基于超網(wǎng)絡(luò)的輿論演化動態(tài)模型

王志平,王 佳

(大連海事大學理學院，遼寧 大連 116034)

0 引言

隨著社會網(wǎng)絡(luò)的逐步發(fā)展，人們越來越關(guān)注輿論，通過微博、新聞、瀏覽器等可以了解世界各地的事情發(fā)展，并且時時刻刻關(guān)注著他們的發(fā)展變化。因此，輿論演化逐漸成為一種不可忽視的頻發(fā)性社會現(xiàn)象，研究輿論傳播的發(fā)展變化規(guī)律具有很重要的現(xiàn)實意義[1-2]。

輿論傳播是指社會公眾在特定事件下發(fā)表個體意見以及意見之間相互作用形成的觀點。網(wǎng)絡(luò)輿論傳播是指人們通過網(wǎng)絡(luò)對一些事情公開表達的意見或態(tài)度。哈貝馬斯曾經(jīng)說過：“束縛輿論傳播就等于否定民主，與其說適合民主法治國家，不如說適合開明專制下的極權(quán)主義福利國家；一切為了人民，但一切都沒有經(jīng)過人民”。隨著社會的發(fā)展，在我們這個民主的社會主義國家，從每個人的小事到國家大事，人們都可以通過網(wǎng)絡(luò)公開表達自己的意見或建議，所以人們對輿論傳播的關(guān)注也越來越多，同時也吸引了越來越多學者進行研究。

網(wǎng)絡(luò)隨處可見，因此網(wǎng)絡(luò)輿論的傳播成為越來越多學者的研究對象。目前已有不少學者對輿論進行了模型構(gòu)建和仿真分析，且涉及的因素是固定的，如節(jié)點的添加率、形成的超邊數(shù)、重組超邊數(shù)等，為了更貼合實際，本文對模型進行了一些改進：1)提出了一種基于非均勻超網(wǎng)絡(luò)的輿論動態(tài)演化模型，解決了網(wǎng)絡(luò)節(jié)點及其超邊老化的問題。模型的構(gòu)建包括4個過程，即新超邊的形成、新節(jié)點的加入、超邊的重鏈以及節(jié)點及其超邊的老化。2)在上述基礎(chǔ)上，對不確定因素進行了隨機化，即對增加節(jié)點的數(shù)量，形成超邊的數(shù)量，選擇進入超邊的新節(jié)點數(shù)量(也就是說，每一批節(jié)點被選擇進入超邊存在一定概率，并不是所有的節(jié)點形成一個超邊)，節(jié)點本身的關(guān)注和影響、節(jié)點之間的影響等等進行隨機化處理。3)同時，通過Matlab程序仿真，本文分析了10個參數(shù)對模型的影響，如節(jié)點的個數(shù)、節(jié)點本身的關(guān)注程度、節(jié)點之間的影響、選擇進入超邊的新節(jié)點個數(shù)以及超邊中的舊節(jié)點個數(shù)等。我們得到了平穩(wěn)平均超度分布服從冪律分布，其中節(jié)點表示關(guān)鍵詞，超邊表示由關(guān)鍵詞構(gòu)成的話題。

1 理論背景

輿論的演化在很早的時候就受到了人們的關(guān)注，最早可以追溯到1956年，F(xiàn)rench建立了一個簡單的離散數(shù)學模型去研究團體的行為復雜性[3]。在1981年，Lehrer和Wagner[4]將有限理性作為從公平到認識論在輿論建模過程中的基本條件。在物理的視角中，最早是1925年，伊辛提出了研究鐵磁體的一種最簡單模型，2000年，Sznajd基于物理學描述磁極旋轉(zhuǎn)的伊辛模型是描述二元觀點相變的最早常用輿論動力學模型，在此基礎(chǔ)上，出現(xiàn)了不少以此為基礎(chǔ)的模型與相關(guān)的研究成果[5-9]，包括Sznajd觀點動力學模型的相變現(xiàn)象、小世界網(wǎng)絡(luò)、無標度網(wǎng)絡(luò)上的演化特性等。此外，輿論的模型存在很多種形式，熊蓮花等人[10]在“優(yōu)先占有”的理論基礎(chǔ)上建立了輿論的演化模型；何建佳等人[11]借鑒Hegselmann-Krause模型粒子交互的建模思想，構(gòu)建了擴展Hegselmann-Krause模型；胡祖平等人[12]在元胞自動機的基礎(chǔ)上對輿論的演化進行了仿真分析。同時，人們也研究了各種因素下的輿論演化發(fā)展[13-18]，以此更加貼近現(xiàn)實生活。

隨著社會的發(fā)展也有不少學者在復雜網(wǎng)絡(luò)的基礎(chǔ)上對輿論的演化進行了模擬仿真等[19-21]。而超網(wǎng)絡(luò)是繼復雜網(wǎng)絡(luò)研究熱潮之后，研究者關(guān)注的另一個重要方向，超網(wǎng)絡(luò)是較通常意義上的復雜網(wǎng)絡(luò)更為復雜的網(wǎng)絡(luò)，該網(wǎng)絡(luò)的每一條超邊都能連接任意多個節(jié)點的特性使其能夠比復雜網(wǎng)絡(luò)更好地描述真實世界中的復雜系統(tǒng)。所以輿論的演化模型在之后的發(fā)展中逐步從復雜網(wǎng)絡(luò)過渡到了超網(wǎng)絡(luò)的研究上。

Wang等人[22]提出了一種進化超網(wǎng)絡(luò)模型；李倩倩等人[23]基于超網(wǎng)絡(luò)研究了社會輿論的演化；浦嬌華等人[24]在動態(tài)模型的基礎(chǔ)上構(gòu)建了輿論演化模型；Chang等人[25]對SPL分布進行了一個詳細分析使人們對冪律分布有更深刻的認識；馬濤等人[26]對節(jié)點的退出機制進行了一定的研究，通過建立M-G-P模型與理論分析發(fā)現(xiàn)度分布符合冪律分布。張峰等人[27]基于決策偏移構(gòu)建了輿論動力學模型；Li等人[28]研究了媒體在輿論的演變中起到了什么作用，因此構(gòu)建了媒體影響下的輿論動態(tài)數(shù)學模型。Wang等人[29]在超網(wǎng)絡(luò)的基礎(chǔ)上提出了雙層超網(wǎng)絡(luò)模型，更加有效地反映了實際情況；Guo、Yin等人[30-31]基于超網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建了非均勻網(wǎng)絡(luò)模型，并且通過理論分析即仿真模擬得到其結(jié)果符合冪律分布。

2 基本概念

2.1 復雜網(wǎng)絡(luò)

到目前為止，復雜網(wǎng)絡(luò)并沒有一個具體的定義，但是存在兩種定義來解釋它。錢學森給出了一個這樣的定義：“具有自組織、自相似、吸引子、小世界、無標度中部分或全部性質(zhì)的網(wǎng)絡(luò)稱為復雜網(wǎng)絡(luò)?！倍S基百科中定義復雜網(wǎng)絡(luò)為由數(shù)量巨大的節(jié)點和節(jié)點之間錯綜復雜的關(guān)系共同構(gòu)成的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。

2.2 超網(wǎng)絡(luò)

超圖是比圖更為復雜的一種圖形，它可以包含任意個節(jié)點數(shù)目[32-33]，因而更加貼合現(xiàn)實生活。設(shè)V={v1,v2,…,vn}為有限集Ei={vi1,vi2,…,vij}(vik∈V,k∈N*)是V的非空子集族，Eh={E1,E2,…,Em}表示超邊集，那我們就定義H={V,Eh}為超圖。超網(wǎng)絡(luò)[34]就是由超圖描述的復雜系統(tǒng)。

2.3 非均勻網(wǎng)絡(luò)

傳統(tǒng)的超網(wǎng)絡(luò)模型都是均勻的，即超邊中只包含兩個節(jié)點，而非均勻網(wǎng)絡(luò)是指在一個度分布具有適當冪指數(shù)的冪率形式的大規(guī)模無標度網(wǎng)絡(luò)中，絕大部分節(jié)點的度相對較小，只有少數(shù)節(jié)點的度相對較大。非均勻的超網(wǎng)絡(luò)的一個明顯特征是每一個超邊中都可包含任意數(shù)目的節(jié)點。

3 模型構(gòu)建

本文基于超網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建了一種非均勻的動態(tài)演化模型，且模型中變量符合一定的分布，使得變量具有隨機性，更加貼合現(xiàn)實生活。本文中節(jié)點代表關(guān)鍵詞，超邊代表關(guān)鍵詞形成的話題。

在模型中，對參數(shù)的應(yīng)用如下：

T時刻時，一個新的節(jié)點連接到第i批的第j個節(jié)點的概率為ω，與該節(jié)點的超度hj(t,ti)，自身的關(guān)注度ξi及節(jié)點連接后產(chǎn)生的影響yi成正比。即

(1)

其中,ti表示第i批節(jié)點到達網(wǎng)絡(luò)的時間，hj(t,ti)表示第i批節(jié)點的第j個節(jié)點在時間t的超度。

在輿論傳播的演化中，本文構(gòu)建的模型分為4個部分：1)添加新的超邊。即現(xiàn)有的關(guān)鍵詞形成了新的輿論(如中國、湖北、新冠肺炎等)。2)重新連接鏈路。即舊的輿論消失且與其他關(guān)鍵詞構(gòu)成新輿論(如舊關(guān)鍵詞中國、巴基斯坦等)。3)添加節(jié)點。即產(chǎn)生新的關(guān)鍵詞，從而與現(xiàn)有的關(guān)鍵詞形成新的輿論(如新關(guān)鍵詞多省市清零與舊關(guān)鍵詞新冠肺炎等)。4)節(jié)點及其超邊的老化。即輿論的熱度衰退，且關(guān)鍵詞淡出視線或者人為因素使得關(guān)鍵詞及其話題淡出人們的視線。

圖1 輿論演化模型示意圖

模型的初始節(jié)點的數(shù)量為m0=13，節(jié)點A～M，且存在4個超邊(e1～e5)。在每個時間t，都會以一定的概率發(fā)生以下4個過程：1)添加新的超邊。在初始圖中，隨機選擇一個節(jié)點H，與D、G、k、J形成新的超邊e5；與D、E、F、I形成新的超邊e6。2)重新連接鏈路。隨機選擇一個節(jié)點I，刪除節(jié)點I的一個超邊e3，與J、K、H、L、M形成新的超邊e8；刪除超邊e2，與C、E、F、H、L形成新的超邊e7。3)添加節(jié)點。T時刻時，進來一批新的節(jié)點N、O、P、Q、R、S、T，m1=7，選擇原來的(m2=1)個舊節(jié)點與新節(jié)點當中的其中一部分(m11=5)個形成新的超邊，如圖所示e9，e10為所形成的新的超邊。4)節(jié)點及其超邊的老化。隨機選取一個節(jié)點H，老化節(jié)點H所在的超邊(e1，e6)與節(jié)點H，且不再形成新的超邊。

4 理論分析

假定原始超網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點總數(shù)為N，根據(jù)本文第4部分的模型，可以得到如下動態(tài)方程：

(1)以概率p將m個超邊添加到原有的超網(wǎng)絡(luò)中

(2)

其中，m服從參數(shù)為λ2的泊松分布，舊節(jié)點的個數(shù)u服從參數(shù)為λ3的指數(shù)分布。右邊第一項表示現(xiàn)有節(jié)點的隨機選擇，第二項表示以一定概率對舊節(jié)點的選擇。

(2)以概率q重新連接m個超邊

(3)

其中，右邊第一項表示要刪除超邊的節(jié)點的隨機選擇，右邊第二項表示重新連接超邊的節(jié)點的選擇。

(3)以概率r老化節(jié)點及s個超邊

(4)

其中，右邊的式子表示要老化的節(jié)點及其超邊的隨機選擇,選擇更一般的老化模型[35-36]。

(4)將m1個節(jié)點以概率1-p-q-r添加到現(xiàn)有的超網(wǎng)絡(luò)中，隨機選擇m11個新的節(jié)點與m2個舊節(jié)點以概率ω形成超邊

(5)

右邊式子表示被選擇進入新超邊的節(jié)點數(shù)是以一定的概率選擇的。

根據(jù)以上4個等式，可以得到輿論傳播的演化機制服從如下動態(tài)方程:

(6)

(7)

對式(7)進行簡單的積分，可以得到

(8)

為了簡便計算，將節(jié)點的老化過程進行簡化，即只選擇一個節(jié)點所在的超邊進行刪除，可得：

(9)

從而得到該過程的超度：

(10)

根據(jù)式(10)，可知

(11)

由上文可知節(jié)點的到達速率是服從泊松分布的，節(jié)點到達的時間遵循伽馬分布，因此，可以得到等式(12)：

(12)

由式(10)可知，節(jié)點超度的概率公式如(13)：

(13)

于是，得到平穩(wěn)平均超度分布的概率為

(14)

根據(jù)式(10)，還可知

(15)

對式(15)進行化簡，得到

(16)

其中B是由以下積分來確定的，即

(17)

把式(17)稱為具有自身關(guān)注度與節(jié)點間影響力的特征方程。

接下來對式(17)中的參數(shù)進行分類討論：

1)ξi=0,yi=1，本文的模型將退化為簡單模型，且有如下結(jié)果:

(18)

其對應(yīng)的特征方程為

其中，Q=λ2[(p-q)(λ3+1)+(1-p-q-r)(m2+m11)]。特征方程的解為

(19)

其中，L=Qm1-m11(C+W)。

可以得到平穩(wěn)的平均超度分布為

(20)

2)當ξi=1,yi=a時，有

(21)

從而得到：

(22)

3)當yi=1,ξi=a時，得到：

(23)

然后可以得到:

(24)

4)當ξi=a1,yi=a2時，得到特征解：

(25)

然后可以得到平穩(wěn)的平均超度:

(26)

在此之前有人提出SPL，當p(k)∝(k+α)η，其中η和α是常量，SPL是從冪律分布到指數(shù)函數(shù)的分布，其中α表示分布偏離冪律的程度，數(shù)值越大，偏離冪律越大[37]。根據(jù)本文的分析可以知道，模型退化為簡單模型時，是完全符合冪律分布的；當本文的模型參數(shù)為任意數(shù)值時，其結(jié)果顯示仍是完全遵循SPL的。

5 模擬數(shù)值

針對上述結(jié)果，利用Matlab程序進行了合理的模擬。這里每個模型都進行了多次運行，之后選取效果最好的結(jié)果。此外，由于模型中大部分的變量都是隨機的，所以針對每一個變量都有其模擬結(jié)果。其中k表示節(jié)點的超度，p(k)表示超度為k的概率，k的取值范圍與超網(wǎng)絡(luò)的規(guī)模以及動態(tài)演化過程相關(guān)。模型中的參數(shù)及其表示意義如表1所示。

表1 參數(shù)及其意義

5.1 參數(shù)N的影響

如圖2所示，當p=0.15，q=0.15，r=0.25，m1=5，m=9，u=10，m11=4，y～N(5,5),ξ～N(10,10)時，其中m1是服從參數(shù)a1=5的泊松分布，m是服從參數(shù)a2=5的泊松分布，u是服從參數(shù)a3=10的指數(shù)分布，m11是服從a4=3的指數(shù)分布。令N=20 000、30 000、50 000。根據(jù)結(jié)果能夠看到，當k到一定數(shù)值時，隨著N的變大概率隨之變小，這說明有限個關(guān)鍵詞被包含在同一個輿論內(nèi)很少有輿論可以包括所有的關(guān)鍵詞。即關(guān)鍵詞具有一定的針對性，可以形成不同的輿論。

5.2 參數(shù)y、ξ影響

如圖3所示，當m1=5，m=9，u=10，m11=1，p=0.15，q=0.05，r=0.25，ξ～N(10,10)，N=15 000，其中λ1～p(5),λ2～p(5),λ3～Exp(10),λ4～Exp(3)。此時對u1進行改變，分別為5、10、15。由圖3可以看到，當k一定時，圖像整體隨u1的增大而向下移動，即節(jié)點相連對輿論的形成存在一定的影響，當連接的節(jié)點越多或者節(jié)點間相關(guān)性越高時，對輿論的限制越大，從而更難形成新的輿論。也就是說，二者之間影響越大可以形成新輿論的概率越小。當k達到一定程度時，其特征不再明顯，此時節(jié)點所表示的意義有限制，只有特定節(jié)點連接存在特殊意義。如當關(guān)鍵詞‘高考’與‘作弊’相聯(lián)系所形成的超邊的超度是小于‘高考’與‘省份’相聯(lián)系所形成的超邊的超度，節(jié)點間的影響力不同，那么對節(jié)點的超度是存在一定影響的。

如圖4，對u2進行改變，分別為10，20，30。當m1=5，m=6，u=8，m11=2，p=0.15，q=0.05，r=0.25，y～N(5,5)，N=15 000，其中λ1～p(5),λ2～p(5),λ3～Exp(10),λ4～Exp(3)。當k較小時，隨著u2的增大概率逐漸增大，此時超網(wǎng)絡(luò)的超度分布仍具有冪率分布；當k超過一定的范圍時，隨著u2的增大，其節(jié)點冪率特征不再明顯。即節(jié)點的超度在一定范圍內(nèi)隨它自身的關(guān)注度的大小而變化，當超過一定的范圍時，其超度不再隨著關(guān)注度的變化而產(chǎn)生規(guī)律性改變。

圖2 參數(shù)N影響示意圖

圖3 參數(shù)u1的示意圖

圖4 參數(shù)u2的示意圖

5.3 參數(shù)p、q、r的影響

當m1=9，m=6，u=3，m11=1，q=0.05，r=0.25，y～N(5,5),ξ～N(10,10)，N=15 000時，其中λ1～p(5),λ2～p(10),λ3～Exp(10),λ4～Exp(3)。如圖5所示，當p增大時，圖像整體向右移動，即關(guān)鍵詞與話題相關(guān)性越強時，那么可形成的話題范圍越多。當k一定時，可以看到，添加超邊的概率越大，其節(jié)點超度為k的概率越大，即同一k值下超度形成概率越大。

當m1=8，m=14，u=9，m11=2，p=0.05，r=0.15，y～N(5,5),ξ～N(10,10)，N=20 000時，其中λ1～p(5),λ2～p(10),λ3～Exp(10),λ4～Exp(3)。從圖6中可以看到，隨著q的改變其圖像無明顯變化，從而q對于結(jié)果沒有很大的影響。即當前關(guān)鍵詞現(xiàn)在所屬的輿論消失與新的關(guān)鍵詞組成新的輿論，因此，q不會對其概率產(chǎn)生規(guī)律性的影響，其結(jié)果反映了網(wǎng)絡(luò)輿論系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

如圖7，當m1=5，m=9，u=10，m11=1，p=0.15，q=0.05，y～N(5,5),ξ～N(10,10)，N=15 000時，其中λ1～p(5),λ2～p(5),λ3～Exp(10),λ4～Exp(3)。從圖中可以看出整體圖像隨著r的增大而下移，即節(jié)點消失的概率越大，那么可形成超邊的概率越小。即隨著話題熱度的衰退，其熱度降低，從而使得輿論保持在一個穩(wěn)定水平，其結(jié)果與超邊的添加恰恰相反，也進一步反映出了網(wǎng)絡(luò)輿論系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

圖5 參數(shù)p的示意圖

圖6 參數(shù)q的示意圖Fig.6 The parameter q

圖7 參數(shù)r的示意圖

5.4 參數(shù)λ1、λ2的影響

當m=6，u=15，m11=5，p=0.05，q=0.1，r=0.15，y～N(5,5),ξ～N(10,10)，N=20 000時，其中λ2～p(5),λ3～Exp(10),λ4～Exp(3)。如圖8所示，圖像隨著參數(shù)的增大整體左移，節(jié)點的到達速率增大，即節(jié)點活躍性增大使得形成更多不同的話題、選擇性增多，因此，其關(guān)鍵詞的超度并不會隨參數(shù)的增加而增大，與之相反，節(jié)點可形成超邊的個數(shù)概率越小。

當m1=4，u=15，m11=3，p=0.05，q=0.1，r=0.15，y～N(5,5),ξ～N(10,10)，N=20 000時，其中λ1～p(5),λ3～Exp(10),λ4～Exp(3)。從圖9中可以看到，圖像不隨著參數(shù)的變化產(chǎn)生規(guī)律性的變化，即節(jié)點的超度在于與節(jié)點相關(guān)聯(lián)所構(gòu)成超邊數(shù)目的多少，僅超邊數(shù)目的增多表明話題有更大可能的形成性，與節(jié)點超度無直接聯(lián)系，m的改變更多是對矩陣的規(guī)模的影響。

圖8 參數(shù)a1的示意圖

圖9 參數(shù)a2的示意圖Fig.9 The parameter a2

5.5 參數(shù)λ3、λ4的影響

當m1=4，m=3，m11=2，p=0.05，q=0.25，r=0.15，y～N(5,5),ξ～N(10,10)，N=20 000時，其中λ1～p(5),λ2～p(5),λ4～Exp(3)。從圖10可以看到，隨著參數(shù)的增大，圖像整體下移。超邊中舊節(jié)點的個數(shù)，即形成新超邊選擇的舊節(jié)點個數(shù)。當k一定時，隨著參數(shù)的增大概率減小，即節(jié)點個數(shù)增多代表關(guān)鍵詞增多，從而可形成的話題增多，即選擇性增大使得節(jié)點超度不隨之增大。

當m1=6，m=5，u=4，p=0.05，q=0.1，r=0.15，y～N(5,5),ξ～N(10,10)，N=20 000時，其中λ1～p(5),λ2～p(5),λ3～Exp(10)。如圖11，圖像整體向右移動，當k一定時，概率隨著a4的增大而增大。新節(jié)點被選擇形成新的超邊，超度的規(guī)模隨之擴大，即節(jié)點被選擇的概率越大，那么更大可能形成新的超邊。

圖10 參數(shù)a3的示意圖

圖11 參數(shù)a4的示意圖Fig.11 The parameter a4

6 結(jié)論

本文將超網(wǎng)絡(luò)與輿論演化結(jié)合，通過構(gòu)建4個動態(tài)過程更好地反映了輿論演化的發(fā)展變化，且在理論分析的支持下得到其結(jié)果是符合冪律分布的。同時，本文構(gòu)建的模型另一特點就是，通過對現(xiàn)實生活中不確定因素的分析來觀察超度的變化。我們使用Matlab對10個參數(shù)進行了模擬分析，并且詳述了參數(shù)對模型的影響，更好地對模型進行了一個闡述。本文的模型可以反映大多數(shù)真實系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)特征，在很多模型中是通用的。

未來的研究方向為：1)本文中節(jié)點的選擇是隨機的，但在現(xiàn)實生活中每一個節(jié)點并不是隨機出現(xiàn)或者消失的，不同的節(jié)點有不同的被選擇概率。因此，在節(jié)點的選擇這個方向可以進行進一步的研究。2)輿論傳播的發(fā)生存在周期性，并且其節(jié)點的范圍與周期相關(guān)，所以可以再進一步考慮其周期性。3)當突發(fā)性的情況發(fā)生時，輿論傳播會有很大的變化，因此，進一步的研究可以集中在網(wǎng)絡(luò)的魯棒性上。4)節(jié)點的老化及其所在超邊的老化并不是簡單的隨機老化，而是存在一定規(guī)律的，因此需要進一步的優(yōu)化。