利用GeoGebra軟件揭示彩虹和霓的成因

申強(qiáng)強(qiáng)

阜陽(yáng)市紅旗中學(xué)，安徽 阜陽(yáng) 236000

雨后的天空有時(shí)會(huì)出現(xiàn)彩虹或霓，這美麗的天象其實(shí)是一種光的反射和折射現(xiàn)象。在學(xué)習(xí)了光的反射和折射定律后，學(xué)生可以對(duì)霓虹的成因做簡(jiǎn)要分析，但是對(duì)于“為何霓會(huì)出現(xiàn)在彩虹的上方”“彩虹的顏色排布順序是外紅內(nèi)紫，而霓的顏色排布順序則剛好相反”等問(wèn)題難以準(zhǔn)確解答。

GeoGebra是一款優(yōu)秀的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟件，它擁有強(qiáng)大的數(shù)學(xué)運(yùn)算和圖形處理能力。利用GeoGebra可以動(dòng)態(tài)演示彩虹和霓形成過(guò)程的光路，更加方便、直觀(guān)地揭示彩虹和霓的形成原理。

1 彩虹的形成原理

1.1 彩虹形成原理的GeoGebra演示

在雨后或者其他合適的氣象條件下，空氣中懸浮著大量的小水滴，陽(yáng)光照射到水滴上，經(jīng)過(guò)兩次反射和一次折射，形成我們看到的彩虹。下面我們將結(jié)合光的反射和折射定律，利用GeoGebra軟件演示光線(xiàn)在水滴中的傳播過(guò)程。

（1）任取一點(diǎn)O作為圓心，作一個(gè)半徑為1的圓代表小水滴。在圓上任取一動(dòng)點(diǎn)A作為入射點(diǎn)，在指令欄輸入：射線(xiàn)（A，向量(-方向向量(x軸)))，即可得到以A為入射點(diǎn)的一條入射光線(xiàn)。

（3）在指令欄輸入：射線(xiàn)（C，向量（旋轉(zhuǎn)（方向向量（直線(xiàn)（O，C）），-α））），得到出射光線(xiàn)，如圖1所示。

圖1 GeoGebra演示的光線(xiàn)在水滴中的折射和反射光路圖

至此，我們得到了某一條入射光線(xiàn)在水滴中經(jīng)過(guò)兩次折射和一次反射的光路圖。設(shè)置線(xiàn)徑、顏色和線(xiàn)型等參數(shù)可以使效果更美觀(guān)。

眾所周知，不同單色光的折射率不同，拖動(dòng)滑動(dòng)條n，會(huì)發(fā)現(xiàn)不同折射率的單色光偏折的情況略有不同。當(dāng)取n=1.33時(shí)，演示的是紅光的折射和反射光路圖A→B→C。再按照上面的步驟，將n替換為1.34，即可作出紫光的折射和反射光路圖A→D→E，如圖2所示。

圖2 一條紅色和紫色單色光的反射和折射光路圖

我們可以看到由于紅光和紫光折射率不同，二者的出射光線(xiàn)并不重合，且紫光在紅光的上方，這似乎與我們?nèi)粘Ｓ^(guān)察到的彩虹上紅下紫的順序恰好相反。圖2只展示了一條入射光線(xiàn)的情況，實(shí)際上，陽(yáng)光可以視為一束平行入射光線(xiàn)。下面以紅光為例，演示一束平行光照射到水滴表面后的傳播情況。

選中設(shè)置好的四條光線(xiàn)，右鍵選擇跟蹤功能，再選中A點(diǎn)，右鍵選擇啟動(dòng)動(dòng)畫(huà)，A點(diǎn)開(kāi)始移動(dòng)，左下角出現(xiàn)開(kāi)關(guān)鍵，當(dāng)A點(diǎn)移動(dòng)到適當(dāng)位置點(diǎn)擊暫停（圖 3）。

從圖3可以看出，當(dāng)一束平行光入射到水滴表面后，經(jīng)過(guò)折射和反射，在出射光線(xiàn)中，一部分光線(xiàn)折射后的角度較大，如圖中C點(diǎn)；還有一部分光線(xiàn)比較集中地出現(xiàn)在某一條光線(xiàn)的出射點(diǎn)附近，即圖中出射光線(xiàn)較密集處（如圖中D點(diǎn)），此處光強(qiáng)相對(duì)較大，被稱(chēng)為彩虹線(xiàn)。我們看到的彩虹某一顏色的光主要來(lái)源于這密集處的光。不同顏色單色光的彩虹線(xiàn)所在位置不同，從而形成了彩虹外紅內(nèi)紫的顏色排布。

圖3 一束平行光入射到水滴表面的折射和反射光路圖

1.2 彩虹中不同色光的彩虹角

根據(jù)光的折射和反射定律，我們可以計(jì)算出不同單色光彩虹線(xiàn)的位置。由圖4所示的幾何角度關(guān)系圖可以得到偏轉(zhuǎn)角

圖4 光路圖中的幾何角度關(guān)系

下面我們直接用GeoGebra畫(huà)出函數(shù)圖像，從圖像當(dāng)中觀(guān)察偏轉(zhuǎn)角隨著入射角的變化有怎樣的規(guī)律，給學(xué)生更加直觀(guān)、深刻的印象。在指令欄輸入函數(shù)表達(dá)式，設(shè)置相關(guān)參數(shù)，即可得到偏轉(zhuǎn)角與入射角的函數(shù)圖像（圖5）。

圖5 彩虹中紅光偏轉(zhuǎn)角與入射角的函數(shù)關(guān)系圖

由圖5可知，在最小偏轉(zhuǎn)角附近，當(dāng)入射角在較大范圍內(nèi)變化時(shí)，偏轉(zhuǎn)角變化較小，此處光線(xiàn)較密集，光強(qiáng)較大，這就是我們要找的彩虹線(xiàn)的位置。嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明過(guò)程較繁雜，本文不再贅述，有興趣的讀者可自行驗(yàn)證。

利用極值點(diǎn)工具可以找出當(dāng)n=1.33時(shí)，紅光的最小偏轉(zhuǎn)角為137.48°（圖5），這就是紅光彩虹線(xiàn)的位置。當(dāng)取n=1.34，可以得到紫光的最小偏轉(zhuǎn)角為138.93°，也就是紫光彩虹線(xiàn)的位置。我們也可以利用求導(dǎo)數(shù)找極值的方法求出（4）式所代表函數(shù)的極值點(diǎn)，找到對(duì)應(yīng)的最小偏轉(zhuǎn)角，其結(jié)果與我們利用圖像得到的結(jié)果是一致的。

最終，我們可以得到出射光線(xiàn)反向延長(zhǎng)線(xiàn)與入射光線(xiàn)方向的夾角，對(duì)于紅光是180°-137.48°=42.52°。這就是人眼對(duì)于彩虹的仰角，稱(chēng)為紅光的彩虹角（圖6）。我們所看到的彩虹中紅色部分均來(lái)自于這一角度附近。同理，紫光的彩虹角為180°-138.93°=41.07°。 可見(jiàn)，紫光的彩虹角小于紅光的彩虹角，這就是彩虹顏色排布的順序是外紅內(nèi)紫的原因。

圖6 紅光的彩虹角

2 霓形成的原理

2.1 霓形成原理的GeoGebra演示

在彩虹的上方，我們有時(shí)還能看到另一條與彩虹顏色順序相反的“副虹”，即我們常說(shuō)的“霓”。彩虹是光在水滴中經(jīng)過(guò)兩次折射和一次反射的結(jié)果，而霓的形成則是入射光線(xiàn)在水滴內(nèi)多發(fā)生了一次反射，導(dǎo)致它的顏色排布順序與彩虹恰好相反。霓形成原理的GeoGebra演示在彩虹的基礎(chǔ)上增加以下步驟：

（1）在指令欄輸入：交點(diǎn)(c，射線(xiàn)(C，旋轉(zhuǎn)(旋轉(zhuǎn)(旋轉(zhuǎn)(O，β，A)，2β，B)，2β，C))，2)，得到出射點(diǎn)F，連接 CF。

（2）再輸入：射線(xiàn)(F，向量(旋轉(zhuǎn)(方向向量(直線(xiàn)(O，F(xiàn)))，-α)))，得到出射光線(xiàn)。

（3）設(shè)置好相關(guān)光線(xiàn)的顏色和樣式使界面更美觀(guān)。如圖7所示，仍以紅光為例，取n=1.33，拖動(dòng)A點(diǎn)，即可觀(guān)察到不同角度入射光線(xiàn)的偏轉(zhuǎn)情況。

圖7 GeoGebra演示霓形成原理的光路圖

2.2 霓中不同單色光的彩虹角

與彩虹類(lèi)似，我們也可以求出霓中不同單色光的彩虹角。由幾何關(guān)系可得偏轉(zhuǎn)角

我們?nèi)杂肎eoGebra畫(huà)出函數(shù)圖像，與彩虹類(lèi)似，在霓中各單色光偏轉(zhuǎn)角的極大值附近，入射角在較大范圍內(nèi)變化時(shí)，偏轉(zhuǎn)角變化較小，意味著此處光線(xiàn)密集，光強(qiáng)較大，這就是霓中各單色光彩虹線(xiàn)的位置。

利用極值點(diǎn)工具可找出紅光偏轉(zhuǎn)角的最大值為129.9°，如圖8所示。當(dāng)n=1.34時(shí)，可以得到紫光偏轉(zhuǎn)角的最大值為127.29°。由此可以計(jì)算出霓中紅光的彩虹角為 180°-129.9°=50.1°，紫光的彩虹角為 180°-127.29°=52.71°。 所以，在霓中不同單色光的排布順序是外紫內(nèi)紅，與彩虹的顏色排布順序相反，且由于霓中各單色光的彩虹角均比彩虹中同一單色光的彩虹角大，所以它在彩虹的上方出現(xiàn)。

圖8 霓中紅光偏轉(zhuǎn)角與入射角的函數(shù)關(guān)系圖

以前對(duì)于彩虹和霓成因的解釋?zhuān)瑢W(xué)生往往只能畫(huà)出某一條單色光線(xiàn)在水滴表面折射和反射的光路圖，難以做出更深入的分析。而利用GeoGebra軟件可以動(dòng)態(tài)演示彩虹和霓的形成原理，并且可利用GeoGebra繪制圖像，找出彩虹和霓中不同單色光的彩虹角，更直觀(guān)地解釋了彩虹和霓中單色光排布順序等問(wèn)題。GeoGebra軟件功能強(qiáng)大，除了光學(xué)問(wèn)題，它還能幫助我們動(dòng)態(tài)、直觀(guān)地演示其他很多物理問(wèn)題，如帶電粒子在磁場(chǎng)中的偏轉(zhuǎn)問(wèn)題以及演示簡(jiǎn)諧振動(dòng)和機(jī)械波等物理問(wèn)題[1]。