基于有限傅立葉級數(shù)法的浮標測波算法研究

余白石，張素偉

（中國船舶重工集團有限公司第七一〇研究所，湖北 宜昌 443003）

0 引言

波浪浮標是目前常見的波浪測量儀器，由于用浮標觀測波浪不受水深的限制，且具有無人值守、自動測試等優(yōu)點，因此在波浪測量中廣泛應用。測波浮標具有良好的隨波運動特性，通過測量浮標的運動速度和位移，獲取浮標的三維運動，可以計算獲得波高、周期、方向譜等信息。

北斗衛(wèi)星導航定位系統(tǒng)可以全天候提供高精度的三維位置、三維速度和時間信息，將其應用于浮標，可以測量浮標所在波浪粒子的運動速度和位移，進而通過北斗測波算法獲得波浪的波高、波周期和波向等海洋水文信息。

目前國內外研究的測波算法主要為：有限傅立葉級數(shù)法（Finite Fourier Series Method）[1]、最大似然法（Maximum Likelihood Method）[2-3]、貝葉斯估計法（Bayesian Approach Method）[4-5]和最大熵法（Maximum Entropy Method）[6-7]等。

本文所介紹的測波算法為有限傅立葉級數(shù)法，該方法計算快速，易收斂，適用于較少數(shù)據(jù)陣列的波浪方向譜的計算。

1 北斗定位浮標測波原理

北斗定位浮標測波算法的輸入?yún)?shù)主要來源于北斗定位采集器采集的定位參數(shù)，其中包括各方向的速度分量。通過輸入的離散測量速度序列，在各方向積分獲得各方向的離散位移序列，然后通過濾波獲得低頻的波浪運動分量，將獲得的離散位移分量進行FFT分析，獲得互譜，進而計算波浪的波高、周期和波向。圖1為波浪算法的信號處理流程。

圖1 北斗波浪浮標測波算法流程Fig.1 Flow of wave measurement based on BeiDou wave buoy

1.1 波浪速度譜基本理論

波浪測量理論中應用比較廣泛的是 Longuet-Higgins模型[8]，其波面可以表示為無窮多個不同振幅、頻率、相位和入射波的余弦波的疊加，即：

式中：η(x,y,t)表示和位置及時間有關的波形函數(shù)；ωi為成分波元頻率；ki為對應于ωi的波數(shù)；θj為入射波的波向；aij和εij分別為對應于頻率和波向的振幅和相位。

假設浮標完全跟隨水面運動，則觀測到的垂直波面位移為

η(t) 的自相關函數(shù)為

式中，τ為時延。

波譜密度 Sv(f)表示波浪在一定頻率范圍內所含能量，也稱波浪的速度譜，可通過對式（3）求得的自相關函數(shù)R(τ)進行傅里葉變換來計算：

波浪的速度譜S(f)反映了波浪能量與頻率之間的關系。在實際測量中，由于北斗定位系統(tǒng)輸出的速度存在誤差，造成北斗輸出的速度譜也不能反映真實的波浪速度譜，因此需分析其誤差來源，并通過濾波減小誤差。

1.2 浮標測量數(shù)據(jù)濾波方法

北斗單點定位誤差主要來自星歷誤差[9]、星鐘誤差[10]、電離層誤差、對流層誤差、多徑效應、接收機噪聲等。表1為以上各種誤差的分析情況。

表1 北斗定位系統(tǒng)誤差分析Table 1 Error analysis of BeiDou positioning system

為了提高北斗定位系統(tǒng)的測波精度，需采用帶通濾波器減小北斗定位誤差，從而準確提取出波浪的運動參數(shù)[11]。帶通濾波函數(shù)如下：

1.3 波浪參數(shù)計算方法

要計算波浪的波高、周期和波向，必須計算方向波譜。根據(jù) Longuet-Higgins模型，隨機波浪是由無限多個不同振幅、頻率、相位及波向的成分波所迭加而成，方向波譜是描述這些成分波的能量分布[12]，它是方向和頻率的函數(shù)。

方向波譜的計算由互譜開始，互譜定義為交錯相關函數(shù)的傅立葉變換，交錯相關函數(shù)可由式（3）引申定義為

式中：η(t)為波形函數(shù)；i,j=1,2,3，表示各方向的物理觀測量；η1(t)表示垂直方向；η2(t)表示東西方向；η3(t)表示南北方向；τ為時延，Rij(τ)為其交錯相關函數(shù)?；プVφij(f)可用如下方法計算：

將式（7）表示為復數(shù)形式：

式中：Cij(f)定義為同位譜；Qij(f)定義為移位譜?；プV φij(f)和方向波譜S(f,θ)具有如下關系：

將式（9）推到為一個計算方向波譜的通式：

由于式（11）很難求解，式中的方向波譜可以以有限階數(shù)的傅立葉級數(shù)展開，如式（12），再代回上式求解，此即為有限傅立葉級數(shù)法。

結合式（8）、（11）、（12），并精確至二階，可得到各階的系數(shù)：

式中，m0和m2分別為方向波譜對方向及頻率積分后波譜的零次矩和二次矩，具體計算方法如下：

2 測試方法

為了驗證測波算法的有效性，在波浪仿真模擬器上進行了仿真測試。通過設定浮標的6種工作場景，仿真模擬器生成6種不同的浮標運動軌跡，并采用 UM330 北斗接收器采集射頻模擬器輸出的觀測信息，對采集的信息進行數(shù)據(jù)格式轉換，最終根據(jù)本文介紹的波浪測量算法計算出波浪的波高、波周期和波向。具體的測試方法流程如圖2所示。

圖2 北斗波浪浮標測波算法仿真測試流程Fig.2 Simulation test flow of wave measurement algorithm based on BeiDou wave buoy

2.1 載體軌跡生成

本次載體軌跡生成的圓周運動圓點為(Re+r,0,0)，其中Re為地球半徑，根據(jù)輸入波浪參數(shù)的不同生成不同的載體運動軌跡。波浪基本參數(shù)波高為20 m內、波向為0°～360°，波浪周期2～15 s，其中要求波浪原始觀測信息采集單次20 min。圖3是其中一組載體軌跡仿真示意圖，其圓周運動半徑r為10 m，周期T為10 s，運動軌跡傾角為Z偏Y 60°。

圖3 載體軌跡示意圖Fig.3 Carrier trajectory diagram

2.2 原始數(shù)據(jù)采集

載體運動軌跡生成之后，導入模擬器，用于產(chǎn)生射頻信號，模擬器輸出信號為BDS B1頻點信號，信號強度-130 dB·m，仿真信號時間大概25 min，原始觀測數(shù)據(jù)輸出頻率為 2 Hz。根據(jù)波浪所做圓周運動的半徑、周期和波向，共分為6個場景來采集北斗接收器的原始觀測數(shù)據(jù)，圖4為北斗接收器的示意圖，場景具體參數(shù)見。

圖4 UM330北斗接收器采集數(shù)據(jù)Fig.4 UM330 BeiDou receiver collecting data

表2 場景參數(shù)表Table 2 Scene parameter table

3 測試結果分析

根據(jù)測試方法，測波算法測量值與原始波浪參數(shù)對比表格如表3所示。

表3 測波算法仿真測試結果Table 3 Simulation test results of wave measurement algorithm

為了進一步驗證測波算法，使用某型波浪浮標開展了湖上對比測試，試驗地點為漳河水庫，水深約35 m，海況2級。該型波浪浮標搭載北斗定位測波模塊，同時內部集成成熟的IMU測波模塊。在相同試驗環(huán)境下，以IMU測波模塊測量數(shù)據(jù)為標準值，對北斗定位測波模塊進行對比分析，如圖5-7所示。

圖5 波高測量數(shù)據(jù)相對誤差分布圖Fig.5 Relative error distribution of wave height measurement data

圖6 波向測量數(shù)據(jù)相對誤差分布圖Fig.6 Relative error distribution of wave phase measurement data

圖7 波周期測量數(shù)據(jù)相對誤差分布圖Fig.7 Relative error distribution of wave period measurement data

對圖 5-7進行分析，在湖上波高數(shù)據(jù)集中在0.1～0.6 m內，波高測量數(shù)據(jù)相對誤差分布在2%～14%范圍內。波向測量數(shù)據(jù)相對誤差分布在4%～10%范圍。波周期數(shù)據(jù)測量相對誤差分布在2%～10%范圍內，且隨著波周期增加，相對誤差呈逐漸減小趨勢。北斗定位測波模塊和 IMU測波模塊在三種波參數(shù)的測量上保持較好的一致性和準確性，測量相對誤差維持在2%～10%范圍。

4 結束語

本文對波浪浮標的測波原理和仿真測試系統(tǒng)進行了研究，詳細闡述了基于有限傅立葉級數(shù)法的浮標測波算法，并通過仿真試驗及湖上對比試驗，驗證了測波算法的準確性。該測波算法可應用于裝載 GPS或北斗定位模塊的波浪浮標，在海洋監(jiān)測領域有較廣闊的應用前景。