混沌頻率電場激勵(lì)乳化油液滴動(dòng)力學(xué)仿真與響應(yīng)

龔海峰， 廖治祥， 彭 燁， 邱 值， 余 保， 張賢明， 柳云騏

(1.重慶工商大學(xué) 廢油資源化技術(shù)與裝備教育部工程研究中心，重慶 400067；2.重慶工商大學(xué) 制造裝備機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)與控制重慶市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，重慶 400067；3.中國石油大學(xué)(華東) 重質(zhì)油國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，山東 青島 266580)

近年來，新興發(fā)展的脈沖電場破乳法以其結(jié)構(gòu)簡單、破乳速率快、工作能耗低等優(yōu)點(diǎn)，在油-水分離領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用[1-2]。Eow等[3-4]認(rèn)為運(yùn)用恰當(dāng)?shù)拿}沖電場頻率能夠提高油液破乳脫水效率。Peng等[5]研究表明，脈沖電場能高效破乳的主要原因是，油中液滴在特定的脈沖頻率范圍內(nèi)會(huì)發(fā)生劇烈伸縮變形的諧波共振，從而增大了相鄰液滴碰撞幾率，并減弱了液滴界面膜機(jī)械強(qiáng)度，致使聚結(jié)破乳得到有效強(qiáng)化。

然而，乳化油系統(tǒng)中的液滴粒徑分布跨度大，有微米級小液滴，也有毫米級大液滴，從而導(dǎo)致液滴諧波共振頻率的不統(tǒng)一和不確定。目前常用的恒定頻率或復(fù)合雙頻脈沖電場無法覆蓋乳化油中所有液滴的共振頻率，削弱了破乳效果。Peng等[6]嘗試手動(dòng)調(diào)節(jié)的方式改變脈沖電場頻率，以應(yīng)對液滴粒徑的不確定變化，但是手動(dòng)調(diào)節(jié)電場頻率只能覆蓋油中部分液滴的諧振頻率，且操作性差。景微娜等[7]通過研究指出混沌電場破乳是未來電脫水技術(shù)發(fā)展的方向，并首次將混沌信號(hào)引入原油電脫水的研究，提供了各種脈沖混沌信號(hào)的獲取方法，基于線性振動(dòng)理論建立了液滴變形動(dòng)態(tài)模型，通過仿真獲得了在高壓脈沖電場脈沖低電平混沌、脈沖寬度混沌和脈沖幅值混沌下液滴的工作狀態(tài)，為混沌脈沖電場脫水的研究提供了啟發(fā)和指導(dǎo)。然而，該研究未充分考慮液滴振動(dòng)變形的非線性及其混沌振動(dòng)響應(yīng)特性，存在一定的局限性。通過文獻(xiàn)[8]發(fā)現(xiàn)，由頻率混沌序列脈沖生成的高壓電場，頻率跨度極大，完全能夠覆蓋油中液滴的諧振頻率。于是筆者提出運(yùn)用定幅值、等脈寬、頻率混沌的高壓脈沖電場實(shí)現(xiàn)油中液滴的高效聚結(jié)，將著重從非線性動(dòng)力學(xué)的角度，利用數(shù)值仿真考察油中液滴在混沌頻率電場激勵(lì)下的動(dòng)力學(xué)行為，探究其變形規(guī)律及響應(yīng)特征，為建立高效實(shí)用的脈沖電場破乳新方法奠定基礎(chǔ)。

1 乳化液滴混沌電場振動(dòng)動(dòng)力學(xué)模型

1.1 混沌頻率脈沖電場

Sushchik等[9-10]提出了一種混沌位置調(diào)制的方法，為構(gòu)建等幅值、等脈寬、頻率混沌的高壓脈沖電場提供了思路。通過混沌位置調(diào)制將混沌序列引入電場的脈沖間隔，使其占空比混沌，從而實(shí)現(xiàn)頻率混沌。筆者采用Logistic滿映射[11]構(gòu)造一維混沌序列，再將該序列映射到脈沖電場的低電平時(shí)段，通過DSP控制器編程模擬映射后的混沌信號(hào)，控制脈沖開關(guān)的通斷實(shí)現(xiàn)混沌頻率脈沖電場的發(fā)生。其混沌頻率脈沖電場的發(fā)生電路等效模型及信號(hào)波形圖如圖1所示。

Q—Q-switching; C—Capacitance; R—Resistance; DSP—Digital signal processing圖1 混沌頻率脈沖電場發(fā)生電路及信號(hào)波形圖Fig.1 Electric field generating circuit and signal waveform of chaotic frequency pulse

由圖1可知，所有脈沖寬度為τ，幅值為E，使脈沖間隔tn在[Tl,Tu]內(nèi)混沌,其中Tl為下限,Tu為上限。則通過調(diào)制映射后的脈沖間隔為

(1)

混沌頻率脈沖電場可表示為

(2)

1.2 乳化液滴振動(dòng)動(dòng)力學(xué)模型

油中液滴在混沌頻率脈沖電場激勵(lì)下的變形振動(dòng)會(huì)受到4個(gè)力的作用影響：一是液滴由自身質(zhì)量產(chǎn)生的慣性力Fi；二是黏性油液對液滴變形產(chǎn)生的阻力Fr；三是由油-水界面張力產(chǎn)生的回復(fù)力Fh；四是混沌脈沖電場激勵(lì)液滴振動(dòng)變形的電場激勵(lì)力Fe。則液滴在混沌電場激勵(lì)下的變形振動(dòng)過程中受力平衡方程[12]如式(3)所示。

Fi+Fr+Fh=Fe

(3)

設(shè)油中某液滴在靜止?fàn)顟B(tài)下呈半徑為R的圓球形，在混沌頻率脈沖電場作用下發(fā)生伸縮振動(dòng)，液滴始終呈長球形，其體積與幾何中心保持不變。以液滴右半球?yàn)檠芯繉ο螅谡駝?dòng)的某一瞬時(shí)，其長半軸為a，短半軸為b，將笛卡爾坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點(diǎn)O建立在液滴的幾何中心上，x軸方向與電場方向平行，y軸方向垂直于電場方向向上，z軸方向垂直于電場方向向外，其受力變形如圖2所示。

圖2 油中液滴右半球的受力變形示意圖Fig.2 Stress deformation diagram of righthemisphere of droplet in oil

在該瞬時(shí)條件下，液滴半軸伸長量為δx=a-R，則液滴所受的慣性力Fi[13]如式(4)所示。

(4)

黏性油液對液滴振動(dòng)變形的阻力Fr[14]如式(5)所示。

(5)

油-水界面膜的振動(dòng)變形回復(fù)力Fh[7]如式(6)所示。

(6)

脈沖電場策動(dòng)液滴振動(dòng)變形的電場激勵(lì)力Fe[15]為

(7)

聯(lián)立式(2)～式(7)，可得油中液滴在混沌頻率脈沖電場中的動(dòng)力學(xué)模型表達(dá)式為

(8)

式中：c(t)=

2 仿真輸出與方法

2.1 Simulink數(shù)學(xué)模型

2.2 初始條件

—Transfer function; Fcn—Function; A—Coefficient A; B—Coefficient B; G—Coefficient G; f(u)—Function expression圖3 乳化油液滴混沌電場振動(dòng)Simulink模型Fig.3 Simulink model of chaotic electric field vibration of emulsion droplet

3 數(shù)值實(shí)驗(yàn)與分析

3.1 實(shí)驗(yàn)條件

設(shè)在乳化油中有一半徑R=0.6×10-3m的液滴，其密度ρ20=103kg/m3，并已知油的黏度μ20=47.2×10-3Pa·s，相對介電常數(shù)ε2=5，油-水界面張力γ= 5×10-3N/m，施加的混沌脈沖電場強(qiáng)度E=3×105V/m。

由式(1)、(2)可知，混沌脈沖電場的角頻率范圍主要受脈沖寬度τ和脈沖間隔上下限[Tu,Tl]的控制。脈寬τ的選取尤為關(guān)鍵，若τ取值過大，則會(huì)降低脈沖電場頻率變化上限；若τ取值過小，則會(huì)使乳化液滴難以被充分極化拉伸。所以，在進(jìn)行混沌電場仿真之前，先對脈寬τ的取值進(jìn)行分析。

圖4 不同脈沖角頻率(ω)和占空比(D)下液滴的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)幅值(χmax)Fig.4 Steady state response amplitude (χmax) of dropletunder different frequencies (ω) and duty cycles (D)

設(shè)初始混沌值a1=0.2、Tu=0.03 s、Tl=0.001 s，脈沖電場角頻率ω控制在120～300 r/s之間時(shí)，脈沖電場強(qiáng)度幅值及頻率變化如圖5所示。

由圖5可知，電場脈沖信號(hào)的幅值和脈寬均保持恒定且相等，脈沖間隔隨時(shí)間不斷迭代變化，使得脈沖電場的角頻率在0～1 s內(nèi)混沌迭代了29次，且在120～300 r/s之間呈混沌分布。

圖5 脈沖電場強(qiáng)度(E)與脈沖角頻率(ω)隨時(shí)間變化曲線Fig.5 Curves of pulse electric field (E) and angle frequency (ω) vs time(a) E vs t; (b) ω vs t

3.2 響應(yīng)分析

通過計(jì)算，得到在1 s內(nèi)混沌頻率脈沖電場中液滴的振動(dòng)響應(yīng)數(shù)值解，其液滴振幅與速度及各項(xiàng)受力曲線見圖6。

由圖7可知：在混沌電場作用下，乳化液滴每次伸縮振動(dòng)周期與對應(yīng)電場脈沖頻率的持續(xù)時(shí)間相等，即液滴振動(dòng)響應(yīng)頻率等于脈沖電場的頻率。乳化液滴的振動(dòng)在高頻區(qū)出現(xiàn)幅值高峰，中低頻區(qū)的幅值相對較低，且波動(dòng)不大。在液滴的共振頻率附近，未出現(xiàn)明顯的共振現(xiàn)象。頻率范圍越大，τ值越小，響應(yīng)幅值越低，但響應(yīng)曲線的變化趨勢是一致的。這是由于乳化液滴在電場中的振動(dòng)受油液的阻力相對較大，自由振動(dòng)不明顯，主要受電場力的策動(dòng)發(fā)生伸縮振動(dòng)，其響應(yīng)頻率表現(xiàn)為與電場頻率一致。實(shí)驗(yàn)采用的是等脈寬、定電場幅值的混沌頻率脈沖電場，在高頻區(qū)的低電平持續(xù)時(shí)間較短，液滴在同等時(shí)間內(nèi)受電場力激勵(lì)的次數(shù)較多，故出現(xiàn)較大振幅；而中低頻區(qū)則反之，故振動(dòng)相對穩(wěn)定，但振幅不大。由于電場頻率是混沌的，永不重復(fù)，液滴的振動(dòng)是非穩(wěn)態(tài)的，因此尚未在共振頻率附近發(fā)現(xiàn)明顯的共振現(xiàn)象。振動(dòng)系統(tǒng)中的初始混沌值決定了電場頻率的迭代變化，在未改變該值的情況下，響應(yīng)曲線的變化趨勢也是不變的。

3.3 混沌響應(yīng)

脈沖電場作用下的油中液滴振動(dòng)系統(tǒng)本身并非混沌系統(tǒng)，而是引入了混沌信號(hào)的非線性系統(tǒng)，系統(tǒng)輸出是否混沌，需要對其進(jìn)行混沌識(shí)別[17]。筆者采用定性和定量相結(jié)合的方法對乳化液滴在混沌頻率脈沖電場中的混沌振動(dòng)進(jìn)行有效識(shí)別。

圖6 液滴振動(dòng)響應(yīng)幅值與速度及各項(xiàng)受力變化的時(shí)間曲線Fig.6 Curves of response amplitude, velocity and various forces vs time(a) vs t; (b)′ vs t; (c) Fe vs t; (d) Fh vs t; (e) Fr vs t; (f) Fi vs t

3.3.1 定性識(shí)別

由圖8可知，相軌跡是一個(gè)不封閉的曲線，曲線無窮纏繞、折疊、永不重復(fù)，在有界區(qū)域內(nèi)往復(fù)運(yùn)動(dòng)，符合混沌振動(dòng)的特征。由此可以判斷乳化液滴在混沌電場中的振動(dòng)為混沌振動(dòng)。

3.3.2 定量識(shí)別

混沌運(yùn)動(dòng)的基本特點(diǎn)是運(yùn)動(dòng)對初始條件極為敏感[19]。在混沌運(yùn)動(dòng)中，2個(gè)非?？拷某踔邓a(chǎn)生的軌道，會(huì)隨時(shí)間的推移按指數(shù)方式分離，可以通過Lyapunov指數(shù)進(jìn)行定量描述，若系統(tǒng)最大Lyapunov指數(shù)大于0，則可以判斷混沌的存在[19]。所以，筆者選用最大Lyapunov指數(shù)來定量識(shí)別液滴的混沌振動(dòng)。

首先采用C-C方法[20-21]確定仿真數(shù)據(jù)的最佳嵌入維數(shù)m和最佳時(shí)間延遲σ，再進(jìn)行相空間重構(gòu)，最后通過Wolf方法[22]對液滴振動(dòng)響應(yīng)進(jìn)行最大Lyapunov指數(shù)的計(jì)算。

圖7 2種脈寬下電場角頻率(ω)和液滴振動(dòng)響應(yīng)幅值)隨時(shí)間的變化曲線Fig.7 Curves of electric field angle frequency (ω) and value under two kinds of pulse width vs time(a) τ=0.01 s, ω vs t； (b) τ=0.01 s, vs t； (c) τ=0.005 s, ω vs t；(d) τ=0.005 s, vs t

圖8 液滴振動(dòng)相軌圖Fig.8 Droplet vibration phase trajectory

(9)

最后通過wolf方法對Y(si)的相軌線進(jìn)行演化計(jì)算來估計(jì)液滴振動(dòng)響應(yīng)時(shí)間序列的最大Lyapunov指數(shù)L。

(10)

計(jì)算得到液滴振動(dòng)響應(yīng)時(shí)間序列的最大Lyapunov指數(shù)L=0.0131>0。由此可以判定乳化液滴在混沌電場中的振動(dòng)為混沌振動(dòng)。

4 結(jié) 論

在脈沖電場中乳化液滴的非線性振動(dòng)模型基礎(chǔ)上，通過引入混沌信號(hào)，建立了乳化液滴在混沌頻率脈沖電場中的振動(dòng)動(dòng)力學(xué)模型，通過數(shù)值仿真獲得了液滴的振動(dòng)響應(yīng)結(jié)果，得出了以下結(jié)論：

(1)通過混沌脈沖位置調(diào)制的方法建立的乳化液滴混沌電場非線性振動(dòng)動(dòng)力學(xué)模型，能夠準(zhǔn)確地描述液滴在混沌頻率脈沖電場中的振動(dòng)響應(yīng)情況。構(gòu)建的Simulink模型能有效實(shí)現(xiàn)對乳化液滴振動(dòng)系統(tǒng)的仿真分析。

圖9 液滴振動(dòng)時(shí)間序列的與Scor(f)隨采樣頻率(f)的變化曲線 and Scor(f) of droplet vibration time series vs f

(2)乳化液滴的振動(dòng)受脈沖寬度的影響較大，存在最佳脈寬，振動(dòng)響應(yīng)在高頻區(qū)較為激烈，中低頻區(qū)相對穩(wěn)定，由于頻率的混沌，液滴在共振頻率附近的響應(yīng)時(shí)間較短，未表現(xiàn)出明顯的共振現(xiàn)象。

(3)乳化液滴的振動(dòng)響應(yīng)頻率與混沌電場頻率一致，振動(dòng)相軌線有界，且無窮纏繞、永不重復(fù)，最大Lyapunov指數(shù)大于0，證明了乳化液滴在混沌頻率脈沖電場中的振動(dòng)是混沌振動(dòng)，進(jìn)一步表明了通過引入混沌信號(hào)能夠使液滴振動(dòng)系統(tǒng)產(chǎn)生混沌輸出。

(4)混沌頻率脈沖電場幅值和脈沖寬度為乳化液滴的振動(dòng)提供初始動(dòng)能，在脈沖寬度恒定的條件下，若幅值過小，提供給液滴振動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)能不足，則很難使液滴產(chǎn)生較為理想的振動(dòng)變形量；幅值過高，會(huì)使液滴因動(dòng)能過大而拉伸破裂，有悖于聚結(jié)破乳。因此，確定最佳破乳電場幅值將是下一步研究工作的重點(diǎn)。

符號(hào)說明：

a——振動(dòng)液滴的長半軸軸長，m；

an——Logistic滿映射第n次迭代后生成的混沌值；

an+1——Logistic滿映射第n+1次迭代后生成的混沌值；

A、B、G——液滴振動(dòng)方程各受力項(xiàng)常數(shù)；

b——振動(dòng)液滴的短半軸軸長，m；

c(t)——混沌頻率脈沖電場信號(hào)函數(shù)；

di——si時(shí)刻下兩相軌小于規(guī)定值時(shí)的間距；

d′i——si時(shí)刻下兩相軌大于規(guī)定值時(shí)的間距；

E——脈沖電場強(qiáng)度，V/m；

E(t)——混沌頻率脈沖電場函數(shù)；

f——液滴振動(dòng)時(shí)間序列的采樣頻率；

Fe——液滴振動(dòng)受到的電場激勵(lì)力，N；

Fh——液滴振動(dòng)受到的回復(fù)力，N；

Fi——液滴振動(dòng)慣性力，N；

Fr——液滴振動(dòng)受到的油液阻力，N；

K——油液阻力系數(shù)；

lx——液滴內(nèi)部電勢函數(shù)；

L——最大的Lyapunov指數(shù)；

m——嵌入維數(shù)；

M——演化過程總的迭代次數(shù)，M=N-(m-1)σ；

N——時(shí)間序列長度；

R——液滴初始半徑，m；

si——相軌線演化的第i個(gè)時(shí)刻；

sM——相軌線演化結(jié)束時(shí)刻；

s0——相軌線演化初始時(shí)刻；

t——時(shí)間，s；

tn——第n個(gè)脈沖間隔，s；

Tl——脈沖間隔下限，s；

Tu——脈沖間隔上限，s；

x——笛卡爾坐標(biāo)系x軸；

y——笛卡爾坐標(biāo)系y軸；

Y(si)——重構(gòu)相空間；

z——笛卡爾坐標(biāo)系z軸；

γ——界面張力，N/m；

δx——液滴長半軸伸長量，δx=a-R，m；

ε0——真空介電常數(shù)；

ε2——油液相對介電常數(shù)；

λ——液滴拉伸比，λ=a/b=(1+χ)-3/2；

μ20——油液20 ℃時(shí)的黏度，Pa·s；

ρ20——液滴20 ℃時(shí)的密度，kg/m3；

σ——時(shí)間延遲；

σw——嵌入窗，σw=(m-1)σ；

τ——脈沖寬度，s；

χmax——液滴振動(dòng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)幅值；

ω——周期脈沖電場角頻率，r/s；

ωi——第i次迭代后的電場角頻率，r/s。