黑洞信息佯謬：落入黑洞的信息丟失了嗎？＊

余明輝，葛先輝

上海大學 理學院物理系，上海 200444

1 黑洞信息的疑難

黑洞無毛定理[1]是指所有掉入黑洞的物質其所有信息都將失去，從而無法得知黑洞內部狀態(tài)。外部觀測者只能知道黑洞的總質量、總電荷和總角動量。雖然外部觀測者無法得知黑洞的內部信息，但這些信息并未消失，只是被“封鎖”在黑洞內部“看不見”而已。然而，霍金輻射[2]理論可推導出黑洞會通過熱輻射蒸發(fā)。由于純粹熱輻射帶不走任何的信息，但在黑洞輻射的最后，所有的內部信息將徹底消失——黑洞信息佯謬。顯然，這一結果不僅會破壞物理學中許多重要定律，如重子數(shù)守恒、輕子數(shù)守恒等，而且會給目前以量子力學的基本原理——幺正性與幾率守恒為基礎所取得的所有重要成果帶來災難。因此，黑洞信息丟失問題這一物理學危機，成為廣義相對論與量子引力這兩大物理理論碰撞的焦點。

1997年，霍金(Stephen Hawking)和另一位相對論專家索恩(Kip Thorne)就曾與粒子物理學家普瑞斯基(John Preskill)打賭(圖1)：霍金與索恩認為黑洞發(fā)出的輻射過于雜亂無章，以至于即使理論上也無法檢測到任何關于黑洞的有用信息；普瑞斯基的觀點則是，即便物理學家可能需要一套完整的量子引力理論來完美解釋其背后的機制，但信息仍會以某種方式逃離黑洞。

圖1 從左至右依次為普瑞斯基、索恩和霍金(圖來自百度網(wǎng)站)

2004年7月，霍金突然宣布他輸了，理由是：根據(jù)黑洞互補理論[3]，對于黑洞內外兩個觀測者分別而言，穿過黑洞事件視界的信息既反射出來又進入內部，永不逃逸(因為沒有人可以同時觀察到兩種情況，所以并不會產(chǎn)生矛盾)?；艚鹪纲€服輸，以一本百科全書作為賭注贈給了普瑞斯基，但索恩卻拒絕認輸，為故事后來的發(fā)展埋下伏筆。在近期的研究中，這個問題終于迎來突破性進展。理論物理學家發(fā)現(xiàn)，黑洞內部的信息的確從黑洞中完全逃逸出來，并沒有任何信息的丟失。為表彰對這一系列研究作出重要貢獻的幾位杰出物理學家，2021年的新視野物理學獎頒發(fā)給了阿姆黑利(Ahmed Almheiri)、馬克斯菲爾德(Henry Maxfield)、恩格哈爾特(Netta Engelhardt)和彭寧頓(Geoff Penington)，以表彰他們對黑洞及其輻射量子信息內容計算所作出的貢獻。雖然對于解決方法的細節(jié)還存在諸多爭議，但相信這個問題即將迎來終結。本文將以黑洞信息佯謬的提出為起點，以時間順序來介紹此工作的歷史背景與相關進展。

2 黑洞的歷史

愛因斯坦于1905年創(chuàng)建了狹義相對論，1915年又在狹義相對論的基礎上創(chuàng)建了廣義相對論。廣義相對論是物質世界的時空理論和在時空中物質運動的普遍理論?；趷垡蛩固箓ゴ笄腋挥姓軐W的思想，其將萬有引力解釋為時空的彎曲，認為萬有引力區(qū)別于其他力是一種幾何效應。廣義相對論的核心是愛因斯坦場方程：

場方程的第一個精確解是史瓦西(Schwarzschild)1916年給出的靜態(tài)球對稱真空解[4]。它描述了真空中球對稱黑洞的情況，此后將該解稱為史瓦西黑洞解。得到的時空線元為：

圖2 黑洞事件視界和奇點簡圖(圖來自Google 網(wǎng)站)

3 霍金輻射的發(fā)現(xiàn)

黑洞熱力學的發(fā)現(xiàn)使20世紀70年代成為黑洞研究的黃金期。類比熱力學的四大定律，黑洞也存在與之對應的四大定律，稱為黑洞力學四大定律。熱力學定律中最特殊的屬熱力學第二定律[9]，因為它是熱力學中唯一標明了時間箭頭的物理定律，即一個孤立系統(tǒng)的熵永不隨時間而減少。黑洞力學第二定律由霍金于1971年在宇宙監(jiān)督假設[10]和強能量條件成立前提下證明得出：黑洞的事件視界面積在順時方向永不減少。這一定律也被稱為黑洞面積定律[11]。我們不妨類比聯(lián)想，黑洞似乎是具有溫度和熵的存在，這一猜想最先是貝肯斯坦(Jacob Bekenstein)在1972年提出的[12]。他認為黑洞有熵且正比于黑洞事件視界面積。這一猜想?yún)s一直遭到相關同行強烈的反對，因為若黑洞真的是一個熱力學系統(tǒng)具有溫度與熵，那么它應該具有熱輻射，但在當時黑洞被認為是一個“只進不出”的物體，任何物質掉入黑洞將無法逃逸出來，不可能會有熱輻射。

1973年，霍金對黑洞的研究有了突破進展，他在彎曲時空中引入量子場論，嚴格證明了黑洞存在熱輻射[2]，黑洞確實具有溫度，黑洞表面積就是黑洞的熵。區(qū)別于經(jīng)典物理中的真空就是空無一物的狀態(tài)，量子物理中的真空到處都存在著量子漲落，不斷產(chǎn)生具有正負能量的正反虛粒子對，隨后很快就湮滅恢復為真空狀態(tài)。根據(jù)量子力學不確定性原理可以計算出虛粒子對產(chǎn)生和湮滅的時間極為短暫。虛粒子對不斷地產(chǎn)生與湮滅，一個粒子和它的反粒子會分開一短暫的時間。由于黑洞事件視界附近的引力場非常強，于是有四種可能：①正反粒子均落入黑洞內部；②正反粒子在黑洞外部重新相遇并湮滅為光子；③正能量粒子落入黑洞內部，負能量粒子飛向遠方出現(xiàn)在黑洞外部；④負能量粒子落入黑洞內部，正能量粒子出現(xiàn)在黑洞外部(圖3)。①②與黑洞熱輻射產(chǎn)生無關，正是③④導致黑洞熱輻射的產(chǎn)生。霍金計算了各種情況出現(xiàn)的概率，發(fā)現(xiàn)④最為常見。由此推論，黑洞有選擇地俘獲負能量粒子，導致一種不對稱、可觀測效應產(chǎn)生，即黑洞自發(fā)損失能量，也就是損失了質量。這一現(xiàn)象對于無窮遠觀測者來看，黑洞輻射出粒子，即黑洞在蒸發(fā)。

圖3 黑洞附近的真空漲落(圖來自Google 網(wǎng)站)

1976年，霍金在文章中仔細討論了黑洞蒸發(fā)所引起的問題[13]。黑洞的量子理論導致一種新的不可預測性。根據(jù)量子力學基本原理，假設黑洞形成之初是純量子態(tài)的，由于黑洞輻射是完全的黑體輻射，除了溫度沒有其他任何信息。在黑洞蒸發(fā)殆盡后，描述系統(tǒng)狀態(tài)的信息在黑洞中丟失，因此最終態(tài)不是純態(tài)而是一個混合態(tài)。這一關于黑洞信息是否丟失的問題就是著名的“黑洞信息佯謬”[14]。

該文章發(fā)表后，許多物理學家對此問題表現(xiàn)出極大的分歧并提出各自的解決方法，主流觀點有三種：①信息丟失，同霍金觀點一致，黑洞全部轉化為熱輻射，組成黑洞的所有信息隨著黑洞蒸發(fā)永遠地消失了；②信息守恒，在黑洞的霍金輻射過程中，黑洞初態(tài)的信息被釋放出來并在末態(tài)回到純態(tài)，整個物理過程中信息是守恒的，這與當時研究量子引力的物理學家包括從事粒子物理進入這一領域的物理學家的觀點一致；③信息殘留，落入黑洞的信息一部分被霍金輻射帶出，另一部分可能在黑洞蒸發(fā)的最后作為“殘留物”保留下來，或者說黑洞蒸發(fā)到一定程度就不再繼續(xù)蒸發(fā)，存在某種機制限制這一過程。總之，對于這一問題的相關研究仍在繼續(xù)進行。

4 關鍵的佩奇曲線

在霍金提出黑洞信息問題之后的20多年中，物理學家一直找不到問題的解決方案。與這些物理學家一樣，霍金曾經(jīng)的研究生佩奇(Don Page)也在考慮這個問題，但他與導師當時的想法完全相反。佩奇認為信息是能夠從黑洞的蒸發(fā)中釋放出來的，但這一過程如何實現(xiàn)呢？他認為物理學家忽略了一個重要效應——量子糾纏。雖然霍金輻射本身是不攜帶任何信息的，但一旦考慮整個系統(tǒng)，即輻射出的粒子與掉入黑洞內的粒子相互糾纏，就如同用密碼加密數(shù)據(jù)一樣，輻射出的粒子可以攜帶信息從黑洞中逃逸出來。

1993年，佩奇預測了黑洞與輻射之間的總糾纏量，即糾纏熵，并畫出“佩奇曲線”[15]。該曲線呈一個倒“V”形，表明在黑洞蒸發(fā)開始階段，由于還未發(fā)射任何輻射，糾纏熵為零。蒸發(fā)初期，隨著輻射糾纏熵開始逐漸增加，這符合霍金的預計。然而若黑洞輻射最后保留了信息，那么糾纏熵會再次變?yōu)榱悖驗榇藭r不存在黑洞。整個過程一定存在某一個時刻，經(jīng)過該時刻之后糾纏熵逐漸下降至零，稱該時刻為“佩奇時間”(圖4)。佩奇為黑洞信息問題的解決開辟了道路，他確信如果信息能夠從黑洞中釋放，那么通過計算會發(fā)現(xiàn)糾纏熵遵循佩奇曲線。

圖4 佩奇曲線(藍線為黑洞熱力學的熵；紅線為霍金計算的熵；黑線為佩奇得出的熵。圖來自quantamagazine網(wǎng)站)

問題變得更嚴重了！物理學家一直認為，只有在微觀尺度下量子引力理論才起作用，但從佩奇的觀點來看，處于佩奇時間的黑洞雖然蒸發(fā)了一部分，卻依然與量子尺度相差巨大。佩奇的分析使得信息問題變成一個悖論，它暴露了半經(jīng)典近似中的一個矛盾。

從某種方面來看，佩奇為物理學家指明了方向——只要計算糾纏熵并繪制出糾纏熵隨時間演化的曲線。若曲線遵循佩奇曲線，則說明信息守恒粒子物理學家獲得勝利；否則說明信息將會丟失，相對論主義者將會在教會中分享勝利果實。

5 巧妙而強大的工具

1994年，美國理論物理學家、弦理論的創(chuàng)始人之一蘇士侃(Leonard Susskind)，基于貝肯斯塔關于熵的深刻見解(第2節(jié)提到黑洞熵正比于事件視界面積)結合其他物理學家的想法，提出全息原理[16]。他猜測量子力學與引力的結合要求：在一個d維空間中，如全息投影一樣，可以將所有量子態(tài)信息等價編寫于一個（d-1）維的全息面上。如此大膽的想法給予物理學無限可能。讓我們來聯(lián)想一下黑洞：如果黑洞是一個量子態(tài)，那么根據(jù)全息原理它可以將所有的信息都投影在低一個維度的面上，即黑洞表面，亦事件視界。那么物理學家只需要研究事件視界面上的信息就能得知黑洞的信息。當然，這僅僅是一個猜想。

時間來到1997年，年僅29歲的物理學家馬達爾西納(Juan Maldacena)帶著他的AdS/CFT對偶[17]叩響了量子引力的大門。他發(fā)現(xiàn)在一種特定情況下，種種證據(jù)表明：一個存在引力的五維時空完全等價于其邊界上無引力的四維時空。經(jīng)過深入研究之后，他又進一步推廣為：一個(d+1)維AdS時空的量子引力理論和一個定義在這個AdS時空邊界的共性場論對偶，即AdSd+1/CFTd對偶。左邊的AdS代表一個曲率為負的時空，即反德西特時空(anti-de Sitter)，右邊的CFT代表等價的時空的共形場理論(conformal field theory)，也就是具有共形對稱性的量子場論；右下角字母分別代表時空相應維度(圖5)。

圖5 AdS/CFT示意圖(圖來自Google 網(wǎng)站)

AdS/CFT對偶與全息原理結合得天衣無縫，對偶意味著完全等價，即一個物理系統(tǒng)可以有兩種完全等價的描述方法，雖然兩種描述方法看起來好像很不一樣。當我們在一種方法研究上舉步維艱時，完全可以在另一種方法研究上游刃有余！因此，它成為物理學家用于高能物理、量子引力、凝聚態(tài)、核物理等方面的一種全新工具。

6 簡單卻神奇的方法

將對偶的兩個方面聯(lián)系起來的關鍵是物理學家提出的量子極值表面。2006年，日本物理學家笠真生(Shinsei Ryu)和高柳匡(Tadashi Takayanagi)給出全息糾纏熵假設[18-19]。根據(jù)AdS/CFT對偶的觀點，對于一個對偶于AdS時空的邊界A中的量子場論，理論上可以通過引力計算得到A邊界面與其子區(qū)域B之間的糾纏熵。他們猜想邊界量子場論中的AB兩區(qū)域之間量子糾纏熵等價于高一維的AdS時空中極小曲面的面積(圖6)，表達式為：

其中A代表AdS時空中一個面的面積，G是引力常數(shù)，min表示所有以B區(qū)域為邊界面中最小面積的面。這個特殊的面稱為極小面，公式(3)也被稱為RT公式。

這個神奇的猜想不僅能夠作為一個漂亮、簡單的方法計算具有很強耦合的場論的糾纏熵，而且能夠有更多的預言。經(jīng)過簡單的分析發(fā)現(xiàn)，由于G值非常小(10-11數(shù)量級)，得出的量子糾纏熵是一個非常大的量。從之后的許多檢驗結果發(fā)現(xiàn)，RT公式只是給出零級近似的情況而忽略了一階之后的修正。若遵從完整的量子力學理論，RT公式只是基于時空幾何的一個經(jīng)典理論，未考慮量子理論帶來的修正。這又激發(fā)起了后續(xù)的廣泛研究。

2015年，恩格哈爾特(Netta Engelhardt)等人[20]考慮量子修正以及經(jīng)過量子修正后的糾纏熵(稱之為廣義熵)對極小面影響的兩個因素，得出了廣義熵半經(jīng)典表達式：

此時的面積不再是極小值的面積，而是廣義熵取極小值的面的面積，這個特殊面稱為“量子極值面”。式(4)右邊第一項仍然代表面積；第二項是量子效應引起的修正，代表極值面包圍區(qū)域內所有量子場所產(chǎn)生的馮·諾依曼熵；ext表示尋找所有的極值面且{∑}這些面的廣義熵均達到極值；min表示在所有極值面{∑}中，廣義熵極小的那個面。

圖6RT糾纏熵示意圖，邊界上陰影區(qū)域B的糾纏熵等價于高一維AdS時空中以B為邊界的極小曲面面積(圖來自Google 網(wǎng)站)

至此，有了工具和方法，物理學家已經(jīng)嚴陣以待，準備對如何計算黑洞蒸發(fā)過程的糾纏熵問題發(fā)起攻擊。

7 蒸發(fā)黑洞的模型

這項工作開始于2018年10月，當時高級研究所的阿姆黑利(Ahmed Almheiri)正在想如何制定黑洞蒸發(fā)的裝置。他考慮一個在AdS時空中蒸發(fā)的黑洞，因為對偶這個過程可以完全等價地在邊界CFT中描述，而CFT是基于量子力學的，根據(jù)量子力學原理的幺正性，自然得出結果：邊界的確保留了信息，黑洞也必須如此。到目前為止，至少可以實現(xiàn)在AdS時空中檢測一個蒸發(fā)的黑洞的熵是否遵循佩奇曲線，但是問題沒這么簡單。雖然理論是正確的，但實際的實驗環(huán)境與我們現(xiàn)實生活的時空或漸進平直的時空不同。在AdS時空中黑洞實際上不會蒸發(fā)，因為這個時空的邊界猶如一道無形的屏障，輻射像高壓鍋中的蒸汽一樣充滿狹小的整個空間，無論黑洞發(fā)射什么，最終都將被吸收回來，系統(tǒng)最終達到一個穩(wěn)態(tài)(圖7)。

圖7 兩種時空對比：左圖為漸進平直時空，無邊界；右圖為AdS時空俯視圖，曲率為負，存在邊界(圖來自quantamagazine網(wǎng)站)

因此，AdS時空中的黑洞經(jīng)過足夠長的時間會趨于穩(wěn)定，形成一個穩(wěn)態(tài)，且達到熱平衡，維持著不變的溫度。解決這一問題的方法也很簡單，阿姆黑利接受了同事的建議，在邊界上放置一個等效的蒸汽閥用以排除輻射并防止輻射回落[21]。問題解決后，啟動裝置，黑洞開始輻射，研究人員同時觀察空間發(fā)生了什么。

他們發(fā)現(xiàn)在黑洞蒸發(fā)的初期，邊界的糾纏熵上升，由于黑洞是整個空間中唯一的物體，故推測出其糾纏熵也在上升。到目前為止結果還是與霍金原始計算符合得不錯。隨后某一時間，量子極值面突然出現(xiàn)在黑洞事件視界內，它成為熵變化的主導因素，熵開始下降！這也是所有計算中首次出現(xiàn)的[22]。

糾纏熵隨時間演化的曲線確實遵循佩奇曲線。現(xiàn)在研究人員能夠確認黑洞釋放了信息，它以量子糾纏成為可能的高度加密形式輸出。

8 孤島的浮現(xiàn)

2019年8月，阿姆黑利和同事將注意力轉向了剩余的最后一個問題——怎樣計算黑洞輻射的糾纏熵[23]。

研究人員通過量子極值面的方法可以算出一個正在蒸發(fā)的黑洞的廣義熵，它來自于黑洞事件視界外的量子場，而考慮霍金輻射的時候，輻射熵是來自于內部。在蒸發(fā)過一段時間后，量子極值面突然出現(xiàn)，黑洞內部被劃成了兩處區(qū)域，一處是具有輻射的區(qū)域1，另一處位于黑洞內部的區(qū)域2，處于區(qū)域2中的粒子被量子極值面隔離，它們不再屬于黑洞的一部分，因此也不再對糾纏熵有貢獻。區(qū)域2與輻射區(qū)域完全隔離，猶如茫茫大海中的一座孤島，因此稱區(qū)域2為“島”(圖8)[24]。

圖8 量子極值面的出現(xiàn)使得黑洞內部被劃分成了兩個區(qū)域，而且具有輻射的區(qū)域1與內部區(qū)域2隔離，區(qū)域2稱為“島”(圖來自quantamagazine網(wǎng)站)

“島”的效應導致霍金輻射的糾纏熵降低。仿照量子極值面方法中給出的廣義熵公式，更進一步，研究人員給出了輻射熵表達式[25]：

類似于式(4)，等式右邊第一項代表面積，第二項代表量子場所產(chǎn)生的馮·諾依曼熵。值得注意的是，量子修正中不僅僅考慮了輻射所帶來的影響(輻射用字母R表示)，還考慮了“島”的貢獻(用字母I表示)，島的邊界(用?I表示)就是量子極值面，出現(xiàn)在第一項中[26-29]。利用新的公式，研究人員計算得出黑洞發(fā)出的輻射熵也同樣遵循佩奇曲線。綜上，黑洞蒸發(fā)的全過程以及其糾纏熵隨時間的變化可用圖9描述。

圖9 黑洞蒸發(fā)過程中糾纏熵隨時間演化的曲線完全遵循佩奇曲線(圖來自quantamagazine網(wǎng)站)

9 佯謬的結論與展望

經(jīng)過一系列的工作，黑洞信息佯謬可能不再稱為佯謬，物理學家終于完成了對佩奇曲線的重現(xiàn)！標志著困擾了物理學界近50年的問題迎來終結：在黑洞蒸發(fā)的過程中，確實釋放了信息，沒有任何的信息丟失。量子引力理論又邁前了一步！但同時又伴隨著更多問題的產(chǎn)生：一方面，為什么量子極值面會突然出現(xiàn)且為何使得內部粒子不再屬于黑洞？關于“島”出現(xiàn)的解釋目前研究還在繼續(xù)[30-35]；另一方面，上面的所有理論都還只是半經(jīng)典的理論，我們仍然對輻射粒子的量子態(tài)一無所知。最重要的是，計算結果僅僅表明信息逃逸出了黑洞，并沒有說明信息是如何逃逸的[36-37]。種種謎團或許只有在真正建立起量子引力理論時才可揭曉。當量子引力的大門完全被物理學家推開時，世界又會是一番怎樣的景色呢？