2小于量子噪聲極限.對比圖2(c)和圖2(d), 從曲線4 看出R1=0.3,R2取值在0.7 附近時(shí),E2可以達(dá)到最小值.從圖2(e)和圖2(f)發(fā)現(xiàn): 在R1= 0.9 時(shí), 不存在使E3小于量子噪聲極限的R2的值, 并且在R2一定時(shí),R1越大E3的值越大; 當(dāng)R1取定值時(shí),R2存在最佳值使得關(guān)聯(lián)方差之和E3的值最小.對比圖2(e)和圖2(f)得到, 在R1取值越小,R2= 0.6 時(shí),E3的值最小.

圖2 原子系綜關(guān)聯(lián)方差之和E1, E2, E3 隨光學(xué)分束片BS2 的反射率R2 的變化曲線 (a), (c), (e) BS1 的反射率R1 =0.1, 0.2,0.3, 0.5 ; (b), (d), (f) BS1 的反射率R1 =0.5,0.7,0.9Fig.2.Dependence of the correlation variance combinations of atomic ensembles E1, E2, E3 on the reflectivity R2 of the second optical beam splitter BS2: (a), (c), (e) Reflectivity R 1 =0.1, 0.2, 0.3, 0.5 of BS1; (b), (d), (f) reflectivity R 1 =0.5,0.7,0.9 of BS1.

當(dāng)關(guān)聯(lián)方差之和E1,E2,E3越小時(shí), 原子系綜間的糾纏度越大.圖2 中, 綜合考慮原子系綜的不同三個(gè)關(guān)聯(lián)方差之和E1,E2,E3, 為了滿足原子系綜的關(guān)聯(lián)方差之和E1,E2,E3同時(shí)小于量子噪聲極限4, 取光學(xué)分束片BS1 和BS2 的反射率R1,R2分別是0.3, 0.6.當(dāng)壓縮參量r= 0.8, 前饋增益因子g1,g2,g3分別取0.8, 1.0, 0.8, 分束片的反射率R1,R2的取值分別為0.3, 0.6 時(shí),E1,E2,E3分別等于2.36, 2.65, 2.36, 此時(shí)三個(gè)關(guān)聯(lián)方差之和均小于量子噪聲極限, 三個(gè)原子系綜處于不可分狀態(tài).

當(dāng)分束片BS1, BS2 的反射率分別取0.3, 0.6,測量增益因子g4,g5,g6取最佳值時(shí), 關(guān)聯(lián)方差之和E1,E2,E3受前饋增益因子g1,g2,g3的影響不同.理論計(jì)算E1,E2,E3的最小值所得g1,g2,g3最佳取值不同, 因此不能同時(shí)取g1,g2,g3的最佳值使得關(guān)聯(lián)方差之和E1,E2,E3最小.圖3 描述了原子系綜的關(guān)聯(lián)方差之和E1,E2,E3與前饋增益因子的g1,g2,g3的依賴關(guān)系.

圖3(a)表示E1與前饋增益因子g1,g2的曲線圖, 圖3(b)表示E3與前饋增益因子g2,g3的曲線圖, 圖3(c)表示E2與前饋增益因子g1,g2的曲線圖.圖3(a)中, 曲線1 表示QNL, 曲線2, 3, 4,5 表示前饋增益因子g1分別取0.7, 0.8, 0.9, 1.0 時(shí),原子系綜關(guān)聯(lián)方差之和E1隨前饋增益因子g2的變化曲線.當(dāng)g1取定值時(shí), 存在最佳前饋增益因子g2使得E1最小.觀察圖3(a), 發(fā)現(xiàn)g1=0.9 ,g2=1.0時(shí), 原子系綜的關(guān)聯(lián)方差之和E1達(dá)到最小值, 且最小值為2.31.圖3(b)中, 曲線1 代表QNL, 曲線2, 3, 4, 5 代表前饋增益因子g3分別取0.7, 0.8,0.9 和1.0 時(shí), 原子系綜關(guān)聯(lián)方差之和E3隨前饋增益因子g2的變化曲線.從圖3(b)得到: 當(dāng)g3=0.7或g3=1.0 時(shí), 曲線2, 5 幾乎重合; 當(dāng)g3=0.8 或g3=0.9 時(shí), 曲線3, 4 重合.當(dāng)g3=0.8 或g3=0.9 ,g2=1.0時(shí), 原子系綜關(guān)聯(lián)方差之和E3可取最小值2.36.圖3(c)表示g3=0.8 和g3=0.9 時(shí)E2與前饋增益因子g1,g2的曲線圖.圖3(c)中, 曲線1 表示QNL, 曲線2, 3, 4, 5 代表前饋增益因子g1分別取0.7, 0.8, 0.9, 1.0 時(shí), 原子系綜關(guān)聯(lián)方差之和E2隨前饋增益因子g2的變化曲線, 實(shí)線和虛線分別表示g3取0.8, 0.9.從圖3(c)發(fā)現(xiàn):g2一定時(shí), 隨著g1的增大, 原子系綜的關(guān)聯(lián)方差和E2也在增大,且g3取0.8 時(shí)E2的值大于g3取0.9 時(shí)E2的值; 當(dāng)g1取定值時(shí),g2存在最佳值使得E2最小.綜合上述分析, 由于不能同時(shí)取g1,g2,g3的最佳值使得E1,E2,E3最小.當(dāng)g1=0.8 ,g2=1.0 ,g3=0.8 時(shí),E1,E2,E3分別等于2.36, 2.65, 2.36.

圖3 原子系綜關(guān)聯(lián)方差之和E1, E2, E3 與前饋增益因子g2 的變化曲線 (a) g 1 =0.7, 0.8, 0.9, 1.0 時(shí), E1 的變化曲線; (b) g 3 =0.7, 0.8, 0.9, 1.0 時(shí), E3 曲線; (c)g1 =0.7,0.8, 0.9, 1.0時(shí), E2 的變化Fig.3.Correlation variance combinations E1, E2 and E3 versus the feedforward gain factor g2 : (a) The correlation variance combination E1 versus g2 wheng1 =0.7,0.8, 0.9, 1.0; (b) the correlation variance combinations E3 versus g2 when g 3 =0.7, 0.8, 0.9, 1.0 ; (c) the correlation variance combinations E2 versus g2 wheng1 =0.7, 0.8,0.9, 1.0.

當(dāng)分束片BS1, BS2 的反射率分別為R1= 0.3,R2= 0.6, 前饋增益因子g1= 0.8,g2= 1.0,g3=0.8, 測量增益因子時(shí),關(guān)聯(lián)方差之和E1,E2,E3同時(shí)小于4, 此時(shí)三個(gè)原子系綜是類GHZ 糾纏態(tài).

4 總 結(jié)

我們提出了一種通過干涉和前饋網(wǎng)絡(luò)來確定糾纏三個(gè)空間分離原子系綜的方案.首先, 利用自發(fā)拉曼散射過程分別在三個(gè)原子系綜中制備光場和原子自旋波之間的糾纏態(tài), 并利用光場連接和糾纏遠(yuǎn)程的量子節(jié)點(diǎn).三束Stokes 光場在不同比例的分束片網(wǎng)絡(luò)上干涉, 用平衡零拍探測探測器測量干涉后光場的量子噪聲.最后根據(jù)測量結(jié)果, 通過經(jīng)典的前饋, 得到了三個(gè)原子系綜的糾纏.通過優(yōu)化前饋網(wǎng)絡(luò)可以得到三個(gè)原子系綜的最佳糾纏.將光和原子的混合糾纏結(jié)合前饋網(wǎng)絡(luò)可以糾纏更多的原子節(jié)點(diǎn).此外, 我們的方案還可以推廣到其他量子節(jié)點(diǎn)候選者, 如囚禁離子、超導(dǎo)體等.如果將糾纏蒸餾與我們的方案相結(jié)合, 量子節(jié)點(diǎn)間的距離可以明顯增加[48].這一簡單可行的方案為簡化大規(guī)模量子互聯(lián)網(wǎng)提供了途徑, 彌補(bǔ)了原理上與現(xiàn)實(shí)世界量子信息科學(xué)應(yīng)用之間的差距.