基于二階錐規(guī)劃凸松弛的三相交直流混合主動(dòng)配電網(wǎng)最優(yōu)潮流

巨云濤 黃 炎 張若思

（中國(guó)農(nóng)業(yè)大學(xué)信息與電氣工程學(xué)院 北京 100083）

0 引言

近幾年，隨著分布式電源廣泛接入配電網(wǎng)，傳統(tǒng)的被動(dòng)配電網(wǎng)轉(zhuǎn)變?yōu)檎{(diào)度資源豐富的主動(dòng)配電網(wǎng)[1-2]。

20 世紀(jì)60 年代提出的最優(yōu)潮流（Optimal Power Flow, OPF）是基于數(shù)學(xué)的最優(yōu)化理論[3]。OPF 是一個(gè)非凸非線性問(wèn)題，其求解思路一般是將非凸問(wèn)題進(jìn)行凸松弛轉(zhuǎn)換成凸問(wèn)題以保證可靠求解[4-5]?；谕箖?yōu)化理論的凸規(guī)劃不但保證了計(jì)算結(jié)果為全局最優(yōu)解，還能夠?yàn)榉峭箚?wèn)題提供較好的上下邊界[6-7]。

在電力系統(tǒng)中應(yīng)用最為廣泛的凸優(yōu)化方法是二階錐規(guī)劃（Second Order Cone Programming, SOCP）和半正定規(guī)劃（Semi-Definite Programming, SDP），以及近幾年提出的二次凸松弛技術(shù)（Quadratic Convex Relaxation, QC Relaxation），前兩者的求解方法大多是基于內(nèi)點(diǎn)法[8]。文獻(xiàn)[9-10]中首次提出了SOCP 模型在環(huán)網(wǎng)和輻射網(wǎng)潮流問(wèn)題中的應(yīng)用，并且驗(yàn)證了模型的有效性，模型結(jié)果與牛頓法的求解結(jié)果非常相近。文獻(xiàn)[11]建立了SOCP 的拓展模型，以解決環(huán)網(wǎng)中電壓的相位差無(wú)法應(yīng)用SOCP 約束的問(wèn)題，這一變化是錐理論從潮流問(wèn)題跨入最優(yōu)潮流問(wèn)題的重要一步。文獻(xiàn)[12]提出了考慮電壓穩(wěn)定約束的最優(yōu)潮流模型，將SOCP 松弛應(yīng)用于電壓穩(wěn)定控制中。文獻(xiàn)[13]構(gòu)建了以最優(yōu)能量流為目標(biāo)函數(shù)的電氣-天然氣綜合能源系統(tǒng)詳細(xì)模型，并采用二階錐規(guī)劃將非凸規(guī)劃問(wèn)題轉(zhuǎn)換為凸規(guī)化問(wèn)題求解。文獻(xiàn)[14-16]使用SOCP 松弛，系統(tǒng)性地將原支路最優(yōu)潮流模型轉(zhuǎn)換為SOCP，保證模型所獲得的解為全局最優(yōu)解。文獻(xiàn)[17-18]通過(guò)計(jì)算不同系統(tǒng)發(fā)現(xiàn)SOCP 對(duì)于大規(guī)模的電力系統(tǒng)有較高的求解效率。文獻(xiàn)[19]提出了一種基于SOCP 松弛的配電網(wǎng)動(dòng)態(tài)最優(yōu)潮流模型，并討論了在接入不同配電網(wǎng)元件的情況下凸松弛模型的計(jì)算準(zhǔn)確性。文獻(xiàn)[20]建立了交直流混合系統(tǒng)最優(yōu)潮流的SOCP 模型，提出一種考慮可再生能源不確定性的可調(diào)魯棒優(yōu)化方法。文獻(xiàn)[21]建立了直流系統(tǒng)中的最優(yōu)潮流SOCP 松弛模型，并提出一種采用交替方向乘子法（Alternating Direction Method of Multipliers, ADMM）的分布式計(jì)算方法。文獻(xiàn)[22]建立了配電網(wǎng)的三相無(wú)功優(yōu)化模型，并且將混合整數(shù)法與SOCP 結(jié)合，得到的松弛模型既滿足準(zhǔn)確性要求又具有較高的計(jì)算效率。雖然SDP 松弛的精確程度較高，但計(jì)算較為復(fù)雜，增加了問(wèn)題的求解難度。隨著問(wèn)題規(guī)模的增大，SOCP 在迭代計(jì)算上具有更大的優(yōu)勢(shì)[23]。

綜合考慮國(guó)內(nèi)外現(xiàn)有研究，與主動(dòng)配電網(wǎng)相關(guān)的凸松弛研究較少，且現(xiàn)有研究并沒(méi)有給出分布式電源、有載調(diào)壓器等元件的詳細(xì)凸松弛模型。此外，現(xiàn)有關(guān)于Distflow 模型凸松弛的研究文獻(xiàn)，并沒(méi)有對(duì)元件的物理特性進(jìn)行分析[24-25]。輸電網(wǎng)的凸松弛最優(yōu)潮流模型無(wú)法很好地應(yīng)用于主動(dòng)配電網(wǎng)，因此尋求更加準(zhǔn)確高效的主動(dòng)配電網(wǎng)最優(yōu)潮流計(jì)算方法十分重要[26-27]。

本文首先提出含三相分布式電源、不同接線方式的有載調(diào)壓器、交直流混合系統(tǒng)換流器等模型的主動(dòng)配電網(wǎng)SOCP 松弛模型，相比于Distflow 模型的凸松弛，本文考慮相間耦合，同時(shí)給出了分布式電源、有載調(diào)壓器等元件的物理特性；然后采用SOCP 松弛求解器求解，對(duì)比分析了不同求解器的計(jì)算效率差異。

1 模型介紹

由于一般最優(yōu)潮流模型約束中含有大量的非凸約束，不利于最優(yōu)模型求解，而引入SOCP 凸松弛方法，可將非凸約束轉(zhuǎn)換為凸約束條件，保證所得最優(yōu)解為全局最優(yōu)解。

1.1 普通三相支路

在一般潮流約束方程中，母線電壓、支路功率、支路電流一般滿足分別

式中，i、j分別為第i、j個(gè)三相母線；為母線i、j的三相電壓；Zij為母線i、j之間的三相線路阻抗；I˙ij為母線i流向母線j的電流。

在凸松弛的模型中，需要重新定義待求變量，重新定義的變量為二次型變量，與原模型的變量間存在一定的關(guān)系，但對(duì)于凸松弛模型，僅有重新定義的二次型變量為待求變量。定義二次型變量X為電壓、電流組成的矢量乘以該矢量的厄米爾特轉(zhuǎn)置所得到的厄米爾特矩陣為

式中，H 表示厄米爾特轉(zhuǎn)置，即先對(duì)矩陣取轉(zhuǎn)置，再對(duì)矩陣中的每一個(gè)元素取共軛；表示對(duì)復(fù)數(shù)相量取共軛；變量為厄爾米特矩陣，需滿足，其中Wi和lij為3 × 3矩陣。

對(duì)于重新定義的變量矩陣X，不僅需要滿足半正定約束，同時(shí)需要滿足秩1 約束，即變量矩陣的秩為1。秩1 約束是非凸約束，因此一般是將秩1約束松弛掉，即去掉秩1 約束進(jìn)行求解，并將所求結(jié)果代入秩1 約束進(jìn)行檢驗(yàn)。若解滿足秩1 約束，則說(shuō)明松弛是精確的，若解不滿足秩1 約束，則所求得的解無(wú)法還原出凸松弛前原模型的解，即所求解無(wú)意義。根據(jù)文獻(xiàn)[28-29]，若變量矩陣X為厄米爾特矩陣且X≥0，則其所有的主子矩陣（principal submatrix）滿足行列式大于等于零的條件。因此將進(jìn)行SOCP 松弛后，需滿足矩陣X的所有2 ×2 的主子矩陣行列式大于等于零的條件，即

式（3）是一個(gè)2 ×2 厄爾米特矩陣，使用Sylvester準(zhǔn)則，式（3）可以轉(zhuǎn)換成，進(jìn)而可得到SOCP 的一般約束表達(dá)式

或SOCP 的標(biāo)準(zhǔn)約束形式

文獻(xiàn)[18]證明了上述轉(zhuǎn)換后的松弛條件與SOCP 松弛條件等價(jià)。

本文中的SOCP 約束應(yīng)轉(zhuǎn)換為

式中，(i,j)表示矩陣中的第i行，第j列。

經(jīng)過(guò)凸松弛后，式（1）變?yōu)?/p>

式（5）為式（2）中元素的線性組合。

1.2 分布式電源

分布式電源一般采用序分量模型，具有對(duì)稱的結(jié)構(gòu)參數(shù)，因此線路中的分布式電源需滿足潮流約束。

其中

分布式電源接線圖如圖1 所示。

圖1 分布式電源接線Fig.1 Wiring diagram of distributed generation

這里，由于分布式電源采用三角形接線方式的調(diào)壓器隔離了零序電流，線路中零序電流為零，即

分布式電源如果不增加負(fù)序電流控制，負(fù)序電壓和電流關(guān)系符合阻抗特性，表示為阻抗方程，即

分布式電源的三相功率總和為常量，即

式中，Sg為分布式電源三相功率；表示對(duì)矩陣Sg的所有元素求和；St為已知三相功率總和。

式中，UG、IG、SG為厄爾米特矩陣變量，且。與1.1 節(jié)相似，松弛后的變量需滿足

式中，(i,j)為矩陣中的第i行，第j列。

定義“IG[1,1]表示矩陣IG中的第1 行，第1 列的元素”，則一般潮流約束（7）、（8）、（9）轉(zhuǎn)換為

1.3 直流部分

對(duì)于交直流混合系統(tǒng)，也需要滿足基爾霍夫電流定律，以圖2 中的交直流混合系統(tǒng)為例，在交流區(qū)域1 中，對(duì)于母線2，有如下約束條件：

式中，1S交流區(qū)域1 中母線2 的三相注入功率；1PΔ為母線2 與直流支路節(jié)點(diǎn)1 之間的線路損耗；為計(jì)算直流支路損耗的系數(shù)；Pc1為直流支路中節(jié)點(diǎn)1 的功率。

圖2 交直流混合系統(tǒng)電路拓?fù)鋱DFig.2 Circuit topology of AC-DC hybrid system

在直流區(qū)域中，直流支路滿足如下功率約束：

式中，Pc2為直流支路中節(jié)點(diǎn)2 的功率；Uc2為直流支路中節(jié)點(diǎn)2 的電壓；Ic為直流電流。

在交流區(qū)域2 中，對(duì)于母線3，滿足如下約束：

式中，2S為交流區(qū)域2 中母線3 的三相注入功率，2PΔ 為直流支路節(jié)點(diǎn)2 與母線3 之間的損耗；Pc2為直流支路中節(jié)點(diǎn)2 的功率。

在交流區(qū)域2 中必須將一個(gè)節(jié)點(diǎn)設(shè)定為參考節(jié)點(diǎn)來(lái)保證潮流系統(tǒng)的可解性，因此將母線3 設(shè)為恒定電壓源。

在直流部分，凸松弛的定義與普通三相支路相同，凸松弛后變量定義為

式中，Y為厄爾米特矩陣變量，且Y≥0；Wc1、Wc2為電壓二次型變量，且Wc1=Uc1Uc1，Wc2=Uc2Uc2；Sc1、Sc2為功率二次型變量，且Sc1=Uc1Ic，Sc2=Uc2Ic；lc為電流二次型變量，且lc=IcIc。變量Y應(yīng)滿是

式（15）～式（17）中的約束是變量矩陣（18）中元素的線性組合，對(duì)于部分一次項(xiàng)，需要做相應(yīng)的變換，如，電壓約束，可在等式兩邊同時(shí)乘上Ic，方程變換為該等式約束是變量矩陣（18）中元素的線性組合，且與原電壓約束等價(jià)。

1.4 有載調(diào)壓器

對(duì)于有載調(diào)壓器來(lái)說(shuō)，其連接方式主要有Y 聯(lián)結(jié)和D 聯(lián)結(jié)兩種，這里以Y-Y 聯(lián)結(jié)和Y-D 聯(lián)結(jié)兩種聯(lián)結(jié)形式為代表。其中調(diào)壓器電壓比如果作為可控變量，會(huì)出現(xiàn)變量乘積的形式，即

式中，Um為調(diào)壓器一次電壓；Uj為調(diào)壓器二次電壓；y為調(diào)壓器電壓比。

需要注意的是，如果調(diào)壓器電壓比為未知，則為兩個(gè)變量相乘，由文獻(xiàn)[30]可知，式（20）可凸松弛為

式中，yl、yu和、分別為變量y和Uj的上、下界。

1.4.1 Y-Y 聯(lián)結(jié)

Y-Y 聯(lián)結(jié)如圖3 所示，在本模型中將調(diào)壓器的三相內(nèi)阻抗折算到一次側(cè)，內(nèi)阻抗均滿足普通支路約束方程。

圖3 Y-Y 型聯(lián)結(jié)有載調(diào)壓器Fig.3 Y-Y connection group diagram of transformer

在一般潮流約束中，一、二次電壓、電流關(guān)系為

式中，S1、S2分別為一、二次側(cè)的支路功率。在一般潮流約束中，由電壓、電流約束可推出功率約束，但在凸松弛后的模型中，變量定義有所不同，電壓、電流約束并不能推出功率約束，故需增加有載調(diào)壓器一次側(cè)與二次側(cè)的功率約束方程，才能保證約束條件的完整性。

1.4.2 Y-D 聯(lián)結(jié)

Y-D 聯(lián)結(jié)如圖4 所示。在本模型中，將有載調(diào)壓器的三相內(nèi)阻抗折算到一次側(cè)，內(nèi)阻抗均滿足普通支路約束方程。

圖4 Y-D 聯(lián)結(jié)有載調(diào)壓器Fig.4 Y-D connection group diagram of transformer

對(duì)于Y-D 型有載調(diào)壓器，在一般潮流約束中，一、二次電壓、電流關(guān)系為

其中

類似地，將式（24）進(jìn)行凸松弛后可轉(zhuǎn)換為

1.5 目標(biāo)函數(shù)

本文的目標(biāo)函數(shù)設(shè)為系統(tǒng)有功功率損耗，即網(wǎng)絡(luò)中有功功率損耗之和。

式中，ΔW為網(wǎng)絡(luò)有功功率損耗之和；式（26）中左邊項(xiàng)包括所有交流支路，即所有全相、兩相、單相運(yùn)行的交流支路；為3 × 3對(duì)角線矩陣，該矩陣對(duì)角線元素與列向量元素對(duì)應(yīng)行相等，非對(duì)角線元素值為零；Y ij為母線i和母線j之間的導(dǎo)納矩陣；式（26）右邊項(xiàng)包括所有直流線路，為第k條直流線路電流；為第k條直流線路電阻；Nc為直流線路總數(shù)。

2 算法分析

原始-對(duì)偶內(nèi)點(diǎn)法是求解SOCP 模型的有效方法之一，具有多項(xiàng)式時(shí)間復(fù)雜性，可以快速有效地求解大規(guī)模優(yōu)化問(wèn)題[31]。原始-對(duì)偶內(nèi)點(diǎn)法對(duì)初始點(diǎn)的嚴(yán)格可行性要求較高，而實(shí)際問(wèn)題中直接找到嚴(yán)格可行點(diǎn)并不容易，故改進(jìn)現(xiàn)有的原始-對(duì)偶內(nèi)點(diǎn)法對(duì)SOCP 的求解有著重要意義。光滑算法是近年來(lái)求解SOCP 問(wèn)題的新方法，該方法是基于互補(bǔ)問(wèn)題發(fā)展而來(lái)，不僅在理論上具有好的收斂性，而且實(shí)際計(jì)算效果也很好，也是求解SOCP 問(wèn)題的常用方法之一[32]。

3 算例分析

3.1 IEEE 13 節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)

為了驗(yàn)證SOCP 模型的松弛精度，本文使用基于IEEE 13 節(jié)點(diǎn)的交直流混合系統(tǒng)進(jìn)行測(cè)試。系統(tǒng)結(jié)構(gòu)及參數(shù)詳細(xì)說(shuō)明見(jiàn)文獻(xiàn)[33]。在測(cè)試算例中，將有載調(diào)壓器電壓比、分布式電源的功率等結(jié)果作為已知條件代入一般潮流算法中，所得到的一般潮流結(jié)果與凸松弛的優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行比較。測(cè)試用的求解器是SCS。凸松弛模型的誤差分析主要有兩個(gè)指標(biāo)：第一個(gè)是方均根誤差（Root Mean Squared Error,RMSE），其定義為預(yù)測(cè)值與真實(shí)值偏差的二次方和與觀測(cè)次數(shù)比值的二次方根，在本文中為二階錐規(guī)劃凸松弛所求各母線電壓結(jié)果與一般潮流各母線電壓結(jié)果的差的二次方和與母線個(gè)數(shù)的比值的二次方根；第二個(gè)是最大絕對(duì)誤差（Maximum Absolute Error, MAE），一般用來(lái)衡量絕對(duì)誤差的范圍，即二階錐規(guī)劃凸松弛所求各母線電壓結(jié)果與一般潮流各母線電壓結(jié)果的絕對(duì)誤差的最大值。兩個(gè)指標(biāo)相結(jié)合，合理表征凸松弛模型的計(jì)算精度。具體公式為

式中，N為系統(tǒng)節(jié)點(diǎn)總數(shù)；為第i個(gè)母線所求電壓幅值；為第i個(gè)母線的電壓幅值。

3.1.1 交直流混合系統(tǒng)

本節(jié)采用基于IEEE 13 節(jié)點(diǎn)的交直流混合系統(tǒng)進(jìn)行測(cè)試，分別針對(duì)有載調(diào)壓器電壓比是否已知、模型的目標(biāo)函數(shù)是否為線路有功功率損耗以及平衡節(jié)點(diǎn)是否存在有載調(diào)壓器來(lái)改變模型，并將凸松弛模型的計(jì)算結(jié)果代入一般潮流算法中計(jì)算，對(duì)比一般潮流算法與凸松弛算法的求解結(jié)果。具體的模型調(diào)整方式如下：

（1）有載調(diào)壓器電壓比已知且凸松弛模型的目標(biāo)函數(shù)為0，將凸松弛模型中的分布式電源無(wú)功功率的計(jì)算結(jié)果代入一般潮流算法。

（2）有載調(diào)壓器電壓比未知且凸松弛模型的目標(biāo)函數(shù)為線路有功功率損耗，將凸松弛模型中的有載調(diào)壓器電壓比和分布式電源的無(wú)功功率計(jì)算結(jié)果代入一般潮流算法。

（3）有載調(diào)壓器電壓比已知且凸松弛模型的目標(biāo)函數(shù)為線路有功功率損耗，將凸松弛模型中的分布式電源無(wú)功功率的計(jì)算結(jié)果代入一般潮流算法。

（4）有載調(diào)壓器電壓比未知且凸松弛模型的目標(biāo)函數(shù)為0，將凸松弛模型中的有載調(diào)壓器電壓比和分布式電源的無(wú)功功率計(jì)算結(jié)果代入一般潮流算法。

（5）去掉平衡節(jié)點(diǎn)處的有載調(diào)壓器且凸松弛模型的目標(biāo)函數(shù)為0，將凸松弛模型中的分布式電源無(wú)功功率的計(jì)算結(jié)果代入一般潮流算法。

（6）去掉平衡節(jié)點(diǎn)處的有載調(diào)壓器且凸松弛模型的目標(biāo)函數(shù)為線路有功功率損耗，將凸松弛模型中的分布式電源無(wú)功功率的計(jì)算結(jié)果代入一般潮流算法。

將凸松弛模型的優(yōu)化結(jié)果作為已知量代入原有的一般潮流計(jì)算模型中，計(jì)算結(jié)果與原有一般潮流模型的電壓計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較，將原有一般潮流模型的電壓計(jì)算結(jié)果作為真實(shí)值，對(duì)比結(jié)果見(jiàn)表1。

表1 SOCP 凸松弛優(yōu)化計(jì)算精度對(duì)比分析Tab.1 Comparative analysis of the accuracy of SOCP relaxation optimization

由表1 可知，SOCP 凸松弛模型所得的結(jié)果與原始一般潮流模型中所解得的結(jié)果較為接近，說(shuō)明求解器所計(jì)算的結(jié)果具有一定的準(zhǔn)確性與合理性，同時(shí)也證明本文中所提出的 SOCP 凸松弛模型的有效性。

為了驗(yàn)證凸松弛之后所得最優(yōu)解在原約束下的等式精確性，定義原等式約束的二階錐松弛偏差矢量無(wú)窮范數(shù)為

式中，D為二階錐松弛偏差矢量無(wú)窮范數(shù)；EL、ER分別為表示凸松弛前等式約束的等號(hào)左邊項(xiàng)與等式約束的等號(hào)右邊項(xiàng)。

在上述六種工況的最優(yōu)解處，有

由式（30）可以看出，本文所提出的二階錐規(guī)劃凸松弛模型是精確的，模型具有一定的合理性。

3.1.2 計(jì)及分布式電源反送功率

本節(jié)在3.1.1 節(jié)的基礎(chǔ)上進(jìn)一步分析當(dāng)分布式電源容量大于負(fù)荷時(shí)，分布式電源向電網(wǎng)反送功率對(duì)主動(dòng)配電網(wǎng)潮流計(jì)算結(jié)果的影響。本節(jié)中，增加分布式電源的有功功率上、下邊界約束，下邊界設(shè)定為正常容量（不反送功率時(shí)的容量）的5 倍，上邊界設(shè)定為正常容量的6 倍，使其向電網(wǎng)反送功率，利用3.1.1 節(jié)中六種工況進(jìn)行測(cè)試，結(jié)果見(jiàn)表2。

表2 計(jì)及分布式電源反送功率的SOCP 凸松弛優(yōu)化計(jì)算精度對(duì)比分析Tab.2 Comparative analysis of the accuracy of SOCP relaxation optimization considering the reverse power ofdistributed generator

由表2 可知，與分布式電源不反送功率時(shí)的運(yùn)行結(jié)果相比，當(dāng)分布式電源的容量超過(guò)負(fù)荷時(shí)，分布式電源向電網(wǎng)反送功率對(duì)凸松弛優(yōu)化計(jì)算結(jié)果影響較小，說(shuō)明在分布式電源出現(xiàn)反送功率的情況下，本文所提模型依然有效，進(jìn)一步證明本文所提模型的合理性與有效性。

3.1.3 對(duì)比不同求解器的求解效率

本文基于YALMIP 平臺(tái)上的商用和非商用求解器進(jìn)行簡(jiǎn)單的求解效率對(duì)比。對(duì)比測(cè)試的電力系統(tǒng)分別為基于IEEE 13 節(jié)點(diǎn)的交直流混合系統(tǒng)及IEEE 123 節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)，本文使用的Matlab 版本為R2018b，內(nèi)存為16.0GB，CPU 為3.40GHz。本文主要比較的是各求解器對(duì)相同SOCP 凸松弛模型的運(yùn)算時(shí)間，并簡(jiǎn)短討論求解器的求解精確度。

表3 是使用不同的求解器求解IEEE 13 節(jié)點(diǎn)的交直流混合系統(tǒng)凸松弛模型的求解結(jié)果，其中求解器SCS 的表現(xiàn)最好，求解時(shí)間最短，且求得的電壓幅值與實(shí)際潮流的結(jié)果相近。ECOS 的表現(xiàn)次之，求解的時(shí)間稍長(zhǎng)，求解結(jié)果與SCS 的求解結(jié)果相近，但精度稍差。SeDuMi 和SDPT3 兩者的表現(xiàn)相近，計(jì)算時(shí)長(zhǎng)相近，且計(jì)算結(jié)果也相似，計(jì)算精度與ECOS 相似。因?yàn)闇y(cè)試的算例規(guī)模較小，只有13 個(gè)節(jié)點(diǎn)，因此并不能看出哪個(gè)求解器有特別突出的求解能力。MOSEK 求解器無(wú)法求解。SCS 求解器高效且準(zhǔn)確的求解能力是因?yàn)樗褂肁DMM 分布式方法，提高了運(yùn)算效率，因此在求解大規(guī)模的二階錐規(guī)劃問(wèn)題上SCS 求解器有更明顯的優(yōu)勢(shì)。

表3 不同求解器求解基于IEEE 13 節(jié)點(diǎn)的交直流混合系統(tǒng)時(shí)間對(duì)比Tab.3 Time comparison of different solvers for solving AC-DC hybrid system based on IEEE 13 nodes

表4 是IEEE 123 節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)測(cè)試結(jié)果，比較了9種不同求解的運(yùn)算時(shí)間，其中商用求解器MOSEK的表現(xiàn)最好，其次是SDPA 求解器，但是其求解結(jié)果與實(shí)際潮流結(jié)果存在較大差異。SDPT3 和SCS 算法表現(xiàn)相似，計(jì)算時(shí)間較短，且準(zhǔn)確率較高，其他求解器表現(xiàn)一般，均存在計(jì)算誤差較大或計(jì)算時(shí)間較長(zhǎng)等問(wèn)題。

表4 不同求解器求解IEEE 123 節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)時(shí)間對(duì)比Tab.4 Time comparison of different solvers for IEEE 123 nodes system

由表3 和表4 可知，針對(duì)本文IEEE 13 節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)和IEEE 123 節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)，不同求解器的計(jì)算效率存在差異。在求解相關(guān)問(wèn)題時(shí)，多數(shù)文獻(xiàn)只是固定地選擇MOSEK 求解器，并沒(méi)有具體討論不同求解器的求解效率，根據(jù)本文分析結(jié)果，說(shuō)明對(duì)于不同的問(wèn)題MOSEK 不一定總是表現(xiàn)最好，應(yīng)根據(jù)實(shí)際問(wèn)題合理地選擇求解器。

4 結(jié)論

本文提出了考慮分布式電源、不同接線方式的有載調(diào)壓器、交直流換流器等三相模型的二階錐規(guī)劃凸松弛模型，考慮相間耦合，同時(shí)給出了分布式電源、有載調(diào)壓器等元件的物理特性，并采用多種二階錐規(guī)劃求解器求解，松弛后的優(yōu)化模型能夠保證得到全局最優(yōu)解。在求解電力系統(tǒng)最優(yōu)潮流時(shí)，可作為控制的最終控制結(jié)果，也可以作為非凸優(yōu)化求解器初值以更快得到全局最優(yōu)解，具有一定的實(shí)用性。通過(guò)IEEE 13 節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)和IEEE 123 節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)的計(jì)算驗(yàn)證了本文模型的有效性和可行性。