基于映射適應(yīng)卷積理論的半球面紋理映射

龐瑞,朱琳，張旺

（四川大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院，成都610065）

0 引言

隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的高速發(fā)展和應(yīng)用，計(jì)算機(jī)真實(shí)感圖形在計(jì)算機(jī)藝術(shù)、計(jì)算機(jī)制片、計(jì)算機(jī)娛樂和廣告等領(lǐng)域有著越來(lái)越廣泛的應(yīng)用，真實(shí)感圖形的質(zhì)量也顯得尤為重要，真實(shí)感圖形學(xué)也成為了計(jì)算機(jī)圖像學(xué)中一個(gè)十分重要的研究課題，而影響三維物體的真實(shí)感的因素有很多，其主要因素來(lái)源于對(duì)物體表面的模擬，而物體表面的模擬最重要便是表面的細(xì)節(jié)信息的提取與模擬，即紋理[3]，所以，紋理映射技術(shù)的研究對(duì)于獲得真實(shí)感圖形是至關(guān)重要的，它可以模擬物體表面不規(guī)則且較精致的細(xì)節(jié)信息，從而顯著地增加場(chǎng)景的細(xì)節(jié)和真實(shí)感。如果要活得較為滿意的紋理信息，需要將物體表面進(jìn)行數(shù)學(xué)化，但是復(fù)雜物體表面數(shù)學(xué)化十分困難，因此，為了實(shí)現(xiàn)紋理映射，我們通常使用兩步紋理映射[1]。

兩步紋理映射技術(shù)是由Bier 和Sloan 提出的方法[1]，該方法主要是分為兩步，首先，將紋理空間映射到選取的中介面，即S 型映射，再實(shí)現(xiàn)從中介面到三維物體空間的映射，即O 型映射。對(duì)于中介面的選擇，可以根據(jù)不同的物體選擇不同的曲面，較為常見的曲面有平面、球面、圓柱面、立方體表面等，其中球面是使用最為廣泛的中介面，球面映射又分為整球面映射和半球面映射，但由于在紋理坐標(biāo)系中相鄰的點(diǎn)映射到整球面后不可避免出現(xiàn)重疊的現(xiàn)象，較容易產(chǎn)生紋理變形，導(dǎo)致紋理走樣的嚴(yán)重后果，為了解決該問題，可以對(duì)同一個(gè)球面的兩個(gè)半球面分別進(jìn)行映射，但仍然會(huì)出現(xiàn)球面的赤道不連續(xù)的情況。由于在兩步紋理映射中，中介面的形狀越接近物體表面形狀，映射過程中產(chǎn)生的紋理變形越小，因此，可以選擇半球面紋理映射算法解決此問題[4]。

當(dāng)一副紋理圖像映射到中介曲面的過程中，往往需要對(duì)紋理圖像的某些局部位置進(jìn)行壓縮或者拉伸從而適應(yīng)中介曲面的形態(tài)，在圖像壓縮或者拉伸過程中，由于采樣頻率達(dá)不到原始頻率的兩倍，會(huì)增加紋理圖的高頻成分，在圖像空間不可避免出現(xiàn)圖像混疊的問題[5,7]，基于此問題，本文使用映射適應(yīng)卷積理論[2]，探討該理論在半球面紋理映射技術(shù)中的抗混疊效果。

1 半球面映射模型

球面映射是紋理平面坐標(biāo)與球面坐標(biāo)之間的映射關(guān)系，而半球面映射是圓形的紋理圖映射到半球面上，其原理是采用經(jīng)緯坐標(biāo)表示[6]：

其中，R 是球體半徑，α 是經(jīng)度坐標(biāo)，β 是緯度坐標(biāo)。

利用立體投影的思想，構(gòu)造半球面紋理映射原理如圖1，其中Pc(0,0,1)為投影中心，它是球面的負(fù)極點(diǎn)，O 是三維坐標(biāo)系的原點(diǎn)，半球面的赤道面與XOY 平面一致，紋理平面中坐標(biāo)系的u 軸與x 軸平行，v 軸與y軸平行，即u//x,v//y,該平面與XOY 平面平行[1]。

圖1 立體投影原理圖

首先，Pc 作為投影中心，位于z 坐標(biāo)軸上，物體半球面使用經(jīng)緯坐標(biāo)，紋理平面使用極坐標(biāo)表示，點(diǎn)Q(1,α, β)位于半球面上，通過映射后，對(duì)應(yīng)于紋理平面的點(diǎn)P(1,α)，該半球面映射公式是[4]：

其中，p=tan α cos β，q=tan α sin β。

根據(jù)圖1 所示的立體投影原理及上述假設(shè)可得：

代入后可得到從物體的半球面表面到紋理平面的映射關(guān)系：

其 中，定 義 域 為 x ∈[- 1,1],y ∈[- 1,1] ，值 域?yàn)閡 ∈[- 2,2]，v ∈[- 2,2] 。

2 半球面映射的抗混疊算法

2.1 混疊問題

將一副紋理圓形圖案映射到半球面的過程中，為了適應(yīng)半球面的形狀，需要對(duì)紋理圓形圖案進(jìn)行圖像壓縮，增加了紋理圖案的高頻成分，造成了圖像的頻域成分混疊，導(dǎo)致圖像混疊，對(duì)紋理映射效果產(chǎn)生了較大影響，為了更好地得到原始圖像的信息，處理好圖像的抗混疊問題十分必要[5,7]。

為了解決抗混疊的問題，介紹一種新的卷積方法——映射適應(yīng)卷積理論，它可以更好地適應(yīng)平面映射變化中的缺陷。在半球面紋理映射的過程中，主要是以基于立體投影的半球面紋理映射為例，探討映射適應(yīng)卷積理論在半球面紋理映射中的抗混疊效果。

2.2 映射適應(yīng)卷積理論的條件及證明

卷積是一種數(shù)學(xué)算子，根據(jù)定義可得，一般的卷積算子公式如下：其中，f(x)和g(x)都是可積函數(shù)。

當(dāng)函數(shù)f(x)通過映射h 到另外一個(gè)函數(shù)f(h(x))，為了適應(yīng)映射h 的變換，使得f(h(x))與映射前的原始函數(shù)f(x)及g(x)進(jìn)行積分運(yùn)算后，得到一樣的結(jié)果。文獻(xiàn)[2]中給出了相應(yīng)的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，得到以下數(shù)學(xué)公式：

根據(jù)映射適應(yīng)卷積理論，我們需要構(gòu)建一個(gè)微分同胚的單應(yīng)映射，即前面提到的基于立體投影的半球面紋理映射。接下來(lái)我們需要證明基于立體投影的半球面紋理映射是微分同胚的，根據(jù)定義，通過計(jì)算求出該映射的雅可比是存在的，并且不為零。

根據(jù)上文中的映射公式，可以求出u(x,y)與v(x,y)分別對(duì)x 和y 的偏導(dǎo)，對(duì)應(yīng)公式如下：

根據(jù)u(x,y)與v(x,y)分別對(duì)x 和y 的偏導(dǎo)，可以計(jì)算出該半球面紋理映射的雅可比，對(duì)應(yīng)公式如下：

通過計(jì)算，可以得到該半球面紋理映射的雅可比不為零，可以證明基于立體投影的半球面紋理映射是微分同胚的。

接下來(lái)證明該半球面紋理映射的逆映射是微分同胚的。

利用求解反函數(shù)的方法，計(jì)算出其逆映射，對(duì)應(yīng)公式如下：

采用同樣的方法，可以求出該逆映射u(x,y) 與v(x,y)分別對(duì)x 和y 的偏導(dǎo)，對(duì)應(yīng)公式如下：

根據(jù)u(x,y)與v(x,y)分別對(duì)x 和y 的偏導(dǎo)，可以計(jì)算出該半球面紋理映射對(duì)應(yīng)逆映射的雅可比，對(duì)應(yīng)公式如下：

根據(jù)計(jì)算，同樣可以計(jì)算出其逆映射也是微分同胚的。

通過上述數(shù)學(xué)證明，可以得出該半球面紋理映射符合映射適應(yīng)卷積理論的條件，可以使用該新型卷積運(yùn)算來(lái)解決混疊問題。

2.3 抗混疊算法

為了方便討論，假設(shè)紋理平面為原始圖像u(x)，映射到半球面后的圖為模擬平面v(x)[8]?；谟成溥m應(yīng)卷積理論的半球面紋理映射具體流程如下[2]：

（1）對(duì)模擬平面即半球面進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)柵格化，然后對(duì)每一個(gè)柵格化上的每個(gè)點(diǎn)x0使用半球面映射對(duì)應(yīng)的逆映射h-1(x)，找出重采樣的位置h-1(x0)，如果這個(gè)點(diǎn)在原始平面中，則繼續(xù)執(zhí)行下一步，否則將模擬平面中的點(diǎn)v(x0)設(shè)置為零。

（2）計(jì)算紋理平面點(diǎn)h-1(x0)的形變高斯核的范圍：設(shè)定半球面內(nèi)計(jì)算的卷積的平均范圍是8c*8c 的正方形區(qū)域，然后將該正方形區(qū)域的中心移動(dòng)到模擬平面v(x)的坐標(biāo)系的原點(diǎn)x0處，經(jīng)過逆映射得到形變四邊形區(qū)域，計(jì)算以h-1(x0)為中心的最小外接正方形，該正方形就是獲得的高斯平均權(quán)重的范圍。

（3）利用半球面紋理映射的雅可比來(lái)矯正形變高斯核區(qū)域。在最小外接正方形內(nèi)，以該正方形的中心構(gòu)造標(biāo)準(zhǔn)柵格，設(shè)該中心為S-1(x0)，對(duì)于半球面上任意采樣點(diǎn)通過映射x^’=x0-S-1(^)后，使用采樣函數(shù)為高斯核Gc(x)進(jìn)行采樣獲得采樣值，并用該采樣值除以雅可比的絕對(duì)值后得到離散形變核，若x^’不在半球面對(duì)應(yīng)的投影面上，則該點(diǎn)的高斯核為零。

（4）在原始圖像u(x)上使用映射適應(yīng)性卷積進(jìn)行插值。對(duì)每個(gè)重采樣位置S-1(x0)進(jìn)行插值，插值的領(lǐng)域范圍為a*a 的正方形，對(duì)于該區(qū)域中的每個(gè)點(diǎn)平移到形變核的中心，并在以h-1(x0)為中心的最小外接正方形內(nèi)計(jì)算平均的高斯形變核，得到該點(diǎn)的映射適應(yīng)卷積結(jié)果。

（5）最后，對(duì)于每個(gè)映射卷積結(jié)果，選擇合適的插值方法對(duì)S-1(x0)進(jìn)行重采樣，將插值結(jié)果填充到模擬平面中。

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

在驗(yàn)證映射適應(yīng)卷積理論時(shí)，我們利用點(diǎn)陣圖，將單位圓到半球面紋理映射的映射適應(yīng)卷積抗混疊算法與該映射的標(biāo)準(zhǔn)卷積抗混疊算法的效果進(jìn)行對(duì)比。

首先，生成半徑為256 的圓形紋理點(diǎn)陣圖，然后根據(jù)上文提到的基于立體投影的半球面紋理映射公式，進(jìn)行半球面紋理映射得到對(duì)應(yīng)的半球面紋理圖，再將該紋理圖作為原始平面，通過半球面紋理映射的逆映射得到圓形紋理圖，最后，將該圓形紋理圖分別進(jìn)行映射適應(yīng)卷積和標(biāo)準(zhǔn)卷積，對(duì)比反混疊效果。

圖2 標(biāo)準(zhǔn)卷積實(shí)驗(yàn)結(jié)果

對(duì)圓形紋理先進(jìn)行半球面映射，再做高斯標(biāo)準(zhǔn)卷積，出現(xiàn)了明顯的圖像混疊問題，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖2。

對(duì)圓形紋理先進(jìn)行半球面映射，再做映射適應(yīng)卷積，圖像反混疊效果較好，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖3。

通過實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出：使用標(biāo)準(zhǔn)卷積不可避免產(chǎn)生圖像混淆，但如果使用映射適應(yīng)性卷積可以較好地解決圖像混疊問題。

4 結(jié)語(yǔ)

本文根據(jù)立體投影原理，詳細(xì)地介紹了基于該原理的半球面紋理映射，分析了映射過程中產(chǎn)生的圖像混淆問題，并針對(duì)該問題，將映射適應(yīng)卷積理論應(yīng)用到半球面紋理映射中，從而達(dá)到圖像抗混疊的目的。

圖3 映射適應(yīng)卷積實(shí)驗(yàn)結(jié)果