三桿星型張拉整體可展結(jié)構(gòu)的運(yùn)動分析

劉賀平， 朱振東， 羅阿妮

(哈爾濱工程大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150001)

張拉整體結(jié)構(gòu)是一種由索和桿組成的空間結(jié)構(gòu)，其索構(gòu)件相互連接形成索網(wǎng)，桿構(gòu)件由內(nèi)部支撐形成預(yù)期的空間形狀。其以拉力構(gòu)件為主的設(shè)計(jì)思路，一改傳統(tǒng)的設(shè)計(jì)思想，構(gòu)建出的結(jié)構(gòu)具有許多傳統(tǒng)結(jié)構(gòu)不具備的特性。在航天領(lǐng)域，研究人員主要研究把張拉整體結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為桁架式空間可展結(jié)構(gòu)[1-2]。

桁架式空間可展結(jié)構(gòu)是一種可由折疊狀態(tài)自動展開，形成預(yù)期桁架結(jié)構(gòu)的機(jī)構(gòu)。近年來，許多機(jī)構(gòu)和研究人員都對桁架式空間可展結(jié)構(gòu)進(jìn)行了研究探索。美國已研制出多種桁架式空間可展結(jié)構(gòu)，例如AstroMesh類網(wǎng)狀天線，這些結(jié)構(gòu)都已經(jīng)應(yīng)用于實(shí)際。梁笑天[3]針對一種桁架類空間可展結(jié)構(gòu)，推導(dǎo)了用于該結(jié)構(gòu)控制中的結(jié)構(gòu)響應(yīng)靈敏度線性控制理論計(jì)算公式。郭王策[4]針對桁架變形引起網(wǎng)面張力均勻性和形面精度惡化的問題，提出一種考慮桁架變形的天線形態(tài)設(shè)計(jì)優(yōu)化方法，改善網(wǎng)面張力均勻性及形面精度。日本宇宙航空研究開發(fā)機(jī)構(gòu)[5]研制了一種用于通信服務(wù)的構(gòu)架式天線，該天線反射面為口徑19 m×17 m的橢圓形 收攏后直徑為4 m，天線形面精度、收納率和剛度都較高。

隨著天線口徑增大，環(huán)形桁架天線在展開過程中會呈現(xiàn)柔性構(gòu)件的大范圍運(yùn)動和大變形相互耦合，這極易引起整個系統(tǒng)的振動。構(gòu)件運(yùn)動副中的間隙和摩擦等因素也會造成展開過程的不同步現(xiàn)象以及運(yùn)動副的意外卡死或滑動。

星型張拉整體結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)折展所需的驅(qū)動構(gòu)件少，具有構(gòu)件運(yùn)動耦合度高和不存在傳統(tǒng)運(yùn)動副的特點(diǎn)，本文將研究將其轉(zhuǎn)化為空間可展結(jié)構(gòu)的方法，并利用運(yùn)動分析和仿真研究對所提出的展開方案的正確性進(jìn)行驗(yàn)證。基于剛度矩陣，分析外載荷對此結(jié)構(gòu)折展運(yùn)動的影響。

1 星型張拉整體結(jié)構(gòu)

三桿星型張拉整體結(jié)構(gòu)如圖1所示，它包括1根中心桿、6條徑向索、3條斜索以及3根周向分布的桿構(gòu)件。此結(jié)構(gòu)具有較好的結(jié)構(gòu)對稱性，同類構(gòu)件的長度和受力都相同。圖1中，H是結(jié)構(gòu)高度，h是中心桿端點(diǎn)到對應(yīng)端面距離，上下端面圓周半徑為ru和rd。同一個桿兩端點(diǎn)在同一底面的投影與底面形心連線所夾的角，這里稱為扭轉(zhuǎn)角φ，它也是2個端面的相位角。

徑向索總會有一個端點(diǎn)連于中心構(gòu)件的端部。當(dāng)中心構(gòu)件的長度變化時(shí)，可通過徑向索帶動其他構(gòu)件運(yùn)動，從而實(shí)現(xiàn)整體結(jié)構(gòu)外廓尺寸的變化。為了適應(yīng)整體結(jié)構(gòu)改變對構(gòu)件長度變化的要求，這里用彈簧代替3根斜索。這樣，此三桿星型張拉整體結(jié)構(gòu)就轉(zhuǎn)化為可展結(jié)構(gòu)，其可以通過中心桿的伸縮實(shí)現(xiàn)整體結(jié)構(gòu)的折展。

圖1 星型張拉整體結(jié)構(gòu)Fig.1 Star-shaped tensegrity structure

2 三桿星型張拉整體結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)建模

2.1 節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)

如圖1所示，下端面節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)求取公式為：

扭轉(zhuǎn)角可表示為[1]：

式中j取值1或2。

上端面節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)可寫為：

中心桿的端點(diǎn)n7坐標(biāo)可寫為:

另一個端點(diǎn)n8坐標(biāo)可表示為:

把以上節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)組合，即可形成整個結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)矩陣：

N=[n1n2n3n4n5n6n7n8]

2.2 構(gòu)件矢量

圖1所示結(jié)構(gòu)中，桿構(gòu)件和節(jié)點(diǎn)的連接關(guān)系如表1所示。

表1 桿構(gòu)件和節(jié)點(diǎn)的連接關(guān)系Table 1 Relations between the bars and nodes

桿構(gòu)件矩陣可寫為：

式中：bi(i=1,2,3,4)是第i根桿構(gòu)件的矢量；CB是桿連接矩陣為：

同理，索構(gòu)件矩陣可表示為：

S3×9=[s1s2s3s4s5s6s7s8s9]=N3×8·CS8×9

式中：Sl(l=1，2，…，9)是第l根索的矢量；CS是索連接矩陣。

3 折展過程運(yùn)動分析

3.1 初始位置

圖2(a)是三桿星型張拉結(jié)構(gòu)模型圖，其中，中心桿lz長度等于結(jié)構(gòu)高度H0，即h=0，φ=150°，rd=ru=r。圖2(b)為該結(jié)構(gòu)的實(shí)物圖,設(shè)圖2所示的狀態(tài)為此星型可展結(jié)構(gòu)的運(yùn)動初始狀態(tài)。

圖2 星型張拉整體可展結(jié)構(gòu)的初始狀態(tài)Fig.2 Initial state of the deployable star tensegrity

此時(shí)上下端面徑向索長度為:

lJ=r

桿長可表示為:

(1)

斜索長度可表示為:

(2)

3.2 中心構(gòu)件長度與其他參數(shù)關(guān)系

在星型結(jié)構(gòu)折展過程中，徑向索長和桿長保持不變。設(shè)替代斜索的彈簧剛度為K1。當(dāng)中心構(gòu)件伸長時(shí)，中心構(gòu)件長變?yōu)閘z=H0+2h1(2h1為中心構(gòu)件伸長量)，此時(shí)中心桿節(jié)點(diǎn)到端面的高度差h=(lz-H)/2(如圖1所示)，此時(shí)結(jié)構(gòu)端面半徑為:

(3)

桿長lB為:

(4)

斜索長lx可寫為:

(5)

結(jié)構(gòu)高度H可表示為:

(6)

扭轉(zhuǎn)角變?yōu)?

此時(shí)下端面節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)可寫為:

式中i=1,2,3。

上端面節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)可表示為:

式中i=4,5,6,節(jié)點(diǎn)n7和n8坐標(biāo)不變。

由式(1)～(6)可知，初始狀態(tài)的高度H0和r給定，星型可展結(jié)構(gòu)的初始狀態(tài)即確定，其他結(jié)構(gòu)參數(shù)也可以確定。中心構(gòu)件的伸長量給定，此結(jié)構(gòu)變形后的其他結(jié)構(gòu)參數(shù)也能夠相應(yīng)確定，變形后的構(gòu)型也隨之確定。

3.3 星型張拉整體可展結(jié)構(gòu)運(yùn)動分析思路

此星型張拉整體可展結(jié)構(gòu)的折展過程分析流程如下:

1)給定r、H0、φ，確定初始狀態(tài)的N、B、S，以及構(gòu)件長度lJ、lB、lx。

2)令中心桿長度lz=H0+2h1，計(jì)算r、h、lJ、lB、lx并求得相應(yīng)的N、B、S。

3)重復(fù)步驟2)，進(jìn)行迭代，至r為0時(shí)結(jié)束。

3.4 數(shù)值分析和仿真驗(yàn)證

令此結(jié)構(gòu)初始的端面半徑r=100 mm，H0=200 mm，扭轉(zhuǎn)角φ=150°，代替斜索的彈簧剛度為K1=1 N/mm。根據(jù)3.3節(jié)所述的折展分析思路，得到機(jī)構(gòu)折疊過程中中心構(gòu)件長度和斜索長度的關(guān)系曲線(如圖3所示)。由圖可知，隨著中心構(gòu)件長度的增加，斜索的長度也增大。當(dāng)中心構(gòu)件長度增大到最大值478.1 mm時(shí)，端面半徑r減小到0，斜索的長度也增大到最大值278.1 mm，此時(shí)斜索的長度和桿的長度相同。而中心構(gòu)件和斜索的長度差值的一半正好為100 mm，等于徑向索長lJ。

圖3 斜索長度與中心構(gòu)件長度關(guān)系曲線Fig.3 The length of the vertical cables vs. length of the central bar

在仿真軟件中建立此星型張拉整體結(jié)構(gòu)的仿真模型。圖4顯示了三桿星型結(jié)構(gòu)折疊過程中，隨著中心構(gòu)件的伸長，星型結(jié)構(gòu)形狀的變化。由圖4可知，此機(jī)構(gòu)在中心構(gòu)件的驅(qū)動下能夠?qū)崿F(xiàn)折展，從而證明了此折展方案是正確的。

在此折疊過程中，中心桿長lz和斜索長lx的變化曲線如圖5所示,從初始狀態(tài)到完全折疊，斜索伸長了71.5 mm，最后lx達(dá)到278.1 mm，等于桿長lB。

由圖5中l(wèi)z的變化曲線可知，中心桿長由200 mm伸長至477.6 mm，與理論分析獲得的中心桿最大長度為478.1 mm，兩者間有0.5 mm的誤差，這是由于仿真分析需要考慮桿構(gòu)件的截面尺寸造成的，由此驗(yàn)證模型仿真與理論計(jì)算的一致性，證明3.3節(jié)中的折展思路是正確的。

圖4 結(jié)構(gòu)折疊過程的仿真Fig.4 Simulation of structure folding process

圖5 中心桿長及斜索長度變化曲線Fig.5 Variation curves of central rod length and inclined cable length

4 外載荷對折疊過程的影響

4.1 理論分析

單個構(gòu)件的彈性剛度矩陣可表示為：

式中：ei是構(gòu)件i在其局部坐標(biāo)里的彈性剛度矩陣，此剛度矩陣為6×6矩陣；Ti為構(gòu)件i對應(yīng)的協(xié)調(diào)矩陣，它將把ei擴(kuò)展成與整個結(jié)構(gòu)廣義坐標(biāo)對應(yīng)的形式。所有構(gòu)件的彈性剛度矩陣相加，即可得到整個結(jié)構(gòu)的彈性剛度矩陣：

單個構(gòu)件的幾何剛度矩陣可表示為:

式中：gi是構(gòu)件i在其局部坐標(biāo)里的幾何剛度矩陣，此剛度矩陣同樣為6×6矩陣，由Ti把gi擴(kuò)展成與整個結(jié)構(gòu)廣義坐標(biāo)對應(yīng)的形式。所有構(gòu)件的幾何剛度矩陣相加，即可得到整個結(jié)構(gòu)的幾何剛度矩陣：

此結(jié)構(gòu)整體的剛度矩陣可表示為：

K=E+G

式中：E為彈性剛度矩陣；G為幾何剛度矩陣。

結(jié)構(gòu)的受力變形可表示為：

Δδ=K-1·F

式中：Δδ節(jié)點(diǎn)位移量；F為作用于結(jié)構(gòu)所有節(jié)點(diǎn)的外力向量。

4.2 考慮外載荷的星型張拉整體可展結(jié)構(gòu)折展思路

設(shè)桿的橫截面積AB=2×10-5m2，索的橫截面積As=0.08×10-5m2，桿的密度PB=1 500 kg/m3，索的密度Ps=1 100 kg/m3，桿的彈性模量為EB=2.66×1011Pa，索的彈性模量為Es=1.33×1011Pa，彈簧剛度K1=1 N/mm。在考慮外載荷的情況下，所修正的結(jié)構(gòu)折展步驟如下：

1)給定r、H、φ，確定初始狀態(tài)的N、B、S，得到構(gòu)件長度lJ、lB、lx。

2)根據(jù)N、B、S創(chuàng)建剛度矩陣K，將桿索構(gòu)件的重力及所受外載荷分擔(dān)在構(gòu)件連接的節(jié)點(diǎn)上，即對節(jié)點(diǎn)施加作用，求得節(jié)點(diǎn)位移δ，對N進(jìn)行修正，得到N′和中心桿位移為Δh。

3)令中心桿長度lz=H0+2h1mm，計(jì)算r、h、lJ、lB、lx并求得相應(yīng)的N、B、S。

4)創(chuàng)建星型結(jié)構(gòu)變形后剛度矩陣K，求得節(jié)點(diǎn)位移δ，對N進(jìn)行修正，得到N′。

5)重復(fù)步驟3)、步驟4)，進(jìn)行迭代，至r為0時(shí)結(jié)束。

4.3 數(shù)值仿真分析

1)軸向載荷。

分別在上端面節(jié)點(diǎn)n4、n5、n6、n8上施加與重力方向、大小相同的軸向力，并且下端面節(jié)點(diǎn)n1、n2、n3的z坐標(biāo)保持不變，機(jī)構(gòu)折疊過程中上下端面半徑ru和rd的變化曲線如圖6所示。

圖6 不同外載下的端面半徑Fig.6 The radii of the two end sections under the different axial external forces

由圖可知，中心桿在伸長至460 mm之前，上下端面半徑變化曲線處于明顯的分離狀態(tài)，也就意味著上下端面運(yùn)動不同步。但是中心桿長度超過460 mm之后，隨著中心構(gòu)件的繼續(xù)伸長，上下端面半徑的變化曲線開始重合，即在折疊的后半段，上下端面運(yùn)動同步。而且外力越大，這種上下端面不同步現(xiàn)象越為明顯，但是無論外力多大，折疊的后半段，兩者都會同步。當(dāng)外力增大至4 N時(shí)，雖然端面半徑曲線分離程度較大，但2條曲線仍然連續(xù)變化。當(dāng)外力增大至5 N時(shí)，下端面半徑的變化曲線已經(jīng)開始出現(xiàn)波動。外力增大至6 N時(shí)，兩條端面曲線不僅嚴(yán)重分離，而且均出現(xiàn)明顯的波動。這說明外載荷越大，運(yùn)動的前半段不同步現(xiàn)象越嚴(yán)重，而且整體也會發(fā)生振動。

2)徑向載荷。

除中心構(gòu)件兩端節(jié)點(diǎn)外的其他6個節(jié)點(diǎn)上施加徑向載荷F=1 N，在機(jī)構(gòu)折疊過程中上下端面半徑變化曲線如圖7所示。由圖可知，徑向載荷會使機(jī)構(gòu)在折疊過程中出現(xiàn)端面收縮不同步現(xiàn)象，而且這一不同步現(xiàn)象存在于機(jī)構(gòu)的整個運(yùn)動過程中。在運(yùn)動完成時(shí)，下端面先完成折疊。隨著徑向載荷的增大，上下端面半徑完成折疊所需的時(shí)間差會加大。

圖7 徑向載荷作用下的端面半徑Fig.7 The radii of the two end sections under the radial external forces

5 結(jié)論

1)中心桿能夠驅(qū)動的星型張拉整體結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)折展。

2)當(dāng)此結(jié)構(gòu)承受軸向載荷時(shí)，結(jié)構(gòu)會出現(xiàn)運(yùn)動不同步現(xiàn)象，這種不同步現(xiàn)象主要出現(xiàn)在運(yùn)動的前半段，隨著結(jié)構(gòu)完成折疊，不同步現(xiàn)象逐漸減弱，上下端面同時(shí)完成折疊。

3)結(jié)構(gòu)承受徑向載荷時(shí)，折疊過程中會一直存在不同步現(xiàn)象，而且下端面先完成折疊。載荷越大，不同步現(xiàn)象越嚴(yán)重。