基于改進的Spearman 秩相關(guān)系數(shù)的直覺模糊多屬性決策

郭 敏，田佳星

（中北大學(xué)經(jīng)濟與管理學(xué)院，太原 030051）

由于客觀世界的復(fù)雜性以及決策者對客觀事物認(rèn)知的不確定性等原因，Zadeh［1，2］首次引入包含隸屬度的模糊集來對事物的性質(zhì)進行描述。Atanassov［3］在模糊集的基礎(chǔ)上引入包含隸屬度和非隸屬度的直覺模糊集來描述事物的模糊性與不確定性，是模糊集十分重要的一種擴展形式，在處理客觀世界中具有模糊性與不確定性的問題時更加準(zhǔn)確、客觀、細(xì)致。

直覺模糊集已經(jīng)被廣泛應(yīng)用于多屬性決策領(lǐng)域，其中屬性間關(guān)聯(lián)度以及屬性權(quán)重方面的研究是多屬性決策問題的核心。Deng［4］將灰色關(guān)聯(lián)分析法應(yīng)用于多屬性決策領(lǐng)域以計算屬性關(guān)聯(lián)度；楊紅軍等［5］結(jié)合直覺模糊集概念提出了一種新的灰色關(guān)聯(lián)分析法求解屬性間關(guān)聯(lián)度；而計算屬性權(quán)重的方法總體上可以劃分為主觀賦權(quán)法、客觀賦權(quán)法以及主客觀組合賦權(quán)法3 種。主觀賦權(quán)法包括AHP 法［6］、G1 法［7］、G2 法［8］以及 Delphi 法［9］等，得到的權(quán)重具有較好的解釋性，不足之處在于無法體現(xiàn)屬性實際數(shù)據(jù)在權(quán)重確定過程中的作用，其中最常用的是層次分析法；客觀賦權(quán)法包括熵權(quán)法［10］、主成分分析法［11］、DEA 法［12］以及基尼系數(shù)賦權(quán)法［13］等，與主觀賦權(quán)法恰好相反，主要依靠屬性的實際數(shù)據(jù)來確定屬性的權(quán)重，但權(quán)重穩(wěn)定性以及可解釋性卻較差，其中熵權(quán)法是權(quán)重確定過程中利用最普遍的一種方法。由于上述兩種賦權(quán)法優(yōu)劣勢并存，所以兩者組合的主客觀組合賦權(quán)法被提出，以綜合優(yōu)勢、削弱劣勢從而達到權(quán)重優(yōu)化的目的。依據(jù)組合的效果將其分為基于向量層面的線性加權(quán)法［14］與基于元素層面的乘法歸一法［15］。但加權(quán)系數(shù)具有強主觀性的線性加權(quán)法和具有弱解釋性的乘法歸一法都不能在主觀賦權(quán)法與客觀賦權(quán)法得到的權(quán)重之間形成一種最優(yōu)組合。而博弈論中均衡思想使雙方利益得到最大化，因此基于博弈論的組合賦權(quán)法［16］應(yīng)運而生，通過尋找折衷組合主客觀權(quán)重使其與主客觀權(quán)重之間的偏差之和最小，達到優(yōu)化權(quán)重的目的。

在現(xiàn)有研究的基礎(chǔ)上，本研究改進了Spearman秩相關(guān)系數(shù)的計算，提出以灰色關(guān)聯(lián)分析法得到的關(guān)聯(lián)度以及通過博弈論組合賦權(quán)得到的最優(yōu)權(quán)重作為秩比較序列與秩標(biāo)準(zhǔn)序列，將其帶入Spearman 秩計算中得到相關(guān)系數(shù)，將結(jié)果進行優(yōu)序排列用以解決直覺模糊多屬性決策問題。最后以實例和對比證明提出方法的有效性。

1 基礎(chǔ)知識

1.1 直覺模糊集

定義1：設(shè)一給定論域為X∈[ 0,1 ]，則此論域X上的一個直覺模糊集A為：

式中，μA(x)表示A的隸屬度函數(shù)，νA(x)表示A的非隸屬度函數(shù)，并且滿足 0 ≤μA(x) +νA(x) ≤ 1，對A上所有的x∈X都成立。直覺模糊集A上的一個直覺模糊數(shù)可以被表示為由隸屬度μA(x)和非隸屬度νA(x)所組成的有序區(qū)間對的形式直覺模糊集A的猶豫度可以被表示為πA(x) = 1-μA(x) -νA(x)。

定義2：正向最優(yōu)集x+，記為

1.2 Spearman 秩相關(guān)系數(shù)

定義 3［17］：設(shè)自 變量X和Y的 2 個隨機 樣本為(x1,y1),…,(xn,yn)，將x1,…,xn和y1,…,yn按升序方式進行排列，則X和Y的Spearman 秩相關(guān)系數(shù)為：

式（1）中，表示為2 個秩的距離度量，di=R(xi)-R(yi),i= 1,…,n,R(xi)和R(yi)分別為xi和yi的秩。

2 主觀與客觀賦權(quán)法

設(shè)某一個多屬性決策問題的方案集為A={A1,A2,…,An} ，每個方案對應(yīng)的屬性集為C={C1,C2,…,Cm} ，根據(jù)屬性的特性可以將其分為效益型屬性和成本型屬性兩類。

2.1 屬性值的規(guī)范化處理

設(shè)aij為規(guī)范前的屬性值，bij為規(guī)范化后的屬性值。

根據(jù)直覺模糊集的性質(zhì)，將規(guī)范化后的實值轉(zhuǎn)換為直覺模糊數(shù)［18］，有μij=bij,νij= 1-bij，則屬性值的直覺模糊數(shù)為

2.2 主觀賦權(quán)法

層次分析法（AHP）不僅可以將多目標(biāo)的決策問題分解為逐層漸進并相互影響的單目標(biāo)問題，而且可以運用定量計算方法將定性指標(biāo)具體化，令賦權(quán)結(jié)果更加符合實際要求。因此選擇層次分析法來確定屬性的主觀權(quán)重。

1）構(gòu)建直覺模糊判斷矩陣。設(shè)有q位專家，各專家的評價權(quán)重為ξ=( )ξ(1),ξ(2),…,ξ(q)，q位專家依據(jù)表1 的指標(biāo)評價等級確定各個指標(biāo)層中指標(biāo)的等級，并構(gòu)建相應(yīng)的直覺模糊判斷矩陣(k= 1,2,…,q)，其中

表示第k位專家對元素i和j的重要性進行等級評價時，認(rèn)為元素i優(yōu)于元素j的程度；表示元素j優(yōu)于元素i的程度。則集結(jié)q位專家對指標(biāo)層指標(biāo)等級評價的直覺模糊判斷矩陣為：X=(xij)n×n=直覺模糊數(shù)指標(biāo)評價等級標(biāo)度見表1。

表1 直覺模糊數(shù)指標(biāo)評價等級標(biāo)度

2）一致性檢驗［19］。根據(jù)式（4）和式（5）計算直覺模糊判斷矩陣的積型一致性判斷矩陣當(dāng)j＞i+ 1 時，有：

當(dāng)j=i+ 1 時，則令當(dāng)j＜i+ 1 時，則令

3）計算權(quán)重。將修正后并且符合要求的矩陣記為，為了便于運算，將中元素值轉(zhuǎn)換為直覺模糊數(shù)：

2.3 客觀賦權(quán)法

熵權(quán)法是一種通過信息之間差異性來進行賦權(quán)的算法，權(quán)重具有很強的解釋性，并且可以與其他方法相結(jié)合使用，使計算出的權(quán)重更加客觀有效。根據(jù)式（9）確定屬性的客觀權(quán)重。

式中，Ej是信息論中信息熵，若某個指標(biāo)的信息熵Ej越小，代表其指標(biāo)的變異程度越大，提供的信息量就越大，其權(quán)重也越大。

3 改進后的直覺模糊集Spearman 秩相關(guān)系數(shù)計算及多屬性決策

Spearman 秩相關(guān)系數(shù)是統(tǒng)計學(xué)中計算變量之間相關(guān)性的重要指標(biāo)，其在直覺模糊決策領(lǐng)域也有著十分廣泛的應(yīng)用。然而常見的利用Spearman 秩相關(guān)系數(shù)計算各方案間的相關(guān)性問題，僅將方案的各個屬性秩大小進行編號后用于相關(guān)系數(shù)的計算，以最后所得值進行優(yōu)序排列作為決策結(jié)果。此方法雖然計算簡單，但卻忽略了一個很重要的問題，尤其是對方案的屬性值為直覺模糊數(shù)的決策問題而言，各方案的屬性值之間是存在相互關(guān)系的，并且屬性的權(quán)重在決策中也起到很關(guān)鍵的作用。上述這種不加限制的直覺模糊數(shù)的Spearman 秩相關(guān)系數(shù)計算是片面的，基于此，本研究提出一種改進后的直覺模糊集Spearman 秩相關(guān)系數(shù)，將各方案屬性間關(guān)聯(lián)度值序號作為秩對比序列，屬性權(quán)重值序號作為秩標(biāo)準(zhǔn)序列，并在秩對比序列與秩標(biāo)準(zhǔn)序列之間建立一種Spearman 秩次相關(guān)關(guān)系，計算各方案Spearman 秩相關(guān)系數(shù)并進行優(yōu)序排列，將其應(yīng)用于多屬性決策領(lǐng)域中。

3.1 屬性間關(guān)聯(lián)度的計算確定秩對比序列

1）屬性間相關(guān)性對秩對比序列確定的影響。在一個屬性值為直覺模糊數(shù)的多屬性決策方案中，各方案屬性間相互作用，某一方案的某個屬性值的確定會受到其他各方案對應(yīng)屬性的影響，如何精確表示屬性之間相互作用強弱關(guān)系，會直接影響最終的決策結(jié)果，而灰色關(guān)聯(lián)分析的出現(xiàn)恰到好處地解決了這一問題。

2）灰色關(guān)聯(lián)分析確定秩對比序列及比較分析。根據(jù)灰色分析法的思想，依據(jù)定義2得各屬性下的正向最優(yōu)集為x+，則各方案與x+的關(guān)聯(lián)度εij記為［20］：

Spearman 秩相關(guān)性計算中，改進前的秩對比序列的確定僅通過屬性值大?。ㄖ庇X模糊數(shù)通過得分函數(shù)值比較）來進行排序，未充分考慮屬性之間的關(guān)聯(lián)性；改進后秩對比序列的確定通過灰色關(guān)聯(lián)分析所得的屬性關(guān)聯(lián)度進行排序，充分考慮了屬性之間相關(guān)性對排序的影響，使所得結(jié)果更有說服力。下面通過一個簡單的例子對比改進前后秩對比序列的差異，設(shè)某個多屬性決策的方案集以及對應(yīng)的屬性集為：

改進前方案A1秩對比序列為②③①；改進后方案A1秩對比序列為①③②。兩者排序的差異必然影響最終的決策結(jié)果。

3.2 構(gòu)建組合賦權(quán)法模型確定秩標(biāo)準(zhǔn)序列

1）屬性權(quán)重未知對秩標(biāo)準(zhǔn)序列確定的影響。多屬性決策方案中各屬性的權(quán)重不僅代表各屬性在總體中所占的百分比，更代表各屬性的相對重要程度和貢獻度，多屬性決策方案中有些屬性的權(quán)重可能很大，而有些屬性的權(quán)重卻可能很小，這會直接影響決策結(jié)果，而大多數(shù)Spearman 秩相關(guān)性計算中秩標(biāo)準(zhǔn)序列的確定都是在未充分考慮屬性權(quán)重的前提下僅以各屬性位置序號升序排列所得，忽略了屬性權(quán)重所起的作用，從而弱化了各屬性之間的差異性。如某個決策方案的4 個屬性權(quán)重分別為（0.1，0.2，0.4，0.3），Spearman 秩相關(guān)性計算中秩標(biāo)準(zhǔn)序列，在未充分考慮屬性權(quán)重前提下為①②③④；而在充分考慮屬性權(quán)重的前提下卻為①②④③，兩者排序的差異會直接影響相關(guān)性分析的結(jié)果。

2）構(gòu)建模型確定秩標(biāo)準(zhǔn)序列。設(shè)熵權(quán)法和層次分析法得到屬性的權(quán)重向量分別為w1=(w11,w12,…,w1m)T、w2=(w21,w22,…,w2m)T，則兩組向量的任意線性組合可以用矩陣的形式表示：

式中α1、α2為任意給定的線性組合系數(shù)，且滿足α1≥ 0,α2≥ 0,α1+α2= 1。依據(jù)博弈論中均衡思想，通過尋求折衷主客觀權(quán)重向量的最優(yōu)組合系數(shù)求出兩者之間的最優(yōu)組合權(quán)重w*=進而得到以w*與w1、w2的離差總和極小化為最終目標(biāo)的方法，對兩組向量的線性組合進行優(yōu)化，模型如下［16］：

利用混合罰函數(shù)對上述模型求解，使得原本有約束條件的模型通過將約束條件并入目標(biāo)函數(shù)的方法轉(zhuǎn)換為無約束模型，則上述模型可轉(zhuǎn)換為如下模型：

3.3 改進后的直覺模糊集Spearman 秩相關(guān)系數(shù)計算

定義4：設(shè)各方案在各屬性下的關(guān)聯(lián)系數(shù)為εi,{εi=(εi1,εi2,…,εim);i= 1,2,…,n} ，各屬性值的組合權(quán)重為則改進后的直覺模糊集Spearman 秩相關(guān)系數(shù)為：

3.4 多屬性決策步驟

設(shè)某一個多屬性決策問題的方案集為A={A1,A2,…,An}；各方案所對應(yīng)的屬性集C={C1,C2,…,Cm} ；屬性權(quán)重未知；有q位決策者，決策權(quán)重為ξ=下面是在基于改進后的直覺模糊集Spearman 秩相關(guān)系數(shù)法的基礎(chǔ)上，以方案間相關(guān)程度強弱為視角來解決多屬性決策問題。具體步驟如下：①構(gòu)建指標(biāo)評價體系；②確定各方案間的各屬性的灰色關(guān)聯(lián)度，構(gòu)建標(biāo)準(zhǔn)序列；③確定屬性主觀與客觀權(quán)重間最優(yōu)組合后的權(quán)重，構(gòu)建對比序列；④運用改進方法計算各方案的相關(guān)系數(shù)，將所得的結(jié)果進行優(yōu)序排列，以此決定各方案的優(yōu)劣。

4 案例分析

以山西省高技術(shù)產(chǎn)業(yè)創(chuàng)新效率評價為例來驗證改進后的直覺模糊集Spearman 秩相關(guān)系數(shù)決策方法的有效性與可行性。收集了山西省2009—2016年高技術(shù)產(chǎn)業(yè)方面的相關(guān)數(shù)據(jù)，將收集到的數(shù)據(jù)劃分為準(zhǔn)則層（4 個指標(biāo)）和指標(biāo)層（20 個指標(biāo)），其中準(zhǔn)則層4 個指標(biāo)分別為高技術(shù)產(chǎn)業(yè)創(chuàng)新投入能力、高技術(shù)產(chǎn)業(yè)創(chuàng)新能力、高技術(shù)產(chǎn)業(yè)產(chǎn)業(yè)化能力和高技術(shù)產(chǎn)業(yè)創(chuàng)新環(huán)境能力，對山西省高技術(shù)產(chǎn)業(yè)創(chuàng)新能力進行評價。

4.1 數(shù)據(jù)來源

數(shù)據(jù)來源于2009—2016 年《山西省統(tǒng)計年鑒》《中國高技術(shù)產(chǎn)業(yè)統(tǒng)計年鑒》《中國火炬統(tǒng)計年鑒》《中國工業(yè)統(tǒng)計年鑒》以及山西省統(tǒng)計局網(wǎng)站。

4.2 山西省高技術(shù)產(chǎn)業(yè)創(chuàng)新能力評價及決策步驟

4.2.1 構(gòu)建山西省高技術(shù)產(chǎn)業(yè)創(chuàng)新能力指標(biāo)評價體系 從創(chuàng)新效率的角度將所收集到的高技術(shù)產(chǎn)業(yè)方面的數(shù)據(jù)劃分為準(zhǔn)則層（4 個指標(biāo)）和指標(biāo)層（20 個指標(biāo)），構(gòu)建山西省高技術(shù)產(chǎn)業(yè)創(chuàng)新能力指標(biāo)評價體系（表2）。

4.2.2 確定主觀權(quán)重 邀請3 位專家依據(jù)表1 對指標(biāo)評價體系中的指標(biāo)評價等級構(gòu)建了18 個直覺模糊判斷矩陣，其中3 位專家的評價權(quán)重分別為（0.5，0.3，0.2），將3 位專家對指標(biāo)層指標(biāo)等級評價構(gòu)建的直覺模糊判斷矩陣與各自所對應(yīng)的評價權(quán)重進行結(jié)合，運用式（4）、式（5）將其轉(zhuǎn)換為積型一致性判斷矩陣，運用式（6）進行一致性檢驗，結(jié)果見表3。在滿足一致性檢驗后計算準(zhǔn)則層及指標(biāo)層所對應(yīng)指標(biāo)的權(quán)重，然后將準(zhǔn)則層各指標(biāo)權(quán)重與其對應(yīng)的指標(biāo)層各指標(biāo)權(quán)重相乘得到各指標(biāo)的主觀權(quán)重，結(jié)果見表4。由于篇幅限制，下文只給出專家對準(zhǔn)則層中第一個指標(biāo)所對應(yīng)的指標(biāo)層中各指標(biāo)重要性相互比較所得的直覺模糊判斷矩陣以及集結(jié)符合一致性的直覺模糊判斷矩陣。

表2 山西省高技術(shù)產(chǎn)業(yè)創(chuàng)新能力指標(biāo)評價體系

表3 一致性檢驗結(jié)果

根據(jù)以上計算得準(zhǔn)則層的權(quán)重值為wA=[0.298 98,0.215 90,0.252 72,0.232 40 ]；指標(biāo)層相對于準(zhǔn)則的權(quán)重值為：

表4 主觀權(quán)重、客觀權(quán)重以及組合權(quán)重

4.2.3 確定客觀權(quán)重 依據(jù)指標(biāo)評價體系，運用式（2）、式（3）將收集到的數(shù)據(jù)進行規(guī)范化，并根據(jù)文獻［18］將規(guī)范化后的數(shù)據(jù)進行直覺模糊化處理，結(jié)果見表5。運用式（9）計算各指標(biāo)的客觀權(quán)重，結(jié)果見表4。

4.2.4 確定組合權(quán)重 依據(jù)博弈論均衡思想構(gòu)建優(yōu)化模型，利用混合罰函數(shù)對模型進行求解得到最優(yōu)線性組合系數(shù)從而得到優(yōu)化后的組合權(quán)重見表4。

4.2.5 計算關(guān)聯(lián)度 運用式（10）計算山西省2009—2016 年高技術(shù)產(chǎn)業(yè)創(chuàng)新能力指標(biāo)的灰色關(guān)聯(lián)度εij。

表5 2009—2016 年山西省高技術(shù)產(chǎn)業(yè)創(chuàng)新能力指標(biāo)屬性值

4.2.6 改進后的直覺模糊集Spearman 秩相關(guān)系數(shù)的多屬性決策 運用式（12）計算得到山西省2009—2016 年高技術(shù)產(chǎn)業(yè)創(chuàng)新能力的Spearman 秩相關(guān)系數(shù)的值，如下：

將上述所得的各方案結(jié)果升序排列并作為決策的結(jié)果，排序為：Y8＞Y3＞Y7＞Y6＞Y2＞Y1＞Y4＞Y5。

4.2.7 比較分析 根據(jù)文獻［21］計算得到山西省2009—2016 年高技術(shù)產(chǎn)業(yè)創(chuàng)新能力的Spearman 秩相關(guān)系數(shù)的值，如下：

得到的決策結(jié)果為：Y8＞Y3＞Y7＞Y6＞Y2＞Y4＞Y1。而Y5= -0.031，明顯看出與其他決策結(jié)果的相關(guān)性方向不同，為負(fù)相關(guān)，故無法進行比較。由改進的直覺模糊集Spearman 秩相關(guān)系數(shù)計算所得的結(jié)果與文獻［21］方法所得的決策結(jié)果相比較僅有個別決策結(jié)果排序不同，同時不存在相關(guān)方向差異的問題。這是由于本研究所提出的改進方法不僅考慮了屬性權(quán)重對標(biāo)準(zhǔn)序列確定的影響，而且考慮了屬性間相關(guān)性在對比序列確定中所起的作用，并在兩者間建立了一種新的秩次相關(guān)關(guān)系，用來解決方案各屬性的差異以及屬性間的相互作用對決策結(jié)果帶來的影響。

5 結(jié)論

目前，針對屬性值為直覺模糊數(shù)且屬性權(quán)重未知的多屬性決策問題是研究的熱點。本研究引入統(tǒng)計學(xué)中的Spearman 秩相關(guān)系數(shù)概念，并在基于直覺模糊集Speaman 秩相關(guān)系數(shù)的基礎(chǔ)上提出了改進的Spearman 秩相關(guān)系數(shù)。其原理是將灰色關(guān)聯(lián)分析法得到的各方案屬性間的關(guān)聯(lián)度值序號作為對比序列，組合賦權(quán)法得到的方案屬性權(quán)重值序號作為標(biāo)準(zhǔn)序列，并在兩者之間建立一種秩次相關(guān)關(guān)系來計算方案的秩相關(guān)系數(shù)，并將其用在多屬性決策問題上。此改進方法克服了方案決策時由于忽略各屬性的差異以及屬性間的相互作用而導(dǎo)致重要信息流失、誤差大等問題，在某種意義上可以說是對直覺模糊多屬性決策問題進行了一定的補充和完善。最后，通過案例分析可以看出，本研究所提出的改進算法計算思路明確，綜合評價結(jié)果合理性高，具有較強的實用價值。