曲柄搖桿機(jī)構(gòu)和雙搖桿機(jī)構(gòu)的瞬心線解析法研究

劉慶，李春明,2，劉曉，曹惠

1. 中國(guó)石油大學(xué)(華東) 中國(guó)石油大學(xué)勝利學(xué)院，山東 東營(yíng)，257061

2. 中國(guó)石油大學(xué)(華東) 機(jī)電工程學(xué)院，山東 青島，266580

曲柄搖桿機(jī)構(gòu)是最簡(jiǎn)單、最普遍的平面四桿(體)機(jī)構(gòu)，任何復(fù)雜的機(jī)構(gòu)都可視為該機(jī)構(gòu)經(jīng)過演化或組合而形成的[1-3]。連桿機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)具有連續(xù)性而沒有運(yùn)動(dòng)沖擊[4]，其承載能力有限。由于間隙的作用，以轉(zhuǎn)動(dòng)副(屬于二約束副)[5]連接的構(gòu)件(體)在承載時(shí)也是點(diǎn)線接觸，且相對(duì)運(yùn)動(dòng)明顯。一些輪廓線合理的高副(滾滑副，屬于一約束副)機(jī)構(gòu)反而可承受較大的載荷且耐用。這些構(gòu)體的接觸輪廓線須精心設(shè)計(jì)以避免運(yùn)動(dòng)沖擊，如凸輪與從動(dòng)件的接觸輪廓[6]、火車輪軌接觸輪廓(包括車輪的車軌橫截面在理論上可視為雙曲柄機(jī)構(gòu)經(jīng)過高副低代(一副三代)而演化出的滾滑副機(jī)構(gòu))、鏈節(jié)與鏈齒的接觸輪廓等。根據(jù)連桿機(jī)構(gòu)的瞬心線設(shè)計(jì)滾滑副機(jī)構(gòu)的接觸輪廓具有重要的理論意義和實(shí)踐價(jià)值。

曲柄搖桿機(jī)構(gòu)的瞬心、瞬心線及瞬心圓[7]的研究目前多見于圖解法及連桿運(yùn)動(dòng)圖譜研究。解析法研究主要有文獻(xiàn)[8]的運(yùn)動(dòng)學(xué)輔助算例和文獻(xiàn)[9]的消元法方程組研究。

運(yùn)動(dòng)學(xué)研究[10-11]是動(dòng)力學(xué)研究[12]的基礎(chǔ)。構(gòu)體之間的速度瞬心屬于機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)的研究范疇[13-15]，可用于某些基于一副三代的少構(gòu)體機(jī)構(gòu)速度分析，例如飛機(jī)起落架機(jī)構(gòu)、人工椎間盤設(shè)計(jì)[16]等。本文基于直線方程、矩陣求逆和坐標(biāo)變換等研究曲柄搖桿機(jī)構(gòu)和5類雙搖桿機(jī)構(gòu)的瞬心線解析法方程。

1 平面四體機(jī)構(gòu)的瞬心線

1.1 瞬心的位置

如圖1所示的機(jī)構(gòu)ABCD，共有4個(gè)構(gòu)體、6個(gè)瞬心。作平面運(yùn)動(dòng)的3個(gè)物體之間有位于同一條直線上的3個(gè)瞬心(三心定理)。相鄰構(gòu)體之間的瞬心在其轉(zhuǎn)動(dòng)副中心。在運(yùn)動(dòng)過程當(dāng)中，連桿2與機(jī)架(固定體)4之間的瞬心P24為曲柄(轉(zhuǎn)桿)與搖桿延長(zhǎng)線的交點(diǎn)。在主動(dòng)連架桿(擺轉(zhuǎn)桿)和從動(dòng)擺轉(zhuǎn)桿平行的位置，該瞬心位于無窮遠(yuǎn)處。

圖1 平面四體機(jī)構(gòu)

主動(dòng)擺轉(zhuǎn)桿1與從動(dòng)擺轉(zhuǎn)桿3之間的瞬心P13在連桿與固定體的延長(zhǎng)線交點(diǎn)上，其軌跡與固定體AD共線。當(dāng)連桿和固定體平行時(shí)，該瞬心位于無窮遠(yuǎn)處。

1.2 連桿與固定體之間的瞬心坐標(biāo)

在圖1當(dāng)中，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以固定體AD為x1軸 ，建立平面直角固定坐標(biāo)系x1?A?x2。根據(jù)矢量方程的幾何意義[17]及構(gòu)體之間的連接關(guān)系，建立矢量方程，采用基于諧波合成與分解的方法獲得各構(gòu)體的位置角[18]，然后求出C、D點(diǎn)的坐標(biāo)。根據(jù)AB和CD的兩點(diǎn)式直線方程，該瞬心P24的坐標(biāo)滿足以下方程組：

整理式(1)，得

根據(jù)二階矩陣求逆運(yùn)算的簡(jiǎn)化公式：

兩條直線的交點(diǎn)即為P24。該點(diǎn)的坐標(biāo)為

與代入法和消元法[9]相比，上述求解方程組的矩陣運(yùn)算法更直觀、更不易出錯(cuò)。

在式(2)中，如果d等于0，則該機(jī)構(gòu)位置P24的2個(gè)坐標(biāo)值均為無窮大，只能求出兩者的比例。為了簡(jiǎn)化計(jì)算，本文不研究該位置。

再將軸轉(zhuǎn)平至x1軸 正方向，即轉(zhuǎn)動(dòng)?θ2，則連桿上的瞬心坐標(biāo)轉(zhuǎn)換為

再將B點(diǎn)平移到在固定坐標(biāo)系當(dāng)中的繪圖位置，則該瞬心坐標(biāo)轉(zhuǎn)換為

式(4)為該瞬心在連桿牽連坐標(biāo)系中的坐標(biāo)。式(5)為將動(dòng)瞬心線繪制在固定坐標(biāo)系中的依據(jù)。

1.3 主動(dòng)擺轉(zhuǎn)桿與從動(dòng)擺轉(zhuǎn)桿之間的瞬心坐標(biāo)

該瞬心為P13。 固定體與x1坐標(biāo)軸重合，AD的直線方程可采用點(diǎn)斜式，求得B、C點(diǎn)坐標(biāo)之后，BC的直線方程可采用兩點(diǎn)式。因此，P13點(diǎn)的坐標(biāo)滿足以下方程組：

整理式（6）可得：

如果連桿與固定體平行，則P13在無窮遠(yuǎn)處，式(7)會(huì)被零除。

該瞬心在主動(dòng)擺轉(zhuǎn)桿和從動(dòng)擺轉(zhuǎn)桿上牽連坐標(biāo)系中的坐標(biāo)均可根據(jù)式(3)和式(4)獲得。

1.4 曲柄搖桿機(jī)構(gòu)瞬心線的繪制

取曲柄長(zhǎng)度為200，連桿長(zhǎng)度為500，搖桿長(zhǎng)度為800，固定體長(zhǎng)度為1 000。當(dāng)式(2)的d為零時(shí)，曲柄與搖桿平行，瞬心P24在無窮遠(yuǎn)處。在圖2中，P24在固定體上的軌跡為靜瞬心線，如虛線所示；P24在連桿上的軌跡隨機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，稱為動(dòng)瞬心線，如實(shí)線所示；B點(diǎn)和C點(diǎn)的軌跡如點(diǎn)劃線所示。靜瞬心線在曲柄的延長(zhǎng)線上，在該圖可測(cè)出靜瞬心與曲柄位置的對(duì)應(yīng)關(guān)系。

圖2 曲柄搖桿機(jī)構(gòu)的定瞬心線與動(dòng)瞬心線

2 雙搖桿機(jī)構(gòu)的瞬心線

2.1 搖桿的擺動(dòng)范圍

在擺轉(zhuǎn)桿與固定體拉直共線或重疊共線的位置，如果另兩桿均能組成三角形，則該擺轉(zhuǎn)桿為曲柄，否則為搖桿。當(dāng)另兩桿重疊共線或拉直共線時(shí)，搖桿位于極限位置。據(jù)此，可確定搖桿的擺動(dòng)范圍。根據(jù)上述兩個(gè)三角形成立的條件，可得平面四體機(jī)構(gòu)存在周轉(zhuǎn)副的桿長(zhǎng)條件是：最短桿與最長(zhǎng)桿之和小于另兩桿之和。

雙搖桿機(jī)構(gòu)共有5種情況[19]：

1)有周轉(zhuǎn)副且最短桿對(duì)面的構(gòu)體為固定體。由于上述2個(gè)三角形均不成立，2個(gè)搖桿均在固定體的同側(cè)擺動(dòng)。連桿和從動(dòng)搖桿拉直共線時(shí)，主動(dòng)搖桿位于左極限位置；連桿和從動(dòng)搖桿重疊共線時(shí)，主動(dòng)搖桿位于右極限位置。主動(dòng)搖桿的轉(zhuǎn)動(dòng)范圍為

2)無周轉(zhuǎn)副且固定體最長(zhǎng)。由于上述2個(gè)三角形必有一個(gè)成立，兩搖桿均可在固定體兩側(cè)擺動(dòng)。如果主動(dòng)搖桿可對(duì)稱擺動(dòng)，則從動(dòng)搖桿的擺動(dòng)范圍一般不對(duì)稱，下同。從動(dòng)搖桿和連桿只存在拉直共線的情況。2個(gè)搖桿擺動(dòng)范圍的開口方向相對(duì)。主動(dòng)搖桿的轉(zhuǎn)動(dòng)范圍為

3)無周轉(zhuǎn)副且從動(dòng)搖桿最長(zhǎng)。連桿與從動(dòng)搖桿只有重疊共線的情況。2個(gè)搖桿均可在固定體兩側(cè)對(duì)稱擺動(dòng)，且擺動(dòng)范圍的開口方向均向左。主動(dòng)搖桿的轉(zhuǎn)動(dòng)范圍為

4)無周轉(zhuǎn)副且主動(dòng)搖桿最長(zhǎng)。連桿與從動(dòng)搖桿只有拉直共線的情況。主動(dòng)搖桿與從動(dòng)搖桿均可在固定體兩側(cè)對(duì)稱擺動(dòng)，且擺動(dòng)范圍的開口均向右。主動(dòng)搖桿的轉(zhuǎn)動(dòng)范圍為

5)無周轉(zhuǎn)副且連桿最長(zhǎng)。連桿與從動(dòng)搖桿只有重疊共線的情況。兩個(gè)搖桿均可在固定體兩側(cè)對(duì)稱擺動(dòng)，且擺動(dòng)范圍的開口相背。主動(dòng)搖桿的轉(zhuǎn)動(dòng)范圍為

在上述5種情況當(dāng)中，主動(dòng)搖桿的極限位置存在運(yùn)動(dòng)分岔現(xiàn)象，屬于歧運(yùn)動(dòng)位。如果機(jī)構(gòu)靜止，無論多么大的驅(qū)動(dòng)力也會(huì)卡住，則該歧運(yùn)動(dòng)位也稱為機(jī)構(gòu)的卡位[20-21]?？ㄎ豢捎糜阪i緊機(jī)構(gòu)。

2.2 瞬心線的繪制

對(duì)于式(8)的情況，參照1.4，取主動(dòng)搖桿AB的長(zhǎng)度為500，連桿BC的長(zhǎng)度為200，從動(dòng)搖桿CD的長(zhǎng)度為800，固定體AD的長(zhǎng)度為1 000。P24的瞬心線如圖3所示，其中虛線為靜瞬心線，實(shí)線為動(dòng)瞬心線，點(diǎn)劃線為主動(dòng)搖桿上B點(diǎn)和從動(dòng)搖桿上C點(diǎn)的擺動(dòng)軌跡。

圖3 有周轉(zhuǎn)副且固定體最長(zhǎng)的瞬心線

取4個(gè)構(gòu)體的長(zhǎng)度分別為1 000、800、500、400。對(duì)于式(9)～(12)的情況，在主動(dòng)搖桿的一個(gè)擺動(dòng)行程當(dāng)中，P24的瞬心線如圖4所示，圖線說明與圖3的相同。

圖4 無周轉(zhuǎn)副機(jī)構(gòu)的瞬心線

3 結(jié)論

1)本文推導(dǎo)的平面四體機(jī)構(gòu)的瞬心線方程具有普適性。

2)基于該方程繪制的瞬心線可為滾滑副機(jī)構(gòu)的輪廓線設(shè)計(jì)提供參考。

3)與當(dāng)前經(jīng)典機(jī)械原理學(xué)科的圖解法相比，本文的研究更容易獲得瞬心線。

4)對(duì)于平行四邊形機(jī)構(gòu)，兩曲柄之間的瞬心在無窮遠(yuǎn)處，連桿與固定體之間的瞬心也在無窮遠(yuǎn)處。從動(dòng)曲柄反轉(zhuǎn)時(shí)，這兩個(gè)瞬心也值得研究。