高中數(shù)學(xué)美學(xué)認(rèn)知三境界的探討

謝錦輝

數(shù)學(xué)教育家張奠宙先生從數(shù)學(xué)教育者的角度就數(shù)學(xué)教學(xué)過程中如何展現(xiàn)數(shù)學(xué)美提出了四個(gè)層次：美觀、美好、美妙、完美，并對每個(gè)層次做詳細(xì)闡述. 本文從數(shù)學(xué)初學(xué)者角度和數(shù)學(xué)文化角度，提出初學(xué)者感悟數(shù)學(xué)美學(xué)的三種境界.

對稱性是最能給人以美感的一種形式，德國數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家魏爾曾指出：“美和對稱性緊密相關(guān).”對稱美反映了事物的秩序、簡潔、完整以及彼此的聯(lián)系，顯示了運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性和對立的統(tǒng)一性，反映了審美對象和結(jié)構(gòu)的平衡，體現(xiàn)了平衡之美.

第一境界：以形感之——以數(shù)學(xué)形態(tài)讓學(xué)生直觀感受數(shù)學(xué)美

第一境界與張奠宙先生的數(shù)學(xué)美第一層美觀是一致的. 這主要是指數(shù)學(xué)對象以形態(tài)上的對稱、和諧、簡潔，給人帶來感官上美麗、漂亮的感受. 從數(shù)學(xué)形態(tài)美入手，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)形態(tài)之美，可以讓學(xué)生對貌似繁雜的數(shù)學(xué)產(chǎn)生興趣，萌生學(xué)好數(shù)學(xué)的念頭.

在對稱美的教育中，我們可以通過對比，讓學(xué)生直觀感受“對稱”帶來的美;我們可以從自然形態(tài)中抽象出數(shù)學(xué)圖形，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)直觀形態(tài)之美，體現(xiàn)數(shù)學(xué)與自然的完美結(jié)合.

例1：美與不美——有對比才有說服力.

圖形是非常直觀的一種形式. 顯然，在上述三圖中，左右兩邊的圖具有對稱性，中間的圖給人一種怪怪的感覺，相對于中間圖形，左右兩邊的圖形會讓欣賞者更加心情愉悅.

例2：自然與數(shù)學(xué)

蜜蜂選擇正六邊形蜂巢不僅因?yàn)檎呅螌ΨQ、漂亮，還有其他更深刻的原因，但這種自然的選擇體現(xiàn)出數(shù)學(xué)對稱美與自然的和諧統(tǒng)一.

第二境界：以理服之——讓學(xué)生理性認(rèn)知數(shù)學(xué)美

如果我們僅僅停留在對圖形美的思考，學(xué)生既無法深入提升美學(xué)素養(yǎng)，也無法深入理解數(shù)學(xué)美學(xué). 因此我們需要思考“美從何來？”“美本質(zhì)在何處”，即窮美之理，以理服之.

在以理服人的過程中，我們既可以結(jié)合生活實(shí)際，也可以與經(jīng)驗(yàn)常識結(jié)合，使學(xué)生在縱橫捭闔之間，打破數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的封閉性，不再囿于于數(shù)學(xué)本身，在數(shù)學(xué)原理、數(shù)學(xué)知識運(yùn)用、數(shù)學(xué)手段掌握上能夠更接地氣，有利于學(xué)生內(nèi)化數(shù)學(xué)知識、活用數(shù)學(xué).

在對稱美的欣賞中，我們至少可以從兩個(gè)角度進(jìn)行賞析.

第一角度：對稱美的產(chǎn)生來源于內(nèi)心的滿足. 從美學(xué)角度，美是人對自身需求被滿足時(shí)所產(chǎn)生的愉悅反應(yīng). 由對稱的性質(zhì)，我們可以對具有對稱結(jié)構(gòu)的事物“窺部分而得整體”，達(dá)到“一葉知秋”的效果;利用鏡面對稱也能達(dá)到“知一得二”的效果. 這兩種效果都可以使我們利用“較少的已知信息”獲取“較多的未知信息”，既能夠滿足“以小博大”“事半功倍”的人性，也可以使人減少對未知的恐懼，從而產(chǎn)生內(nèi)心的愉悅，美由此產(chǎn)生.

例3：利用對稱結(jié)構(gòu)進(jìn)行條件轉(zhuǎn)化.

已知直線l ∶ x-2y+8=0和點(diǎn)A（2，0）、點(diǎn)B（-2，-4），在直線上求一點(diǎn)P，使 |PA|+|PB|最小，則P點(diǎn)坐標(biāo)是_______.

分析：|PA|+|PB|≥|AB|，等號成立條件為A、B在P的兩側(cè)，顯然原題不滿足等號的條件. 若要滿足等號的條件，A、B兩點(diǎn)必須在直線的異側(cè). 為此我們可以利用對稱性質(zhì)，將點(diǎn)A轉(zhuǎn)化到直線另一側(cè)，然后利用兩點(diǎn)之間線段最短的定理得到最小值.

解：設(shè)點(diǎn)A（2，0）關(guān)于直線x-2y+8=0對稱的點(diǎn)坐標(biāo)為A′（a，b），則-b+8=0=-2? a=-2b=8，即A′（-2，8）. 結(jié)合圖形可知|PA|+|PB|≥|AB|，即三點(diǎn)A′、B、P共線時(shí)，|PA|+|PB|最小，此時(shí)直線A′B的方程為 x=-2，將x=-2代入直線x-2y+8=0可得交點(diǎn)P（-2，3）.

第二個(gè)角度：對稱美體現(xiàn)了事物平衡. 對稱是指事物整體中各個(gè)部分之間的勻稱和對等，而勻稱又往往與和諧的協(xié)調(diào)性相聯(lián)系. 這種協(xié)調(diào)即是平衡. 平衡觀的引入，為數(shù)學(xué)解題提供了思路，為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)賦予了生活氣息，也為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)賦予了哲學(xué)意義.

例4：從平衡角度思考問題的解決.

我們在推導(dǎo)橢圓方程過程中，多次利用了對稱美和平衡的思想.

（1）對稱建系

很明顯在上述三圖中，中間的建系很漂亮，左右平衡、穩(wěn)定美觀. 這種對稱建系給后續(xù)的化簡帶來美的體驗(yàn)，為最終結(jié)果的簡潔性提供保障.

（2）從平衡角度化簡代數(shù)式

根據(jù)橢圓的定義，設(shè)M（x，y）是橢圓上任意一點(diǎn)，橢圓的焦距為2c（c>0），那么焦點(diǎn)F1、F2的坐標(biāo)分別為（-c，0）、（c，0）. 根據(jù)橢圓的定義，設(shè)點(diǎn)M與焦點(diǎn)F1、F2的距離的和等于2a.

由橢圓定義可知，橢圓可以看作點(diǎn)集P={M│|MF1|+|MF2|=2a}. 所以有：

這一步的變換思路的來源即是滿足等式的平衡. 從代數(shù)式整體結(jié)構(gòu)來看，變換后等式兩邊結(jié)構(gòu)更加均衡、穩(wěn)定. 這種均衡為后續(xù)化簡提供了便利.

例5：從平衡角度思考等價(jià)轉(zhuǎn)化.

證明：對一切x∈（0，+∞），都有l(wèi)nx>■-■成立.

分析：本題從代數(shù)式結(jié)構(gòu)來看，不等號左右兩邊的結(jié)構(gòu)是不平衡的. 左邊lnx是初等函數(shù)，形式簡單;右邊為指數(shù)函數(shù)和反比例函數(shù)的和函數(shù)，研究起來非常繁雜，即便求導(dǎo)后導(dǎo)數(shù)也很復(fù)雜. 從不等式結(jié)構(gòu)均衡的角度，我們將不等號兩邊同時(shí)乘以x，將問題轉(zhuǎn)化為證明xlnx>■-■，x∈（0，+∞），這樣，左邊代數(shù)式結(jié)構(gòu)變復(fù)雜，但右邊代數(shù)式結(jié)構(gòu)變簡單，不等式結(jié)構(gòu)相對均衡，然后通過分別研究不等式兩邊的函數(shù)，得到不等式的證明.

證明：易知f（x）=xlnx的最小值 f（■）=-■. 設(shè) （x）=■-■，（x∈（0， +∞）），則？覬′（x）=■;由？覬（x）的單調(diào)性易得 ？覬（x）max=？覬（1）=-■，因此xlnx≥-■≥■-■，因?yàn)閮蓚€(gè)等號不能同時(shí)取得，所以xlnx>■-■，即對一切x∈（0，+∞），都有l(wèi)nx>■-■成立.

第三境界：以用喜之——利用對稱美解決實(shí)際問題

以理服之，能夠讓學(xué)生深刻感受數(shù)學(xué)美學(xué). 但如果不能用美學(xué)之理指引我們解決問題，于學(xué)生而言就止步于數(shù)學(xué)之門，停留在欣賞美學(xué)，不能產(chǎn)生數(shù)學(xué)的美學(xué)體驗(yàn). 因此教師需要利用數(shù)學(xué)美學(xué)解決學(xué)生遇到的數(shù)學(xué)問題，讓審美意識產(chǎn)生實(shí)際效用，使學(xué)生感受“美學(xué)之用”. 讓內(nèi)化的美學(xué)之理外顯，指導(dǎo)學(xué)生解決問題，既豐富數(shù)學(xué)美學(xué)體驗(yàn)，也能感受數(shù)學(xué)之用.

由前文所述，可以看到對稱美的產(chǎn)生來源于可以用“較小的代價(jià)”獲取“最多的信息”，因此利用對稱美可以達(dá)到“化繁為簡”的效果.

例6：已知A、B分別為橢圓E：■+y2=1的左、右頂點(diǎn)，P為直線x=6上的動(dòng)點(diǎn)，PA與E的另一交點(diǎn)為C，PB與E的另一交點(diǎn)為D.證明：直線CD過定點(diǎn).

分析：本題解法很多，但是大都涉及到直線與橢圓聯(lián)立方程、求點(diǎn)等，計(jì)算繁雜. 如果我們能夠關(guān)注到C、D點(diǎn)的對稱性，利用對稱美學(xué)可以得到一個(gè)非常漂亮的解法.

解：由橢圓的性質(zhì)可知：kAC·kBC= -■;kAD·kBD =-■;∴■=■;因?yàn)镻是直線x=6上的動(dòng)點(diǎn)，由幾何性質(zhì)可知：kAC=kPA=■;kBD=kPB=■;∴3kAC=kBD，∴■=■=■;設(shè)直線CD方程為x=sy+t，由上述可知：3kAC=kBD且3kAD=kBC

∵3kAC=kBDxC=syC+txD=syD+t? 3■=■xC=syC+txD=syD+t

2syC yD+（3t-9）yC-（t+3）yD=0……①

同理：3kAD=kBC？圯2syCyD+（3t-9）yD-（t+3）yC=0……②

則①-②得：（9-3t）（yD-yC）=（t+3）·（yD-yC）……③

∵yC≠yD，由③可知，t=■. 所以直線CD的方程為x=sy+■，因此直線CD恒過點(diǎn)（■，0）.

將數(shù)學(xué)美學(xué)教學(xué)引入高中課堂，可從直觀感知、理性認(rèn)知、學(xué)以致用三個(gè)逐層遞進(jìn)的境界認(rèn)知數(shù)學(xué)美學(xué). 在這個(gè)過程中學(xué)生能夠打破數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)封閉性，提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣、內(nèi)化數(shù)學(xué)素養(yǎng)、增強(qiáng)學(xué)習(xí)內(nèi)驅(qū)力. 更重要的是，以數(shù)學(xué)美學(xué)角度注入課堂教學(xué)，可以豐富學(xué)生情感體驗(yàn)、提升學(xué)生美學(xué)修養(yǎng)、提高學(xué)生核心素養(yǎng). 這也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的價(jià)值和意義之所在.

注：本文系廣東省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃課題“普通中學(xué)生態(tài)美育體系的研究與實(shí)踐”（課題批準(zhǔn)號：2020ZQ JK071）階段性成果.

責(zé)任編輯羅峰