基于擴(kuò)散系數(shù)變化的致密儲(chǔ)層水平井CO2吞吐產(chǎn)能預(yù)測(cè)模型

羅永成， 孫靈輝， 吳振凱， 趙新禮， 蕭漢敏*

(1.中國科學(xué)院大學(xué)工程科學(xué)學(xué)院， 北京 100049； 2.中國科學(xué)院滲流流體力學(xué)研究所， 廊坊 065007；3.中國石油勘探開發(fā)研究院， 北京 100083)

非常規(guī)油氣資源儲(chǔ)量豐富[1]，成為近年來的研究熱點(diǎn)，其油氣大面積連續(xù)分布，圈閉界限不明顯[2]。致密儲(chǔ)集層非達(dá)西滲流特征明顯，具有啟動(dòng)壓差，其大小與巖心滲透率呈負(fù)相關(guān)，與石油黏度成正相關(guān)[3]。作為非常規(guī)油氣之一的致密油，其儲(chǔ)層孔喉細(xì)小，非均質(zhì)性強(qiáng)，孔隙度與滲透率極低[4]。經(jīng)過水平井體積壓裂后進(jìn)行衰竭式開發(fā)存在產(chǎn)量遞減快，地層能量補(bǔ)充困難等問題。因此，亟須探索補(bǔ)充能量的新技術(shù)與新方法，從而達(dá)到致密油藏的高效開發(fā)。

CO2吞吐采油技術(shù)自提出以來一直是研究者關(guān)注的熱點(diǎn)驅(qū)油技術(shù)。中外實(shí)踐表明，原油溶解CO2后，體現(xiàn)出原油體積膨脹，原油黍黏度和原油密度降低等優(yōu)點(diǎn)[5-6]，除此之外還具有提高地層壓力，改善油藏剖面等作用[7]。以CO2作為驅(qū)油介質(zhì)，能夠大幅度提升原油的采收率[8-9]。建立數(shù)值模型可為致密油藏水平井注CO2開采提供合理的注采參數(shù)[10]，工作參數(shù)對(duì)CO2吞吐效果具有重要的影響作用[11]，并為實(shí)際油田開發(fā)提供技術(shù)對(duì)策[10]。其中CO2分子擴(kuò)散作用對(duì)致密油注CO2開采有很積極的作用。2019年，Jia等設(shè)計(jì)了一種特殊的實(shí)驗(yàn)裝置進(jìn)行CO2吞吐實(shí)驗(yàn)。壓力隨著氣體擴(kuò)散到油相而降低，通過擬合壓力下降曲線來研究擴(kuò)散系數(shù)[12]。分子擴(kuò)散是致密油氣藏提高采收率的重要機(jī)理[13]，分子擴(kuò)散控制著油氣的混合速率，是裂縫性油氣藏特別是低滲透率基質(zhì)致密非常規(guī)油氣藏重要的采收率機(jī)制[14]。致密油CO2吞吐水平井產(chǎn)能擴(kuò)散預(yù)測(cè)模型研究較少，現(xiàn)以注蒸汽吞吐產(chǎn)能公式為研究基礎(chǔ)，根據(jù)CO2吞吐的擴(kuò)散特點(diǎn)，研究水平井單井CO2吞吐產(chǎn)能預(yù)測(cè)的解析模型，推導(dǎo)致密油藏水平井考慮CO2擴(kuò)散影響的產(chǎn)能預(yù)測(cè)數(shù)值模型，以期為現(xiàn)場(chǎng)CO2吞吐水平井開采方案設(shè)計(jì)提供指導(dǎo)。

1 CO2吞吐產(chǎn)能計(jì)算模型

從井筒進(jìn)入油層的CO2，其向地層中進(jìn)行傳質(zhì)擴(kuò)散，從而溶解在原油中。假設(shè)在油井注入CO2后，滲流區(qū)域可分為CO2擴(kuò)散和非CO2擴(kuò)散區(qū)，如圖1所示。在擴(kuò)散區(qū)Vd

表1 致密油藏基礎(chǔ)參數(shù)Table 1 The basic parameters of tight oil reservoir

rw為井眼半徑，m；rd為CO2擴(kuò)散區(qū)半徑，m；re為供油半徑，m；μd為燜井結(jié)束后擴(kuò)散區(qū)的平均黏度，mPa·s；μnd為未擴(kuò)散區(qū)的平均黏度(原始原油黏度)，mPa·s

1.1 CO2擴(kuò)散前緣預(yù)測(cè)

致密儲(chǔ)層水平井衰竭式開發(fā)產(chǎn)量遞減快，地層能量缺空，亟須合理有效的補(bǔ)充能量。注二氧化碳是一種常見的補(bǔ)充能量方式。以水平井為研究對(duì)象，圍繞水平井井筒分為擴(kuò)散區(qū)和非擴(kuò)散區(qū)。CO2的擴(kuò)散距離決定著擴(kuò)散區(qū)大小，因此預(yù)測(cè)擴(kuò)散區(qū)前緣顯得至關(guān)重要。

以圖2為擴(kuò)散前緣計(jì)算模型，在此基礎(chǔ)上建立CO2濃度分布數(shù)學(xué)模型，并作出如下假設(shè)[15-16]。

圖2 水平井CO2吞吐復(fù)合流動(dòng)模型示意圖Fig.2 Schematic diagram of the CO2 huff-n-puff composite flow model for horizontal wells

(1)擴(kuò)散系數(shù)為常數(shù)。

(2)假設(shè)地層為均質(zhì)、各向同性，且原油是均勻分布的。

(3)忽略原油膨脹及密度變化引起的自然對(duì)流影響。

(4)忽略液相的蒸發(fā)。

(5)整個(gè)擴(kuò)散過程體系溫度恒定。

擴(kuò)散傳統(tǒng)理論一般基于菲克擴(kuò)散。菲克將單位時(shí)間內(nèi)通過單位橫截面積擴(kuò)散通量與該界面濃度梯度成正比定義了介質(zhì)的擴(kuò)散定律，為菲克擴(kuò)散第一定律，即

(1)

式(1)中：J為擴(kuò)散通量，kmol/(m2·s)；D為擴(kuò)散系數(shù)，m2/s；c濃度，kmol/m3；x為擴(kuò)散方向上的距離，m。

當(dāng)不考慮化學(xué)反應(yīng)，由質(zhì)量守恒得

(2)

(3)

假設(shè)在整個(gè)擴(kuò)散過程中擴(kuò)散系數(shù)為常數(shù)，得到菲克擴(kuò)散第二定律，即

(4)

基于菲克擴(kuò)散第二定律對(duì)CO2在多孔介質(zhì)中擴(kuò)散前緣進(jìn)行推導(dǎo)，在菲克第二擴(kuò)散定律中濃度是時(shí)間和位置的函數(shù)。存在3種不同的邊界條件：①平衡邊界條件；②擬平衡邊界條件；③非平衡邊界條件。采用平衡邊界條件[16]，即界面處(井筒和地層的交界處)的濃度始終為平衡壓力下的濃度。因此擴(kuò)散偏微分方程為

(5)

以圖2為擴(kuò)散模型的初始條件為

c(x,t)=0,t=0, 0≤x≤L

(6)

邊界條件：

(7)

式中：peq為平衡壓力，MPa；ceq為平衡壓力下的濃度，kmol/m3；t為擴(kuò)散時(shí)間，s；c為濃度，kmol/m3；L為模型半徑，m。

根據(jù)Laplace變化得到解析解：

(8)

當(dāng)考慮CO2在多孔介質(zhì)中擴(kuò)散時(shí)：

(9)

式中：Deff為有效擴(kuò)散系數(shù)，m2/s；τ為迂曲度，無因次；φ為孔隙度，無因次。

代入式(8)，得

(10)

(11)

1.2 水平井產(chǎn)能預(yù)測(cè)模型推導(dǎo)

對(duì)于各向同性的均質(zhì)油藏，當(dāng)忽略毛細(xì)管力、重力和彈性膨脹的影響，在達(dá)西穩(wěn)定滲流條件下。美國Joshi利用電場(chǎng)流理論，假定水平井的泄油體是以水平井兩端點(diǎn)為焦點(diǎn)的橢圓體，將三維滲流問題簡(jiǎn)化為垂直及水平面內(nèi)的二維問題，Joshi公式[17-18]為

(12)

式(12)中：h為油藏厚度，m；K′為地層滲透率，mD；Y為水平井水平段長度，m；q為水平井油井產(chǎn)油量，m3/d；μo為地層原油黏度，mPa·s；pe為泄油區(qū)邊界壓力，MPa；pwf為井底流壓，MPa。

Joshi提出的水平井產(chǎn)能公式目前得到了廣泛的應(yīng)用[19-21]，將以此為基礎(chǔ)進(jìn)行推導(dǎo)計(jì)算。在CO2吞吐水平井未注CO2時(shí)，油層中的流體的滲流關(guān)系為

(13)

當(dāng)向水平井中注入CO2，CO2在地層中擴(kuò)散，使得原油的黏度降低，形成CO2擴(kuò)散區(qū)：

(14)

CO2在水平井中未擴(kuò)散到的地方形成未擴(kuò)散區(qū)：

(15)

式(15)中：rnd為CO2未擴(kuò)散區(qū)域半徑，m；K為地層絕對(duì)滲透率，mD；Kroc為油相相對(duì)滲透率，無因次；Krocd為擴(kuò)散區(qū)油相相對(duì)滲透率，無因次；Krocnd為未擴(kuò)散區(qū)油相相對(duì)滲透率，無因次；qd為擴(kuò)散區(qū)的泄油量，m3/d；qnd為擴(kuò)散區(qū)的泄油量，m3/d；μd為擴(kuò)散區(qū)地層原油黏度，mPa·s；μnd為非擴(kuò)散區(qū)地層原油黏度，mPa·s。

根據(jù)質(zhì)量連續(xù)性原理，在擴(kuò)散區(qū)和未擴(kuò)散區(qū)界面處的流量相同，則

qnd=qd=q。

定義擴(kuò)散區(qū)和未擴(kuò)散區(qū)的幾何形狀影響因子分別為Ad、And，則

(16)

(17)

式(14)、式(15)相加，得

(18)

CO2吞吐水平井的采油指數(shù)J計(jì)算模型為

(19)

原油的黏度和CO2的擴(kuò)散系數(shù)存在著一定的聯(lián)系D?2.0×10-5(m2·mPa)/μ(mPa·s)[15]，由此得

(20)

式(20)中：C為常數(shù)，m2·mPa。

2 影響因素分析

2.1 擴(kuò)散系數(shù)對(duì)擴(kuò)散前緣的影響

分子擴(kuò)散是天然裂縫性油氣藏提高采收率的重要機(jī)理[13]，分子擴(kuò)散控制著油氣的混合速率，是裂縫性油氣藏特別是低滲透率基質(zhì)致密非常規(guī)油氣藏重要的采收率機(jī)制[14]。因此，需要采用適當(dāng)?shù)姆椒ㄔ趯?shí)驗(yàn)室中獲得可靠的擴(kuò)散系數(shù)。分子擴(kuò)散在 CO2采油過程中發(fā)揮著重要的作用。很多學(xué)者在實(shí)驗(yàn)室條件下通過不同的方法得到了CO2在不同介質(zhì)中的擴(kuò)散系數(shù)[22]。

擴(kuò)散系數(shù)是預(yù)測(cè)CO2擴(kuò)散前緣的關(guān)鍵參數(shù)。因此，在前人研究的基礎(chǔ)上通過公式推導(dǎo)，得到CO2擴(kuò)散前緣預(yù)測(cè)公式。使用MATLAB編程得到在不同擴(kuò)散系數(shù)下，無因次擴(kuò)散濃度隨無因次距離的變化結(jié)果圖(圖3)。在擴(kuò)散時(shí)間為 120 d時(shí)，擴(kuò)散系數(shù)在(0.66～0.68)×10-9m2/s變化。結(jié)果表明：擴(kuò)散系數(shù)的大小對(duì)無因次濃度分布的影響較大，在相同的擴(kuò)散時(shí)間下，擴(kuò)散系數(shù)為0.68×10-9m2/s的無因次擴(kuò)散距離是0.66×10-9m2/s的9.09倍。因此，通過技術(shù)手段提高CO2在儲(chǔ)層中的擴(kuò)散系數(shù)，可在一定程度上增加CO2的波及范圍。

圖3 不同擴(kuò)散系數(shù)下無因次濃度的變化Fig.3 The change of dimensionless concentration under different diffusion coefficients

2.2 擴(kuò)散時(shí)間對(duì)擴(kuò)散前緣的影響

擴(kuò)散時(shí)間也就是在CO2吞吐過程中的燜井時(shí)間，合理的燜井時(shí)間應(yīng)該根據(jù)油井的地質(zhì)條件及CO2驅(qū)替和溶解情況, 在實(shí)踐中取得可靠的資料再定。目前還沒有統(tǒng)一的燜井時(shí)間計(jì)算方法。Monger等[23]指出，CO2吞吐需要一個(gè)合理的燜井時(shí)間，以獲得最大的采收率。

為了研究擴(kuò)散時(shí)間對(duì)無因次濃度的影響，通過控制擴(kuò)散系數(shù)研究不同擴(kuò)散時(shí)間下無因次濃度的分布情況。如圖4所示，采用擴(kuò)散系數(shù)為68×10-9m2/s，擴(kuò)散時(shí)間從30 d增加到280 d。結(jié)果表明，從30 d增加到280 d時(shí)，CO2的無因次擴(kuò)散距離分別為0.46、0.64、0.79、0.92、1.17和1.52?？梢姛o因次擴(kuò)散距離隨著擴(kuò)散天數(shù)的增加而增加。

圖4 不同擴(kuò)散時(shí)間下無因次濃度的變化Fig.4 Changes in dimensionless concentration at different diffusion times

2.3 擴(kuò)散系數(shù)對(duì)采油指數(shù)影響

CO2與原油作用時(shí)，有萃取機(jī)理、混相機(jī)理、擴(kuò)散機(jī)理，這也是CO2的主要增油機(jī)理[24-25]。擴(kuò)散系數(shù)是擴(kuò)散機(jī)理的主要參數(shù)。如圖5所示，利用數(shù)值模型模擬了4種井距的采油指數(shù)隨擴(kuò)散系數(shù)的變化，從模擬結(jié)果可以看出4種井距的采油指數(shù)都隨擴(kuò)散系數(shù)的增加而單調(diào)增加，增加幅度隨著擴(kuò)散系數(shù)的增大而減緩。在同一擴(kuò)散系數(shù)的情況下，井距越短其采油指數(shù)越大。以井距300 m為例，擴(kuò)散系數(shù)從1.35×10-5m2/s增加到2.94×10-5m2/s時(shí)，其采油指數(shù)增加了9.72%。

圖5 擴(kuò)散系數(shù)對(duì)采油指數(shù)的影響Fig.5 Effect of diffusion coefficient on oil recovery index

2.4 黏度變化對(duì)采油指數(shù)的影響

原油溶解CO2后，其黏度大幅度降低，可使原油的可流動(dòng)性增強(qiáng)，增加波及面積從而提高驅(qū)油效率[8]。原油體系黏度下降幅度取決于CO2濃度、壓力、溫度和初始黏度大小。但是，壓力超過飽和壓力時(shí)，黏度反而上升[26-27]。初期注CO2后對(duì)原油的降黏效果十分明顯，體系黏度隨著加氣量增多而降低，但降黏幅度逐漸減小[28]。降黏后的原油更易于向井筒滲流，從而提高單井產(chǎn)量。

利用數(shù)值模型，模擬計(jì)算了因CO2溶解導(dǎo)致原油黏度降低從而對(duì)采油指數(shù)的影響(圖6)。模擬結(jié)果顯示，隨著CO2的不斷注入，黏度的不斷降低。不同水平井井距的情況，采油指數(shù)都隨著黏度不斷降低而單調(diào)增加。對(duì)于水平井井距為200 m的CO2吞吐水平井來說，黏度從1.48 mPa·s降低到0.68 mPa·s，其采油指數(shù)增加16.49%。

圖6 黏度對(duì)采油指數(shù)的影響Fig.6 Effect of viscosity on oil recovery index

2.5 井距對(duì)采油指數(shù)的影響

水平井井距是經(jīng)濟(jì)高效開采的致密油的核心參數(shù)之一，不僅直接影響單井產(chǎn)量，還影響著整個(gè)儲(chǔ)層的動(dòng)用程度[29]。因此對(duì)水平井CO2吞吐開采的井距的研究比較重要，其影響著CO2的擴(kuò)散程度和波及范圍。針對(duì)不同井距，研究不同擴(kuò)散半徑下對(duì)采油指數(shù)的影響。研究結(jié)果表明：不同水平井井距的情況，采油指數(shù)都隨著擴(kuò)散半徑的增大而單調(diào)增加(圖7)。水平井井距為100 m的情況下，在擴(kuò)散半徑為11 m時(shí)的采油指數(shù)較擴(kuò)散半徑為1 m時(shí)增加了28.48%；水平井井距為400 m的情況下，在擴(kuò)散半徑為11 m時(shí)的采油指數(shù)較擴(kuò)散半徑為1 m時(shí)增加了11.02%。由此可見，井距越小其隨擴(kuò)散半徑對(duì)采油指數(shù)的影響越大。

圖7 不同井距的采油指數(shù)Fig.7 Oil recovery index of different well spacing

2.6 水平段長度對(duì)產(chǎn)液指數(shù)的影響

水平井具有泄油面積、生產(chǎn)壓差小的優(yōu)勢(shì)，被廣泛用于實(shí)際油藏的開采[30]。其中水平段長度是水平開采的一個(gè)關(guān)鍵考量因素，其直接影響著油藏的泄油面積和波及程度?；谝淹茖?dǎo)的數(shù)學(xué)模型，對(duì)不同水平段長度的水平井進(jìn)行采指數(shù)計(jì)算。結(jié)果表明，采油指數(shù)隨著水平段長度的增加不斷增加(圖8)。當(dāng)擴(kuò)散半徑為11 m時(shí)，水平段長度為350 m的采油指數(shù)是長度為100 m的2.52倍。水平井水平段長度從100～1 000 m時(shí)，擴(kuò)散半徑為11 m時(shí)的采油指數(shù)較擴(kuò)散半徑為1 m時(shí)分別增加了11.02%、9.49%、8.75%、8.41%、8.31%、8.29%。由此可見，水平井水平段長度越小其隨擴(kuò)散半徑對(duì)采油指數(shù)的影響越大。

圖8 不同水平井長度下的采油指數(shù)Fig.8 Oil recovery index at different horizontal well lengths

3 結(jié)論

(1)擴(kuò)散系數(shù)的大小對(duì)無因次濃度分布的影響較大，在相同的擴(kuò)散時(shí)間下，擴(kuò)散系數(shù)為68×10-9m2/s的無因次擴(kuò)散距離是擴(kuò)散系數(shù)為0.66×10-9m2/s的9.09倍。無因次擴(kuò)散距離隨著擴(kuò)散天數(shù)的增加而增加，從30 d增加到280 d時(shí)，CO2的無因次擴(kuò)散距離分別為 0.46、0.64、0.79、0.92、1.17和1.52。因此，在合適的擴(kuò)散時(shí)間下，通過技術(shù)手段提高CO2在儲(chǔ)層中的擴(kuò)散系數(shù)，可在一定程度上增加CO2的波及范圍。

(2)采油指數(shù)隨擴(kuò)散系數(shù)的增加而單調(diào)增加，增加幅度隨著擴(kuò)散系數(shù)的增大而減緩。在同一擴(kuò)散系數(shù)的情況下，井距越短，其采油指數(shù)越大。采油指數(shù)隨著黏度不斷降低而單調(diào)增加，對(duì)于水平井井距為200 m的CO2吞吐水平井來說，黏度從 1.48 mPa·s 降低到0.68 mPa·s，其采油指數(shù)增加16.49%。

(3)井距和水平井水平段長度對(duì)CO2吞吐水平井都有一定的影響。不同水平井井距的情況，采油指數(shù)都隨著擴(kuò)散半徑的增大而單調(diào)增加，井距越小其隨擴(kuò)散半徑對(duì)采油指數(shù)的影響越大。采油指數(shù)隨著水平段長度的增加不斷增加，水平段長度為350 m的采油指數(shù)是長度為100 m的2.52倍。水平井水平段長度越小其隨擴(kuò)散半徑對(duì)采油指數(shù)的影響越大。