李級(jí)數(shù)法在兩體問題中的應(yīng)用

肖志峰,林文斌

(南華大學(xué) 數(shù)理學(xué)院,湖南 衡陽(yáng) 421001)

0 引 言

廣義相對(duì)論最重要的應(yīng)用之一是理解時(shí)空曲率對(duì)天體運(yùn)動(dòng)的影響[1]。廣義相對(duì)論描述了牛頓力學(xué)框架下所不能描述的宇宙大范圍的行為，開啟了天體物理全新的研究領(lǐng)域。在愛因斯坦的廣義相對(duì)論中[2]，時(shí)空是一個(gè)四維的偽黎曼流形，物質(zhì)與時(shí)空的相互作用是非線性的，因此一般而言，廣義相對(duì)論的計(jì)算是非常復(fù)雜的，這也使得對(duì)廣義相對(duì)論的理解更加困難。

基于上述原因，愛因斯坦等人在二十世紀(jì)三十年代發(fā)展了一種攝動(dòng)方法，能夠描述廣義相對(duì)論對(duì)太陽(yáng)系中的天體演化所引起的細(xì)微變化，A.Einstein、L.Infeld、B.Hoffmann[3]在1938年得到的結(jié)果就是一階后牛頓(1PN)的結(jié)果，這也標(biāo)志著“相對(duì)論天體力學(xué)”這一新領(lǐng)域的誕生。此后，相對(duì)論天體力學(xué)的研究一直方興未艾，對(duì)后牛頓展開進(jìn)行了大量不同的分析，同時(shí)提出了許多新的更有力的工具來研究相對(duì)論天體力學(xué)[4-5]。盡管相對(duì)論天體力學(xué)取得了長(zhǎng)足的進(jìn)步，但得到后牛頓展開的解析仍然是一項(xiàng)艱巨的任務(wù)。特別是，到目前為止，軌道運(yùn)動(dòng)和旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)之間的相互作用還沒有得到足夠的研究。

本文著重研究了帶自旋雙星的運(yùn)動(dòng)問題的二階后牛頓(2PN)展開，目標(biāo)是基于李級(jí)數(shù)攝動(dòng)理論[6-7]得到一個(gè)運(yùn)動(dòng)粒子的軌道角動(dòng)量的z分量關(guān)于時(shí)間t演化的解析解，這個(gè)方法可以得到系統(tǒng)的長(zhǎng)期演化行為，并且可以拓展到更高階的后牛頓近似展開。

1 哈密頓量

本文的推導(dǎo)從自旋雙星問題的2PN哈密頓量開始。在折合質(zhì)量與折合質(zhì)量坐標(biāo)系中，自旋雙星問題的2PN哈密頓量為[8]

H=HN+εH1+ε2H2

(1)

這里ε=1/c2是選擇的一個(gè)小參數(shù)，其中c表示光速。在攝動(dòng)理論中

(2)

(3)

H1的表達(dá)式為

H1=HPN+HSO+HSS,

(4)

這里

(5)

(6)

是軌道-自旋相互作用項(xiàng)，且

(7)

是自旋耦合作用項(xiàng)。

H2的表達(dá)式為

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

2 作用角變量

為了使用李級(jí)數(shù)攝動(dòng)法來研究哈密頓量式(9)～式(13)，我們需要將哈密頓量表示在作用角變量坐標(biāo)中的攝動(dòng)形式。對(duì)于軌道運(yùn)動(dòng)變量，一般選擇Delaunay元素集來表示。而對(duì)于旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)變量，一般選擇Serret-Aadoyer(SA)變量。這兩組變量都是正則變量。

對(duì)于Delaunay元素集，可以通過以下標(biāo)準(zhǔn)關(guān)系來引入[10]

H=Gcosih=Ω

(15)

這里a是軌道半長(zhǎng)軸，e是軌道偏心率，i的軌道傾角，ω是近心點(diǎn)幅角，M是平近點(diǎn)角，Ω是升交點(diǎn)黃經(jīng)。L是半主軸的歸一化平方根，G是軌道角動(dòng)量的歸一化，H是軌道角動(dòng)量的歸一化的z分量。在方程中，(L,G,H)表示廣義動(dòng)量，(l,g,h)表示廣義坐標(biāo)。

SA變量[11]是描述一個(gè)剛體關(guān)于旋轉(zhuǎn)角和旋轉(zhuǎn)角動(dòng)量的相互關(guān)系。在討論中，物體是一個(gè)理想的球體，所以SA變量的形式可以表示為

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

r=r(L,G,l),

(21)

Gxy=Gxy(G,H),

(22)

(23)

f=f(L,G,l)。

(24)

現(xiàn)在可以使用李級(jí)數(shù)[6-7]來分析哈密頓量。李級(jí)數(shù)擾動(dòng)方法的目的是通過坐標(biāo)的擬正則變換來簡(jiǎn)化問題的哈密頓量，這個(gè)變換取決于生成函數(shù)χ。李級(jí)數(shù)變換如下

(25)

(26)

因此需要解同態(tài)方程

{HN,χ}+H1=K。

(27)

(28)

(29)

在方程中，其本質(zhì)表為平近點(diǎn)角的運(yùn)動(dòng)，因此，通過李級(jí)數(shù)變換且在方程中確定了χ后，哈密頓量變?yōu)槿缦滦问?/p>

(30)

(31)

(32)

通過式(31)、式(32)的變換后，最終形式的哈密頓量為

(33)

這里F0、F1、F2僅僅是動(dòng)量的函數(shù)

(34)

(35)

(36)

(37)

現(xiàn)在可以來分析最終形式的哈密頓量了。首先將哈密頓量代入正則方程得到的運(yùn)動(dòng)方程為

(38)

和

(39)

將方程和方程中關(guān)于H的方程

(40)

結(jié)合起來，可以得到

(41)

這里H′是哈密頓常數(shù)。通過計(jì)算，可以證明，方程(41)中右邊關(guān)于H5和H6的項(xiàng)都抵消了。因此方程(41)的右邊是一個(gè)關(guān)于H的四次多項(xiàng)式[12]，即

f4(H)=ε2F12-(H′-HN-εF0-ε2F2)2=a0H4+a1H3+a2H2+a3H+a4,

(42)

其中a0,a1,a2,a3,a4是代入各項(xiàng)后整理得到的系數(shù)。重寫方程為

(43)

這里H0是H的初始值，t0是初始時(shí)間。除符號(hào)外，方程的左邊是標(biāo)準(zhǔn)的橢圓積分。通過Weierstrass公式[12]，可以寫為

(44)

這里a是一個(gè)任意常數(shù)，于是有

(45)

這里ξ(z)≡ξ(z;g2,g3)定義為關(guān)于不變量g2、g3的Weierstrass橢圓函數(shù)

(46)

其中f4的導(dǎo)數(shù)表示關(guān)于變量H的導(dǎo)數(shù)。H關(guān)于時(shí)間t的演化方程的解為

(47)

3 結(jié) 論

在本文中，文章基于李級(jí)數(shù)攝動(dòng)理論分析了帶自旋雙星問題的演化?；诶罴?jí)數(shù)攝動(dòng)理論，得到了橢圓函數(shù)形式的解析解，從而可以分析系統(tǒng)的長(zhǎng)期擾動(dòng)效應(yīng)，這是用數(shù)值方法所不能做到的。這個(gè)方法也可以推廣到更高階的后牛頓展開，以得到更精確的結(jié)果。