考慮鋼筋滑移效應(yīng)的高壓隧洞襯砌配筋計(jì)算方法

蘭偉欽，肖 明

(1.武漢大學(xué)水資源與水電工程科學(xué)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖北 武漢 430072；2.武漢大學(xué)水工巖石力學(xué)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖北 武漢 430072)

水工壓力隧洞在實(shí)際運(yùn)行中受內(nèi)水壓力的作用，在高水頭條件下襯砌內(nèi)部混凝土的環(huán)向拉應(yīng)力容易超過其抗拉強(qiáng)度導(dǎo)致襯砌產(chǎn)生開裂，為防止高壓水滲入襯砌內(nèi)部銹蝕鋼筋，襯砌的配筋應(yīng)滿足限裂設(shè)計(jì)的要求[1-2]。目前，壓力隧洞襯砌的限裂配筋計(jì)算一般通過半經(jīng)驗(yàn)半理論的裂縫寬度公式進(jìn)行，并通過有規(guī)律地試算裂縫寬度直到滿足襯砌的限裂標(biāo)準(zhǔn)來確定經(jīng)濟(jì)合理的配筋面積。相關(guān)研究表明[3]，水工隧洞襯砌結(jié)構(gòu)的鋼筋應(yīng)力是影響裂縫寬度的關(guān)鍵因素之一，要算襯砌裂縫寬度首先需計(jì)算鋼筋應(yīng)力，但求解精確的鋼筋應(yīng)力較困難，傳統(tǒng)方法只能根據(jù)經(jīng)驗(yàn)公式或等效近似法估算其大小，所得結(jié)果與實(shí)際值有較大偏差。而以有限元為代表的數(shù)值方法因考慮襯砌的邊界和材料的本構(gòu)模型等影響因素，可真實(shí)地模擬襯砌在設(shè)計(jì)工況下鋼筋和混凝土的承載特征，通過迭代計(jì)算所獲得的襯砌鋼筋應(yīng)力和裂縫寬度更符合工程實(shí)際[4-5]。當(dāng)水工壓力隧洞的襯砌產(chǎn)生開裂時(shí)，鋼筋和混凝土在交界面上相對(duì)滑動(dòng)，襯砌的鋼筋應(yīng)力和混凝土的剛度均發(fā)生改變[6]。目前，現(xiàn)有的數(shù)值計(jì)算方法尚未考慮到襯砌開裂后混凝土的損傷和鋼筋的滑移效應(yīng)對(duì)鋼筋應(yīng)力的影響。

本文基于損傷有限元，提出一種考慮混凝土損傷和鋼筋滑移的水工隧洞襯砌配筋限裂計(jì)算方法：采用鋼筋混凝土組合力學(xué)模式，建立考慮滑移效應(yīng)的鋼筋應(yīng)力迭代計(jì)算方法，并根據(jù)水工隧洞襯砌限裂設(shè)計(jì)原則確定限裂配筋的計(jì)算流程。

1 鋼筋混凝土襯砌限裂配筋計(jì)算方法

本文采用彈塑性損傷有限元[7]模擬高壓隧洞襯砌-圍巖的聯(lián)合承載，其中鋼筋按彈性材料考慮，圍巖和混凝土均按照彈塑性損傷材料考慮。襯砌單元采用鋼筋混凝土組合式模型[8]模擬，混凝土單元采用八節(jié)點(diǎn)六面等參單元模擬，鋼筋單元采用桿單元模擬。

1.1 鋼筋-混凝土組合模型的力學(xué)模式

為了便于混凝土襯砌不同配筋方案的計(jì)算，又不影響有限元整體網(wǎng)格的剖分，本文采用將鋼筋模型隱埋在混凝土模型內(nèi)形成組合模型的方式來模擬鋼筋和混凝土的聯(lián)合作用(如圖1)。由于襯砌的受力鋼筋模型布置在多個(gè)混凝土單元中，可根據(jù)鋼筋線與混凝土單元表面的交點(diǎn)對(duì)鋼筋模型進(jìn)行分段，形成各個(gè)組合單元中的隱式鋼筋單元，其中鋼筋單元的兩端點(diǎn)(i,j)位置坐標(biāo)可通過聯(lián)立鋼筋線的空間曲線方程和混凝土單元的表面方程進(jìn)行求解[9]。

圖1 鋼筋在襯砌中的布置形式圖

假設(shè)鋼筋單元只存在沿桿長方向上的軸向剛度，以傳遞軸向力，其他方向的剛度為0，則組合單元中鋼筋在其軸向的剛度為：

Ka=EsAs/L

(1)

式中：Es為鋼筋的彈性模量；As為橫截面積；L為鋼筋單元兩端點(diǎn)間的距離；設(shè)l、m、n為鋼筋軸向在整體坐標(biāo)系下的方向余弦，則其整體坐標(biāo)系下的軸向剛度矩陣為：

(2)

因?yàn)殇摻顔卧请[埋在混凝土單元中的，因此還須將鋼筋單元產(chǎn)生的附加剛度迭加到混凝土單元中去。根據(jù)有限元的基本理論[7]，可推出鋼筋對(duì)混凝土的等效附加剛度為：

[Ks]=[N]T[Ka][N]

(3)

式中，[N]為混凝土單元的形函數(shù)矩陣：

[N]=[NiNj]T

(4)

式中，Ni和Nj為混凝土單元在第i點(diǎn)和第j點(diǎn)的位移插值矩陣。

將鋼筋的等效附加剛度與混凝土單元的剛度疊加即可得到鋼筋混凝土組合單元的剛度：

Ke=Kc+Ks

(5)

式中，Kc為混凝土單元的剛度。

組合單元的有限元控制方程為：

Pe=Keuc=(Kc+Ks)uc

(6)

式中：Pe為組合單元的等效結(jié)點(diǎn)荷載；uc為組合單元的結(jié)點(diǎn)位移。

1.2 考慮滑移效應(yīng)的鋼筋應(yīng)力迭代計(jì)算方法

當(dāng)內(nèi)水水頭較小時(shí)，襯砌不開裂，鋼筋和混凝土均處于彈性應(yīng)力狀態(tài)，兩者協(xié)調(diào)變形。假設(shè)混凝土襯砌在開裂前為各向同性的線彈性材料，此時(shí)鋼筋單元的應(yīng)力可按下式計(jì)算：

σs=Ka(ui-uj)=Ka(Ni-Nj)uc

(7)

式中：σs為襯砌不開裂時(shí)的鋼筋應(yīng)力；ui和uj為鋼筋單元兩端點(diǎn)的位移。

當(dāng)內(nèi)水水頭較大時(shí)，襯砌承擔(dān)的內(nèi)水壓力超過其承載極限導(dǎo)致混凝土產(chǎn)生開裂，可采用Mazars根據(jù)混凝土拉伸試驗(yàn)擬合的各向同性彈性損傷模型[10]對(duì)其進(jìn)行模擬：

(8)

式中：D為混凝土的損傷系數(shù)；At和Bt為試驗(yàn)曲線的擬合常數(shù)；εt為混凝土的極限拉伸應(yīng)變；ε為混凝土襯砌單元的第一主應(yīng)變。

當(dāng)襯砌產(chǎn)生損傷開裂時(shí)，襯砌混凝土因結(jié)構(gòu)內(nèi)部微裂隙的累積而變形增大，彈性模量和單元?jiǎng)偠葴p小，同時(shí)襯砌混凝土所承擔(dān)的荷載減小，鋼筋所承擔(dān)的荷載增大。將混凝土單元的彈性模量或剛度按損傷系數(shù)折減，鋼筋和混凝土承擔(dān)的變形荷載按損傷系數(shù)分配[11]。若不考慮混凝土開裂，鋼筋和混凝土共同承擔(dān)的變形荷載為：

P=Ps+Pc=(EsAs+EcAc)εc

(9)

式中：Ec為混凝土的彈性模量；Ac為混凝土單元的橫截面積；εc為組合單元的應(yīng)變。

混凝土開裂后鋼筋所承擔(dān)的荷載為：

(10)

將式(9)代入式(10)得到襯砌開裂后的鋼筋應(yīng)力：

(11)

式(11)的計(jì)算條件為襯砌組合單元中混凝土產(chǎn)生開裂后鋼筋不產(chǎn)生滑移，事實(shí)上襯砌開裂時(shí)鋼筋與混凝土是不協(xié)調(diào)變形的，兩者在交界面上產(chǎn)生相對(duì)滑動(dòng)且襯砌出現(xiàn)宏觀裂縫，此時(shí)鋼筋對(duì)混凝土的約束作用減小。本文假定襯砌開裂后組合單元內(nèi)產(chǎn)生虛裂縫(如圖2)，且其大小近似為混凝土單元產(chǎn)生損傷后與鋼筋單元在交界面上的位移差值s。將式(11)代入Broms和Lutz提出的裂縫寬度經(jīng)驗(yàn)公式[12]可計(jì)算得到裂縫寬度為：

(12)

式中：A=2dr，d為混凝土的保護(hù)層厚度；r為鋼筋間距。

圖2 虛裂縫在襯砌單元中的分布圖

當(dāng)混凝土產(chǎn)生損傷開裂時(shí)，組合單元內(nèi)鋼筋單元與考慮損傷后的混凝土單元的應(yīng)力差值為Δσs=EsΔε=Ess/L，將其作為鋼筋單元應(yīng)力增量產(chǎn)生的附加荷載反向迭加到鋼筋單元的結(jié)點(diǎn)上并轉(zhuǎn)化為組合單元的等效結(jié)點(diǎn)荷載：

(13)

聯(lián)立式(6)和式(13)得到組合單元第一次考慮損傷后的有限元控制方程：

(14)

根據(jù)修正模型中所有組合單元的剛度和等效結(jié)點(diǎn)荷載，合成整體控制方程，再次求解各組合單元的應(yīng)力應(yīng)變和損傷系數(shù)并進(jìn)行下一步迭代，重復(fù)至相鄰兩次迭代計(jì)算的鋼筋應(yīng)力滿足式(15)則認(rèn)為滿足精度要求：

|(σsn-σs(n-1))/σsn|≤α

(15)

迭代精度α取0.01，σsn為混凝土襯砌在設(shè)計(jì)條件下的鋼筋應(yīng)力，該應(yīng)力結(jié)果考慮了混凝土的損傷以及襯砌開裂后鋼筋的滑移效應(yīng)，將其代入式(12)可求得組合單元的裂縫寬度wn，進(jìn)一步對(duì)襯砌進(jìn)行限裂配筋計(jì)算。

1.3 配筋迭代計(jì)算

根據(jù)水工隧洞的限裂設(shè)計(jì)原則[1]，襯砌的配筋設(shè)計(jì)應(yīng)使得裂縫寬度不大于設(shè)計(jì)允許值[w]max。為獲得滿足限裂要求又經(jīng)濟(jì)合理的配筋方案，襯砌配筋可按以下流程計(jì)算：①根據(jù)結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度條件確定初始配筋方案，按線彈性有限元法[4]確定初始配筋量；②利用線彈性有限元法求解襯砌的裂縫寬度并驗(yàn)算，若裂縫寬度超過設(shè)計(jì)允許值，則增大配筋量使其小于并接近允許值，若裂縫寬度遠(yuǎn)小于允許值則減小配筋量使其接近允許值，直到滿足設(shè)定的誤差范圍β[w]max≤wn≤[w]max，其中β為試算精度，取值接近于1。迭代過程中襯砌的配筋量可按縫寬與最大設(shè)計(jì)允許值的比值進(jìn)行調(diào)整，即An+1=Anwn/[w]max，經(jīng)試驗(yàn)一般通過少數(shù)幾次迭代即可得到滿足要求的配筋面積。水工隧洞襯砌的限裂配筋計(jì)算具體可按圖3所示步驟進(jìn)行。

2 工程算例

2.1 模型參數(shù)介紹

以魯?shù)乩娬镜?號(hào)引水隧洞為例，隧洞埋深約200 m，隧洞的開挖斷面為圓形，開挖洞徑11 m，施加襯砌后隧洞的過水洞徑9.4 m。襯砌的混凝土等級(jí)為C25，厚度0.8 m，采用雙層對(duì)稱Ⅱ級(jí)鋼筋布置，鋼筋保護(hù)層的厚度為25 mm。模型的初始地應(yīng)力采用巖體自重產(chǎn)生的應(yīng)力場(chǎng)。不考慮襯砌所受外水作用，內(nèi)水壓力按面荷載逐步施加在襯砌單元內(nèi)表面，襯砌運(yùn)行時(shí)內(nèi)水壓力水頭為130 m。有限元模型各項(xiàng)材料參數(shù)取值見表1。引水洞的三維有限元模型如圖4(a)所示，最大水頭下襯砌線彈性配筋計(jì)算的環(huán)形鋼筋內(nèi)外側(cè)面積為17 200 mm2，按Φ28@35的布置方案組合在襯砌單元中(圖4(b))，襯砌的允許裂縫寬度假設(shè)為0.25 mm。

圖3 水工隧洞襯砌的限裂配筋計(jì)算流程圖

表1 有限元模型材料參數(shù)表

圖4 三維計(jì)算模型圖

2.2 結(jié)果分析

2.2.1 鋼筋混凝土襯砌損傷開裂分析

在引水隧洞充水過程中，隨內(nèi)水壓力變化，襯砌混凝土單元的損傷分布見圖5。當(dāng)內(nèi)水壓力較小時(shí)，襯砌處于彈性階段，混凝土單元和鋼筋單元共同承擔(dān)內(nèi)水荷載，二者協(xié)調(diào)變形。當(dāng)內(nèi)水水頭達(dá)到40 m左右時(shí)，襯砌腰部內(nèi)側(cè)開始出現(xiàn)損傷開裂破壞，損傷量值由兩側(cè)腰部向底部和頂部減小。此后隨內(nèi)水壓力繼續(xù)增大，襯砌內(nèi)部微裂隙累積，腰部混凝土單元損傷破壞逐漸增大，并逐漸向頂部和底部擴(kuò)張。當(dāng)內(nèi)水水頭達(dá)到100 m左右時(shí)，襯砌的腰部混凝土單元損傷量值都超過0.85，襯砌產(chǎn)生貫穿裂縫。

圖5 不同水頭下襯砌混凝土損傷破壞分布圖

以上分析表明，襯砌在內(nèi)水作用下的危險(xiǎn)區(qū)域位于兩側(cè)腰部，不同水位下襯砌斷面不同角度截面的鋼筋應(yīng)力分布見圖6。內(nèi)水水頭較小時(shí)鋼筋應(yīng)力的量值較小且分布均勻，襯砌未產(chǎn)生開裂。當(dāng)內(nèi)水水頭達(dá)到40 m時(shí)襯砌產(chǎn)生裂縫，環(huán)向鋼筋腰部的應(yīng)力較大。當(dāng)內(nèi)水壓力增大到100 m左右，襯砌斷面兩側(cè)腰部的鋼筋應(yīng)力增幅變大，其余部位增幅較小，原因是襯砌混凝土產(chǎn)生貫穿裂縫后，混凝土失去承載能力，內(nèi)水荷載主要轉(zhuǎn)移到鋼筋承擔(dān)，此后隨內(nèi)水繼續(xù)增加，襯砌開裂處鋼筋單元和混凝土單元的相對(duì)滑移增大，相對(duì)應(yīng)的環(huán)向鋼筋應(yīng)力也逐漸增大。當(dāng)內(nèi)水施加到運(yùn)行水位時(shí)，襯砌腰部鋼筋的應(yīng)力值達(dá)到156.7 MPa，與其他部位的鋼筋應(yīng)力差值達(dá)90 MPa。由此可知，襯砌在產(chǎn)生開裂現(xiàn)象后，鋼筋與混凝土之間的粘結(jié)作用使鋼筋的應(yīng)力分布極不均勻，混凝土損傷開裂越大，所對(duì)應(yīng)的鋼筋應(yīng)力也越大。線彈性配筋方案在運(yùn)行水位下的最大鋼筋應(yīng)力只占鋼筋抗拉強(qiáng)度設(shè)計(jì)值的52.23%，說明該配筋方案滿足襯砌的強(qiáng)度設(shè)計(jì)要求，但并未充分利用鋼筋的有效承載能力。

斷面最大裂縫寬度與內(nèi)水壓力關(guān)系見圖7。當(dāng)內(nèi)水水頭較小時(shí)襯砌受力狀態(tài)良好、未產(chǎn)生宏觀裂縫，隨著隧洞內(nèi)部水頭不斷增高，襯砌的最大裂縫寬度不斷增大，當(dāng)內(nèi)水水頭增大到100 m左右時(shí)，裂縫寬度的增幅變大。當(dāng)內(nèi)水壓力施加到運(yùn)行水位130 m后，最大裂縫寬度達(dá)到0.192 mm。引水洞的襯砌結(jié)構(gòu)運(yùn)行時(shí)的最大裂縫寬度占最大裂縫寬度允許值的76.8%，說明襯砌的配筋滿足襯砌限裂設(shè)計(jì)要求，且其安全度有一定富余。

圖6 襯砌鋼筋應(yīng)力分布圖

圖7 襯砌斷面最大裂縫寬度統(tǒng)計(jì)圖

綜上，引水隧洞的鋼筋混凝土襯砌在內(nèi)水作用下表現(xiàn)出明顯的非線性承載特征，采用考慮滑移的組合式數(shù)值模型可有效模擬水工襯砌的損傷開裂行為。

2.2.2 配筋迭代計(jì)算

根據(jù)最大裂縫寬度與設(shè)計(jì)允許值的比例調(diào)整鋼筋配置量，按照1.3節(jié)中的配筋流程進(jìn)行迭代計(jì)算。表2為不同配筋方案下裂縫寬度和鋼筋應(yīng)力的對(duì)比，結(jié)果表明襯砌的配筋迭代計(jì)算過程中鋼筋量的調(diào)整對(duì)襯砌混凝土的受力特性產(chǎn)生明顯影響。隨配筋量的減小，襯砌的最大裂縫寬度和鋼筋最大應(yīng)力增大，襯砌混凝土在內(nèi)水荷載作用下產(chǎn)生的損傷破壞也不斷增大。襯砌第3次迭代計(jì)算的鋼筋面積為7 840 mm2，最大裂縫寬度為0.246 mm，在設(shè)計(jì)允許值(0.25 mm)以內(nèi)，鋼筋應(yīng)力也小于其設(shè)計(jì)強(qiáng)度(300 MPa)，第4次迭代計(jì)算的裂縫寬度(0.278 mm)超過了設(shè)計(jì)允許值。據(jù)此可確定當(dāng)引水隧洞的內(nèi)水水頭為130 m，圍巖為Ⅳ類圍巖時(shí)襯砌所需的最小配筋面積為7 840 mm2。

表2 鋼筋混凝土襯砌非線性配筋迭代計(jì)算表

2.2.3 結(jié)果驗(yàn)證

為驗(yàn)證上述配筋結(jié)果的合理性，采用傳統(tǒng)的邊值法和公式法[2]進(jìn)行驗(yàn)算，Ⅳ類圍巖且內(nèi)水水頭130 m條件下的結(jié)果分別為28 260、1 200 mm2。由于邊值法假定襯砌在承受內(nèi)水壓力過程中不出現(xiàn)裂縫，未考慮到襯砌在加載過程中混凝土單元進(jìn)入塑性和損傷開裂后結(jié)構(gòu)內(nèi)力的重新分布，導(dǎo)致配筋量計(jì)算偏大，與實(shí)際不符；公式法假定襯砌開裂運(yùn)行，但并未考慮襯砌開裂后鋼筋在裂縫界面上應(yīng)力分布不均的特征，故導(dǎo)致鋼筋應(yīng)力和配筋量結(jié)果偏小。本文的配筋結(jié)果介于邊值法和公式法之間，更為合理。

圖8為魯?shù)乩娬?號(hào)引水隧洞正常運(yùn)行后測(cè)定的鋼筋應(yīng)力實(shí)測(cè)值，實(shí)測(cè)鋼筋最大應(yīng)力值(134 MPa)略小于本文計(jì)算值189.3 MPa，原因是數(shù)值分析采用的內(nèi)水荷載包括水擊壓力，大于襯砌正常運(yùn)行工況的內(nèi)水荷載，且運(yùn)行工況下實(shí)際的配筋設(shè)計(jì)面積(4 900 mm2)與本文計(jì)算結(jié)果量值相近。綜上，本文的非線性配筋方法是合理的。

圖8 魯?shù)乩娬?號(hào)引水隧洞鋼筋應(yīng)力實(shí)測(cè)曲線圖

3 結(jié) 語

本文基于鋼筋混凝土非線性有限元，建立考慮鋼混凝土損傷和鋼筋滑移效應(yīng)的高壓隧洞襯砌限裂配筋計(jì)算方法,并應(yīng)用于魯?shù)乩娬疽矶矗Y(jié)果表明該方法具有以下優(yōu)點(diǎn)：

1)該方法能有效反映鋼筋與混凝土的聯(lián)合作用：隨配筋迭代計(jì)算中配筋量的增大，襯砌混凝土的受力特性得到改善，襯砌最大裂縫寬度、混凝土損傷系數(shù)、鋼筋最大應(yīng)力都相應(yīng)減小。

2)該方法能考慮鋼筋與混凝土單元的不協(xié)調(diào)變形對(duì)鋼筋應(yīng)力的影響：襯砌產(chǎn)生開裂后，鋼筋與混凝土之間產(chǎn)生滑移導(dǎo)致襯砌的鋼筋應(yīng)力分布極不均勻，混凝土的損傷越大對(duì)應(yīng)的鋼筋應(yīng)力越大。

3)該方法可彌補(bǔ)線彈性有限元法因內(nèi)力分析和配筋設(shè)計(jì)原理不匹配而導(dǎo)致配筋量較實(shí)際偏大的問題，所得配筋結(jié)果更加經(jīng)濟(jì)合理，為水工隧洞混凝土襯砌的配筋設(shè)計(jì)提供參考。