含橡膠連桿平行四邊形機(jī)構(gòu)的非線性動(dòng)力學(xué)分析

程壽國 ，劉 毅 ，蘇春芳 ，劉洪斌

（1.上海大學(xué) 機(jī)電工程與自動(dòng)化學(xué)院，上海 200072；2.江陰職業(yè)技術(shù)學(xué)院 a.機(jī)電工程系，b.計(jì)算機(jī)科學(xué)系，江蘇 江陰 214405；3.國家電網(wǎng)湖北省電力有限公司 五峰縣供電公司，湖北 宜昌 443413）

0 引言

橡膠材料的阻尼特性和非線性特性研究已經(jīng)引起了許多學(xué)者的關(guān)注.Balasubramanian 等［1］研究了橡膠矩形板阻尼與三種不同耗散模型的關(guān)系，并用激光多普勒測振儀進(jìn)行了驗(yàn)證.Menga 等［2］討論了幾何參數(shù)和材料參數(shù)對橡膠層滾動(dòng)軸承動(dòng)態(tài)特性的影響，他們發(fā)現(xiàn)周期性和非周期性動(dòng)力學(xué)響應(yīng)同時(shí)存在.Gong等［3］研究了車身低頻模態(tài)的平順性和振動(dòng)能量對橡膠元件環(huán)境溫度降低的影響.為了保證車輛在一定速度下具有良好的乘坐舒適性，他們提出了橡膠部件工作的合理環(huán)境溫度范圍.Luo［4］和Shi［5］還研究了橡膠彈簧模型的非線性動(dòng)力學(xué)在車輛動(dòng)力學(xué)中的應(yīng)用.Xiao等［6-8］提出了往復(fù)壓縮機(jī)出現(xiàn)故障時(shí)的非線性動(dòng)力學(xué)問題，他們研究了平動(dòng)關(guān)節(jié)的間隙、旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)的間隙和考慮活塞桿為柔性桿時(shí)多種情況下的非線性動(dòng)力學(xué)行為.Zhao等［9］介紹了往復(fù)式壓縮機(jī)平面間隙剛?cè)狁詈蟿?dòng)力學(xué)的仿真與優(yōu)化問題.

以上學(xué)者主要研究了橡膠件的靜力學(xué)問題和剛性桿機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)中的非線性動(dòng)力學(xué)問題.本文主要分析帶有橡膠連桿的平行四邊形機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)行為，并用有限元法對其進(jìn)行剛?cè)狁詈戏治?，為含橡膠構(gòu)件的動(dòng)力學(xué)研究和含大變形構(gòu)件的非線性研究提供參考.

1 含橡膠連桿的平行四邊形機(jī)構(gòu)簡介

圖1 為平行四邊形機(jī)構(gòu)示意圖.曲柄OA 是一個(gè)驅(qū)動(dòng)曲柄，它以恒定速度旋轉(zhuǎn).連桿AB 的材料為橡膠，BC桿為從動(dòng)曲柄.驅(qū)動(dòng)曲柄OA的長度與從動(dòng)曲柄BC的長度相同.連桿AB的長度與機(jī)架桿OC的長度相同.當(dāng)OA，AB，BC 和OC 均為剛性桿時(shí)，則OA 和BC 的轉(zhuǎn)速完全相同，即輸入轉(zhuǎn)速和輸出轉(zhuǎn)速相同.當(dāng)桿AB為橡膠材料時(shí)，橡膠材料的特性使得桿AB往往不能被認(rèn)為是一個(gè)剛性桿.在桿OA的驅(qū)動(dòng)下，連桿AB 將發(fā)生較大的變形和彎曲，使得桿BC 的動(dòng)力特性比全剛體時(shí)復(fù)雜得多.圖2 為橡膠連桿AB 的尺寸圖.連桿AB的有效長度為220 mm，連桿厚度為10 mm，呈細(xì)長孔狀（延長孔）.在桿AB兩側(cè)的半圓中心分別開一個(gè)直徑為15 mm 的軸承孔，兩個(gè)軸承孔與各自相連的兩個(gè)曲柄軸承孔平面鉸連接.曲柄OA 和曲柄BC的形狀相似，旋轉(zhuǎn)鉸中心的距離為100 mm.

圖1 平行四邊形機(jī)構(gòu)示意圖

圖2 橡膠連桿AB的尺寸圖

2 含橡膠連桿的平行四邊形機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)分析

為了研究橡膠連桿的材料特性，本文采用有限元法將橡膠連桿生成了柔性體.利用SimDesigner 軟件調(diào)用MSC-Nastran 求解器計(jì)算橡膠連桿的大變形，并在動(dòng)態(tài)仿真前將連桿作為柔性體激活.通過軟件仿真，可以一次計(jì)算出許多動(dòng)態(tài)參數(shù).本文以從動(dòng)曲柄的Y 方向位移、速度、加速度和角速度為研究對象，圖3為主動(dòng)曲柄轉(zhuǎn)速為75 r/min時(shí)橡膠連桿平行四邊形機(jī)構(gòu)從動(dòng)曲柄的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)時(shí)域圖.

圖3 主動(dòng)曲柄轉(zhuǎn)速為75 r/min時(shí)橡膠連桿平行四邊形機(jī)構(gòu)從動(dòng)曲柄的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)時(shí)域圖

從圖3（a）可以看出，剛?cè)狁詈舷到y(tǒng)與全剛體平行四邊形系統(tǒng)的位移曲線幾乎重合，說明橡膠桿材料柔性對Y方向位移的影響不大.

從圖3（b）可以看出，剛?cè)狁詈舷到y(tǒng)與全剛體平行四邊形系統(tǒng)的速度曲線相比較在上下頂點(diǎn)處有一些波動(dòng)，波動(dòng)約在三個(gè)周期（每個(gè)周期0.8 s）左右消失，大約從第七個(gè)周期開始逐漸增強(qiáng)，這也反映了橡膠材料的阻尼特性.從速度-時(shí)間動(dòng)力響應(yīng)時(shí)域圖可以看出，波動(dòng)逐漸減小，經(jīng)過一段時(shí)間后逐漸增大.

圖3（c）是全剛體系統(tǒng)和剛?cè)狁詈舷到y(tǒng)在Y方向加速度的時(shí)域圖.在剛?cè)狁詈舷到y(tǒng)中，加速度約在前三個(gè)周期時(shí)間內(nèi)的波動(dòng)非常明顯，遠(yuǎn)大于圖3（a）和圖3（b）中的波動(dòng).研究還表明，加速度對橡膠材料的特性非常敏感，變化劇烈.從圖中還可以看出，前三個(gè)周期變化較大，然后波動(dòng)變化逐漸減小.在曲柄轉(zhuǎn)動(dòng)3～5 s時(shí)間內(nèi)，變化不大，與速度的時(shí)域圖狀態(tài)相似.可以近似地認(rèn)為，前3 s的加速度變化是非周期性的，3～5 s是周期性的，5 s后的非周期性信號(hào)和波動(dòng)變化是逐漸增強(qiáng)的.

圖3（d）是角速度的時(shí)域圖.圖中實(shí)線為全剛體（7.853 rad/s）系統(tǒng)從動(dòng)曲柄的角速度.角速度時(shí)域圖與加速度時(shí)域圖在Y 方向的變化趨勢相似.轉(zhuǎn)動(dòng)開始時(shí)，波動(dòng)較大，約3 s后開始減小，3～5 s接近周期性信號(hào)，5 s后波動(dòng)逐漸增大.

3 系統(tǒng)的穩(wěn)定性判別

3.1 相圖觀測法

相圖觀測法是判斷系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性最直接的方法之一.如果系統(tǒng)在多個(gè)運(yùn)動(dòng)周期中的相圖是同一條閉合曲線，則可以認(rèn)為系統(tǒng)是周期性運(yùn)動(dòng).如果相圖是一條多周期、無重復(fù)的曲線，則系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)可視為非周期性運(yùn)動(dòng).它是否是混沌運(yùn)動(dòng)，還需要用其他判據(jù)進(jìn)一步分析.圖4為從動(dòng)曲柄的運(yùn)動(dòng)響應(yīng)相圖.

圖4 從動(dòng)曲柄的運(yùn)動(dòng)響應(yīng)相圖

圖4 （a）是從動(dòng)曲柄中心點(diǎn)Y 方向速度和加速度的相圖.全剛體系統(tǒng)的速度和加速度的相圖是非常平坦的橢圓形狀，剛?cè)狁詈舷到y(tǒng)的位移和加速度相圖變化劇烈.

圖4（b）是從動(dòng)曲柄中心點(diǎn)Y 方向位移和加速度的相圖.全剛體系統(tǒng)的位移和加速度相圖近似于一條100 mm長的 “線段” ，剛?cè)狁詈舷到y(tǒng)的位移和加速度相圖圍繞這條線段跳躍并劇烈變化.

圖4（c）是從動(dòng)曲柄中心點(diǎn)Y 方向位移和速度的相圖，與前兩個(gè)相圖相比，相圖清晰得多.從圖中可以看出，帶有橡膠連桿的從動(dòng)曲柄的運(yùn)動(dòng)是混沌的.

3.2 計(jì)算最大Lyapunov指數(shù)的判別法

計(jì)算最大Lyapunov 指數(shù)是判斷系統(tǒng)是否混沌的定性方法之一.如果計(jì)算得到的系統(tǒng)最大Lyapunov指數(shù)大于零，通?？梢杂脕砼袛嘞到y(tǒng)的運(yùn)動(dòng)是混沌的.

將從動(dòng)曲柄Y方向加速度仿真計(jì)算的數(shù)據(jù)導(dǎo)出到MATLAB軟件中，通過WOLF方法計(jì)算最大Lyapunov指數(shù).圖5 為當(dāng)曲柄轉(zhuǎn)速為75 r/min 時(shí)的Lyapunov 譜，求得的最大Lyapunov 指數(shù)為0.018.圖6 為當(dāng)曲柄轉(zhuǎn)速為60，90，120 r/min時(shí)，求得的最大Lyapunov指數(shù)分別為0.024 6，0.067 6和0.063 3.

在上述四種速度下計(jì)算得到的最大Lyapunov指數(shù)均為正數(shù)，可以判斷從動(dòng)曲柄的運(yùn)動(dòng)是混沌的.

圖5 轉(zhuǎn)速為75 r/min時(shí)的Lyapunov指數(shù)

圖6 轉(zhuǎn)速為60，90，120 r/min時(shí)的Lyapunov指數(shù)

4 結(jié)論

本文采用有限元法對柔性體進(jìn)行建模，并利用動(dòng)力學(xué)仿真軟件對帶橡膠連桿的平行四邊形機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)行為進(jìn)行了計(jì)算.通過分析Y 方向加速度和從動(dòng)曲柄角速度的時(shí)域圖，發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)在運(yùn)動(dòng)時(shí)間上同時(shí)存在周期性運(yùn)動(dòng)和非周期性運(yùn)動(dòng).利用相圖和最大Lyapunov 指數(shù)判斷系統(tǒng)中從動(dòng)曲柄的運(yùn)動(dòng)是混沌的.