無(wú)限維模李超代數(shù)H和SHO的階化模

張華雁,徐曉寧

(1.遼寧大學(xué) 數(shù)學(xué)院，沈陽(yáng) 110036；2.聊城頤中外國(guó)語(yǔ)學(xué)校，山東 聊城 252000)

0 引言

李代數(shù)是于19世紀(jì)由挪威數(shù)學(xué)家M.S.Lie創(chuàng)立李群的時(shí)候引進(jìn)的數(shù)學(xué)概念。1974年Wess和Zumino為了建立物理學(xué)中相對(duì)的費(fèi)米子和玻色子的統(tǒng)一理論而提出了超對(duì)稱性，將普通時(shí)空滿足的Poincare李代數(shù)(即非齊次Lorentz代數(shù))擴(kuò)充為超Poincare李代數(shù)。自此李超代數(shù)的研究便有了迅速發(fā)展。根據(jù)基域的不同，將李超代數(shù)分為特征為零的域上的李超代數(shù)和素特征域上的李超代數(shù)，即非模李超代數(shù)和模李超代數(shù)。

文獻(xiàn)[1]研究了δ-李三系的廣義導(dǎo)子。V.G.Kac在1977年完成了特征為零的域上有限維單李超代數(shù)的分類[2]。1998年，V.G.Kac將特征為零的域上無(wú)限維單的線性緊致李超代數(shù)進(jìn)行了分類[3]。目前非模李超代數(shù)的研究已經(jīng)取得了系統(tǒng)的研究結(jié)果[2-8]，但是模李超代數(shù)的研究結(jié)果尚少。1992年D.Leites，Y.Kochetkov和V.M.Petrogradski開(kāi)始探究模李超代數(shù)[9-10]。Petrogradski還引入了(p,2p)-結(jié)構(gòu)，限制型李超代數(shù)由此產(chǎn)生。1996年Farnsteiner又對(duì)限制型李超代數(shù)及Frobenius擴(kuò)張做了進(jìn)一步研究[11-12]。1997年，張永正構(gòu)造出了4類Cartan型模李超代數(shù)W，S，H和K[13]。接著Cartan型模李超代數(shù)HO，SHO，KO和SKO也被構(gòu)造出來(lái)[14-17]。同時(shí)，這八類單模李超代數(shù)的表示的課題應(yīng)運(yùn)而生[18-22,24-25]，本研究主要探究無(wú)限維Cartan型模李超代數(shù)H，SHO的階化模。

1 基本概念

在本研究中總設(shè)基域F的特征p>2，為非負(fù)整數(shù)集，m表示中任意m個(gè)整數(shù)組成的集合，Z2表示整數(shù)模2的剩余類環(huán)。設(shè)U(m)是具有生成元集{xα|α∈m}的F上的除冪代數(shù)。用Λ(n)表示具有n個(gè)不定元xm+1,…，xs的外代數(shù)，其中s=m+n。令Λ(m,n)=U(m)?Λ(n)。顯然，U(m)的平凡Z2-階化與Λ(n)的自然Z2-階化誘導(dǎo)了Λ(m,n)的一個(gè)Z2-階化，使得Λ(m,n)成為一個(gè)超代數(shù)。設(shè)f∈U(m)，g∈Λ(n)，簡(jiǎn)記Λ(m,n)中的元素f?g為fg。于是在Λ(m,n)上的乘法運(yùn)算可定義為

Di(x(α)xu)={x(α-ei)xu(i∈Y0),

x(α)·(?xu/?xi) (i∈Y1),

[aDi,dDj]=aDi(b)Dj-(-1)d(dDi)d(bDj)bDj(a)Di，

其中：a,b∈Λ(m,n)；i,j∈Y；Di,Dj∈DerΛ(m,n)。

設(shè)d=(d1,…,dm)∈m，記中元素xm+1,…,xm+n用X表示，Xi1,…，ir表示X刪去因子xi1,…,xir所得到的元素。令θ=〈i1,…，ir〉，xθ=xi1…xir。首先定義Λ(m,n)上的一個(gè)Z-階化為其中Λ(m,n)i=spanF{xαxu‖α|+|u|=i,α∈m,u∈B(n)}，同時(shí)這個(gè)Z-階化可以誘導(dǎo)出W(m,n)的一個(gè)Z-階化：其中

2 混合積及H的階化模

由于d(Eij)=τ(k)+τ(j)，所以

[Ekj,Eil]=Ekl-(-1)τ(k)+τ(j))(τ(i)+τ(l))Eij。

引理2.1[23]159若A∈W(m,n)θ，B∈W(m,n)μ，θ,μ∈Z2，設(shè)C=[A,B]，則有

下面介紹李超代數(shù)中的伸張。

[a?x,b?y]=(-1)d(x)d(b)ab?[x,y],a,b∈Λ(m,n),x,y∈pl(m,n),

(A?1)(a?x)=A(a)?x,a∈Λ(m,n),x∈pl(m,n),

因此[A,B]∈Ω，則Ω是W(m,n)的子代數(shù)。仿照文獻(xiàn)[23]我們稱Ω為在W(m,n)中的P-伸張。當(dāng)P為單位陣時(shí)我們稱Ω為L(zhǎng)在W(m,n)中的伸張。

顯然W(m,n)就是pl(m,n)在W(m,n)中的伸張。

設(shè)ρ是pl(m,n)的子代數(shù)L(P)在Z2-階化空間V上的表示，則將ρ擴(kuò)充成李超代數(shù)Λ(m,n)?L(P)在Λ(m,n)?V空間上的表示ρ1。

ρ1(a?x)(b?v)=(-1)d(x)d(b)ab?ρ(x)(v) (a,b∈Λ(m,n),x∈L,v∈V)。

定義李超代數(shù)H(m,n)，要求m為偶數(shù)，設(shè)m=2k，令

定義線性映射DH∶Λ(m,n)→W(m,n)使得對(duì)?f∈hg(Λ(m,n))有

其中：

fi=σ(i′)(-1)τ(i′)d(f)Di′(f),?f∈Y。

(1)

顯然，d(fi)=d(f)+τ(i′),?i∈Y，由式(1)可得

Di(fj′)=σ(i)σ(j)(-1)τ(i)τ(j)+(τ(i)+(τ(j))θDi(fi′)=0,

其中i,j∈Y。令H(m,n)=spanF{DH(f)|f∈hgΛ(m,n)}?？勺C得H(m,n)是W(m,n)的無(wú)限維子代數(shù)。

則I是pl(m,n)的一個(gè)子代數(shù)。

置

Y1={Eij′-σ(i)σ(j)Eit′|1≤i≤j≤m}，Y2={Eij+Eji|m+1≤i≤j≤s}，

Y3={Eij-σ(i)Eji′|1≤i≤m,m+1≤j≤s}，

引理2.4[23]164對(duì)于i,j∈Y,定義ψ(DH(xixj))=σ(j)(-1)τ(j)Tij′是一個(gè)線性算子。則ψ是H(m,n)0到L的李超代數(shù)同構(gòu)。

引理2.5[23]165H(m,n)是L在W(m,n)上的P-伸張。

由引理2.5可得下述推論：

它的素根系為

L={Λ1-Λ2},…，(Λq-1-Λq),(Λq-1+Λq),(Λn+1-Λn+2),…，(Λn+r-1-Λn+r),(Λn+r-Λ1},

其中:Λi(i=1,2,…，q,n+1,…，n+r)是〈Ell,…，Ess〉的線性函數(shù)，使得Λi(Ejj)=δij。其基本權(quán)為

(2)

令E1=E1t-Et′1′，E2=E1t′-Et1′，E3=E1t′-Et′1，E4=E1t-Et′1′，通過(guò)計(jì)算可得以下等式

(3)

z=(-1)n2X?ρ(P(E1t-Et1)P-1)ρ(P(E1′t′-Et′1′)P-1)vλ-
(-1)n2X?ρ(P(E11′-E1′1)P-1)ρ(P(Et′t′-Et′t′)P-1)vλ+
(-1)n2X?ρ(P(E1t′-Et′1)P-1)ρ(P(Et1′-E1′t)P-1)vλ。

(4)

(-1)n2X?(μ2b1btvλ)=(-1)n2bt(1+b1)X?vλ。

(5)

首先證明

(6)

所以有

由以上定理2.8和定理2.9可得以下定理。

3 SHO的階化模

HO(n,n)={TH(F)|f∈Λ(n,n)}，

這里α∈Z2，可得HO(m,n)是一個(gè)單李超代數(shù)。令HO(m,n)i=spanF{xαxu‖α|+|u|=i+2,α∈n,u∈β(n)}，則是一個(gè)Z-階化的李超代數(shù)。

對(duì)i∈Y，定義線性算子div(f(Di))=(-1)τ(i)d(f)Di(f)，這里fDi∈W(m,n)，則div是W(n,n)的超導(dǎo)子。置

S′(n,n)={fDi∈W(n,n)|div(fDi)=0}。

則S′(n,n)是W(n,n)是的一個(gè)Z-階化超導(dǎo)算子，并且其導(dǎo)代數(shù)是一個(gè)單李超代數(shù)。定義

SHO′(n,n)=HO(n,n)∩S′(n,n),

SHO(n,n)=[SHO′(n,n),SHO′(n,n)]。

SHO(n,n)i=HO(n,n)i∩SHO(n,n)。

令

SJ1={Eij-Ej′i′,Eii-Ei′i′-Ell+El′l′|i,j,l∈Y0,i≠j}，

SJ2={Eij+Ej′i′|i∈Y0,j∈Y1},SJ3={Eij-Ej′i′|i∈Y1,j∈Y0},

則SJ1∪SJ2∪SJ3是SL的基。

引理2.13 對(duì)任意的i,j∈Y，定義線性映射ψ(xiDj)=Eij。則ψ是SHO0到SL的同構(gòu)映射。

推論2.14HO∩S′是SL在W上的P-伸張。

而Eij-(-1)τ(i)τ(j′)+τ(j′)Eji′∈SL,故有

因?yàn)镋ij′?SL，因此有

對(duì)i=j(其中i，j∈Y0),有Eij′∈SL。則-Di(fi′)+(-1)τ(i)Di(fi′)=-Di(fi′)+Di(fi′)=0。綜上可得，Ω=SHO′。

易知SL的標(biāo)準(zhǔn)Cartan子代數(shù)為

SH=spanF{Eii-Ei′i′-Enn+En′n′|i∈Y0}，

SL的素根系為

SL={(Λi-Λi+1),(Λi+Λi+1)-(Λk+Λk+1),-(Λk-Λk+1)}，

其中：1≤i≤n-1，n+1≤k≤2n-1，Λi(Ejj)=δij。其基本權(quán)為

令A(yù)=TH(x2εiXi′)，則