基于MISQP算法的長(zhǎng)缸壓力容器結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)

伍廣召,劉永霞,符純明,陳瑤瑤

(南華大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院,湖南 衡陽(yáng) 421001)

0 引 言

長(zhǎng)缸壓力容器在現(xiàn)實(shí)生產(chǎn)和生活之中有著廣泛的應(yīng)用，比如說(shuō)用來(lái)儲(chǔ)存天然氣，在化工領(lǐng)域用來(lái)儲(chǔ)存一些特殊化工制品。正是因?yàn)槠涮厥庥猛?，?duì)長(zhǎng)缸壓力容器進(jìn)行研究就具有與眾不同的意義。在對(duì)壓力容器優(yōu)化設(shè)計(jì)中，使用代理模型和優(yōu)化算法或者僅用優(yōu)化算法來(lái)優(yōu)化也是比較多的。如由劉豆豆等提出的基于有限元的壓力容器開(kāi)孔接管區(qū)的應(yīng)力分析及優(yōu)化設(shè)計(jì)[1]，在保證安全使用的前提下，對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行了有效優(yōu)化。由伍能和提出的基于智能算法的壓力容器關(guān)鍵部件結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法研究[2]，使下封頭中心接管結(jié)構(gòu)得到有效優(yōu)化。由Q.Zhou等提出的基于多保真模型的魯棒優(yōu)化方法[3]，由J.Yi等提出的基于多級(jí)篩選策略的在線變保真度代理輔助協(xié)調(diào)搜索算法[4]這兩種方法能夠很好的優(yōu)化長(zhǎng)缸壓力容器的結(jié)構(gòu)并可以應(yīng)用于其他結(jié)構(gòu)優(yōu)化。

使用代理模型和優(yōu)化算法或者僅用優(yōu)化算法來(lái)進(jìn)行機(jī)械結(jié)構(gòu)優(yōu)化也是很多的。由湯澍等提出的基于粒子群算法的萬(wàn)向聯(lián)軸器叉頭結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)[5]，有效提升了叉頭承載能力。由孫奇等提出的基于混合優(yōu)化方法的大口徑主鏡結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)[6]，有效提高了主鏡輕量化。由李同慶等提出的基于螢火蟲(chóng)算法的橫梁式貨架結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)[7]，有效實(shí)現(xiàn)了結(jié)構(gòu)輕量化。

本文對(duì)長(zhǎng)缸壓力容器結(jié)構(gòu)尺寸進(jìn)行了優(yōu)化。首先是根據(jù)結(jié)構(gòu)尺寸等進(jìn)行模型構(gòu)建，然后進(jìn)行代理模型構(gòu)建和優(yōu)化并選取合適的優(yōu)化算法，最后進(jìn)行優(yōu)化結(jié)果分析和論證。優(yōu)化結(jié)果表明，在滿足應(yīng)力條件和體積條件的情況下，耗材量降低了29.41%。

1 模型構(gòu)建

1.1 長(zhǎng)缸壓力容器

長(zhǎng)缸壓力容器的類(lèi)型和種類(lèi)各異，不同的類(lèi)型會(huì)有不同的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)和工作狀態(tài)。圖1是本文所使用的長(zhǎng)缸壓力容器的示意圖和橫截面圖，從圖中可以看出長(zhǎng)缸壓力容器的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)和工作狀態(tài)，根據(jù)圖1來(lái)構(gòu)建長(zhǎng)缸壓力容器的幾何模型。

圖1 壓力容器的示意圖和橫截面圖Fig.1 Schematic and cross-sectional view of the pressure vessel

1.2 長(zhǎng)缸壓力容器結(jié)構(gòu)模型

模型的建立可以在ansys workbench自帶的design modeler geometry模塊中實(shí)現(xiàn)，也可以在別的三維建模軟件中完成，考慮到模型的參數(shù)化和兼容性等問(wèn)題，選擇直接在design modeler geometry模塊中建立，這樣參數(shù)化和兼容性問(wèn)題能夠很容易的解決。各個(gè)結(jié)構(gòu)尺寸如表1所示。由于模型尺寸較大，只展示一半模型如圖2，分析模型時(shí)是采用的整個(gè)模型。

表1 結(jié)構(gòu)尺寸和材料參數(shù)Table 1 Structure size and material parameters

模型建好之后，需要知道壓力容器的耗材量和其體積，便于后續(xù)優(yōu)化過(guò)程中使用。根據(jù)文獻(xiàn)[8]可知其耗材量f的公式和壓力容器的體積V的公式。后續(xù)優(yōu)化設(shè)計(jì)過(guò)程中要保證耗材量和體積滿足一定條件，即耗材量盡可能的小而體積大于等于0.63 m3。令m=cr+r1，n=cb+b1耗材量f和體積V公式如下：

圖2 模型建立Fig.2 Model building

1.3 網(wǎng)格劃分

網(wǎng)格劃分在有限元分析的過(guò)程中起著至關(guān)重要的作用，而選取合適的網(wǎng)格大小又是重中之重。當(dāng)網(wǎng)格選擇20.00 mm的時(shí)候，精度不夠，采用15.00 mm的時(shí)候能夠得到很好的結(jié)果。而采用12.00 mm網(wǎng)格時(shí)和15.00 mm網(wǎng)格精度相差不多，但是運(yùn)算量增加許多，結(jié)果如表2所示，故直接采用全局15.00 mm大小的網(wǎng)格。網(wǎng)格劃分結(jié)果如圖3所示，節(jié)點(diǎn)數(shù)是191 952個(gè)，網(wǎng)格數(shù)是34 848個(gè)。網(wǎng)格類(lèi)型采用的是六面體網(wǎng)格,六面體網(wǎng)格的精度一般情況高于四面體網(wǎng)格。

1.4 載荷和約束條件

載荷和約束條件視具體工況而定，根據(jù)長(zhǎng)缸壓力容器的工況，其內(nèi)部均勻分布23.00 MPa的壓力，兩端固定。而且在整個(gè)優(yōu)化過(guò)程中，都要保證壓力容器的體積大于等于0.6 m3。所以載荷和約束施加如圖4所示，其中pressure表示均勻分布23.00 MPa的壓力，fixed support表示兩端固定約束。

表2 不同網(wǎng)格大小計(jì)算結(jié)果比較Table 2 Comparison of calculation results of different grid sizes

圖3 網(wǎng)格劃分結(jié)果Fig.3 Meshing result

圖4 載荷和邊界條件Fig.4 Loads and boundary conditions

2 代理模型構(gòu)建

2.1 實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

代理模型構(gòu)建之前，要進(jìn)行實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)。合適的實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)是構(gòu)建代理模型的關(guān)鍵。實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)方法有多種：拉丁超立方[9]，全因子設(shè)計(jì)[10]，中心復(fù)合設(shè)計(jì)[11]，D-最優(yōu)設(shè)計(jì)[12]，正交設(shè)計(jì)[13]和均勻設(shè)計(jì)[14]等。

本文采用的設(shè)計(jì)方法是中心復(fù)合設(shè)計(jì)即(center composite design，CCD)，具體使用的是面心立方設(shè)計(jì)(face-centered cubic design,CCF)。中心復(fù)合設(shè)計(jì)在響應(yīng)面設(shè)計(jì)當(dāng)中,可以回歸模擬出一階、二階模型或更高階模型。以三因子的CCD為例子，簡(jiǎn)單介紹CCD。如圖5所示，它總共由三個(gè)部分組成：第一個(gè)部分就是帶有參數(shù)α的2k個(gè)軸向點(diǎn)(圖中星點(diǎn)所在位置)；第二個(gè)部分就是析因部分，是一個(gè)立方體的2k個(gè)頂點(diǎn)或者這些頂點(diǎn)的一部分(圖中幾何體頂點(diǎn))；第三個(gè)部分就是一系列中心點(diǎn)(圖中各個(gè)圖形中心點(diǎn))[15]。

圖5 CCD組成部分示意圖Fig.5 Schematic diagram of CCD components

本文使用的CCD包括1個(gè)中心點(diǎn)，2N(N為變量數(shù))軸點(diǎn)和2N-f(f為階乘數(shù))個(gè)階乘點(diǎn)，樣本點(diǎn)數(shù)等于三者相加。當(dāng)輸入變量為5時(shí)，f=1，所需樣本點(diǎn)的數(shù)量為27個(gè)。經(jīng)過(guò)CCD所產(chǎn)生的實(shí)驗(yàn)樣本點(diǎn)如表3所示。

表3 實(shí)驗(yàn)樣本點(diǎn)Table 3 Experimental sample point

2.2 代理模型

代理模型是一種通過(guò)代理方法對(duì)離散數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，進(jìn)而擬合得到的一種數(shù)學(xué)模型。代理模型的種類(lèi)大致有以下幾種，多項(xiàng)式響應(yīng)面[15]，克里金模型[16]，徑向基函數(shù)[17]等。

而對(duì)于最為常用的二階多項(xiàng)式響應(yīng)面近似模型[15]，表達(dá)式基本形式如下：

(3)

2.3 檢驗(yàn)代理模型

響應(yīng)面代理模型形成以后，其準(zhǔn)確性驗(yàn)證是必不可少的。檢驗(yàn)方法有許多，但比較直觀地有兩種，一種是R2檢驗(yàn)，另外一種是相對(duì)均方根誤差(root mean squared error,Rmse)檢驗(yàn)[18]。定義如下：

相對(duì)均方根誤差(Root Mean Squared Error)

(4)

R2判定系數(shù)

(5)

經(jīng)計(jì)算本文的響應(yīng)面代理模型的R2=0.95，Rmse=0.036。說(shuō)明響應(yīng)面的精度達(dá)到要求。

3 MISQP優(yōu)化方法

現(xiàn)如今優(yōu)化算法的種類(lèi)有很多，常用的算法有多目標(biāo)遺傳算法(multi objective genetic algorithm,MOGA)[19],粒子群算法[20]，MISQP等等。每一種優(yōu)化算法都有其特點(diǎn)與優(yōu)勢(shì)，都有其應(yīng)用的特定場(chǎng)合。MISQP是一種高效的梯度優(yōu)化算法，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、梯度等數(shù)學(xué)特征來(lái)確定迭代方向和步長(zhǎng)，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)在設(shè)計(jì)空間內(nèi)滿足連續(xù)、單峰特征時(shí)，該算法能夠沿最快的下降方向求取問(wèn)題的最優(yōu)解。故本文優(yōu)化使用的算法是MISQP。

為了描述MISQP算法最基本思想引入史春生論文混凝土系桿拱橋非線性混合整型變量?jī)?yōu)化研究的相關(guān)公式[21]。首先引入連續(xù)模型實(shí)例，得到以下式子：

minf(x)

gj(x)=0,j=1,…,me

gj(x)≥0,j=me+1,…,m

x∈R

(6)

這里假設(shè)目標(biāo)函數(shù)f(x)和約束函數(shù)gj(x)在x∈R要連續(xù)可微。

用一個(gè)近似值或者二階模型來(lái)進(jìn)行新迭代就是置信域方法的思想。信賴半徑Δk來(lái)限制步長(zhǎng)，k是表示第k次迭代。變化率rk根據(jù)罰函數(shù)確定，信賴半徑變大或者變小取決于rk和1的差距。如果rk和1很接近甚至大于1了，Δk增大；相反rk非常小，Δk減小；rk在中間水平，Δk保持不變。

目標(biāo)函數(shù)的f(x)的拉格朗日方程為

(7)

精確的罰函數(shù)的定義如下

pσ(x)=f(x)+σ‖g(x)-‖

(8)

在這里把所有的約束條件組成一個(gè)向量，g(x)=(g1(x),…,gm(x))T,而且

(9)

其中j=1,…,m，σ>0表示的是懲罰參數(shù)，必須要夠大,對(duì)算法適用。罰函數(shù)用來(lái)加強(qiáng)收斂。為了獲得一個(gè)序列二次規(guī)劃方法，朝著下一下迭代執(zhí)行一次判別可以通過(guò)下面公式來(lái)實(shí)現(xiàn)。

(10)

這個(gè)規(guī)劃的最優(yōu)解用dk來(lái)表示，σk和Δk是最優(yōu)參數(shù)。

置信域方法的第二個(gè)關(guān)鍵部分是為下一次的迭代預(yù)測(cè)一個(gè)新半徑，可以通過(guò)下式實(shí)現(xiàn)：

(11)

另一方面，如果rk小于0，那么Δk也要相應(yīng)減小，懲罰因子也要重新更新。最后用合適方法來(lái)估算出Lagrangian函數(shù)和Hessian矩陣。

4 優(yōu)化過(guò)程及論證

4.1 優(yōu)化方案制定

優(yōu)化方案對(duì)優(yōu)化結(jié)果影響極大，所以要根據(jù)實(shí)際問(wèn)題采用合適的優(yōu)化方案。表4是設(shè)計(jì)變量及其范圍。

基于上述相關(guān)分析，本文采用的優(yōu)化方法是響應(yīng)面優(yōu)化方法。響應(yīng)面優(yōu)化的前提是實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)。它的作用就是用最少的采樣點(diǎn)來(lái)盡可能獲得充足的信息。本文采用的實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)算法是CCD(central composite design)，能夠在整個(gè)設(shè)計(jì)空間里面隨機(jī)進(jìn)行采樣。然后基于實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)所得的結(jié)果來(lái)建立響應(yīng)面。建立好響應(yīng)面后，需要插入一定數(shù)量的驗(yàn)證點(diǎn)，在精度達(dá)到一定的要求后，采用MISQP進(jìn)行基于處理好的響應(yīng)面模型的全局優(yōu)化。

表4 參數(shù)范圍Table 4 Parameter range 單位：mm

4.2 優(yōu)化結(jié)果

通過(guò)使用上述MISQP算法得到優(yōu)化后結(jié)果如表5所示?？梢钥闯?，最后生成了三個(gè)優(yōu)化解，通過(guò)最終的分析比對(duì)，最后選擇了第一個(gè)優(yōu)化解。最終的優(yōu)化結(jié)果與原尺寸對(duì)比如表6所示,由表格可以清晰的看出，優(yōu)化的結(jié)果都是符合要求的，耗材的量減少了0.05 m3。在保證安全和體積的前提下對(duì)減少和控制成本具有很大的意義。

表5 優(yōu)化結(jié)果Table 5 Optimization Results

表6 優(yōu)化結(jié)果與原尺寸對(duì)比Table 6 Comparison of optimization results and original size

4.3 驗(yàn)證結(jié)果

最后為了結(jié)果的可靠性，進(jìn)行了優(yōu)化結(jié)果模型的搭建來(lái)進(jìn)行驗(yàn)證。并進(jìn)行了應(yīng)力分析，驗(yàn)證結(jié)果和優(yōu)化結(jié)果對(duì)比如表7所示，分析結(jié)果圖如圖6。誤差在1%以內(nèi)，結(jié)果是可靠的。

表7 優(yōu)化與驗(yàn)證結(jié)果對(duì)比Table 7 Comparison of optimization and validation results

圖6 應(yīng)力分析圖Fig.6 Stress analysis chart

5 結(jié) 論

本文通過(guò)多項(xiàng)式響應(yīng)面和MISQP算法進(jìn)行了長(zhǎng)缸壓力容器的結(jié)構(gòu)優(yōu)化，最終得到了一組優(yōu)化數(shù)據(jù)，這組數(shù)據(jù)在保證最大應(yīng)力σmax小于等于287.5 MPa和壓力容器的容積大于等于0.63 m3的同時(shí)，使耗材量減少了0.05 m3比原來(lái)降低了29.41%。又通過(guò)搭建相應(yīng)優(yōu)化數(shù)據(jù)的具體模型進(jìn)行分析，驗(yàn)證優(yōu)化結(jié)果。