淺談拉格朗日中值定理的幾種證明方法

王建云 全宏波 趙育林

【摘要】拉格朗日中值定理建立了函數(shù)值與導(dǎo)數(shù)之間的定量關(guān)系，是研究函數(shù)區(qū)間性質(zhì)的重要理論工具.本文介紹了拉格朗日中值定理的幾種證明方法，如利用羅爾定理、作差法、常數(shù)k值法、行列式法、坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)法、積分法等.

【關(guān)鍵詞】拉格朗日中值定理;輔助函數(shù);證明

一、引 言

拉格朗日中值定理為微分學(xué)中的基本定理之一，是法國(guó)數(shù)學(xué)家拉格朗日（Lagrange）在其著作《解析函數(shù)論》中提出的，并給出了初步的證明.拉格朗日中值定理能夠?qū)⒑瘮?shù)與其導(dǎo)數(shù)聯(lián)系起來(lái)，反映了可導(dǎo)函數(shù)在閉區(qū)間上的整體的平均變化率與區(qū)間內(nèi)某點(diǎn)的局部變化率的關(guān)系，是分析和討論函數(shù)在區(qū)間上具有某些性質(zhì)的重要方法，在微分中值定理中處于核心地位.關(guān)于拉格朗日中值定理的證明，有一些文獻(xiàn)也進(jìn)行了相關(guān)的討論和研究.為了幫助學(xué)生加深對(duì)拉格朗日中值定理的理解，更好地掌握該定理的精髓及應(yīng)用技巧，本文對(duì)證明拉格朗日中值定理時(shí)輔助函數(shù)的構(gòu)造進(jìn)行探討，這也是證明該定理的一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn).

二、拉格朗日中值定理的證明

拉格朗日中值定理：若函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，則至少存在一點(diǎn)ξ∈（a，b），使得

（一）利用羅爾定理

當(dāng)函數(shù)f（x）滿足條件f（a）=f（b）時(shí)，拉格朗日中值定理就是羅爾定理，表明羅爾定理為拉格朗日中值定理的一種特殊形式.因此對(duì)拉格朗日中值定理作適當(dāng)變形，就可以利用羅爾定理來(lái)證明.

三、結(jié) 語(yǔ)

通過(guò)上述討論可知，證明拉格朗日中值定理的關(guān)鍵是構(gòu)造一個(gè)輔助函數(shù)，且其構(gòu)造的方法靈活多變.在學(xué)習(xí)的過(guò)程中同學(xué)們要積極探究，善于思考和運(yùn)用學(xué)過(guò)的知識(shí)，將冰冷的數(shù)學(xué)理論變得火熱，將枯燥的數(shù)學(xué)證明變得有趣.

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