帶憶阻負(fù)載的電流型Cuk 變換器動(dòng)力學(xué)分析及其混沌控制

(湘潭大學(xué)電子與信息學(xué)院,湖南湘潭 411105)

憶阻器作為一種具有記憶效應(yīng)的新型基本電路元件,自從蔡少棠[1]提出以來(lái)就引起了學(xué)者的廣泛關(guān)注。尤其在2008 年惠普實(shí)驗(yàn)室首次報(bào)道了憶阻器的可實(shí)現(xiàn)性后[2],極大地喚起了科研人員對(duì)憶阻器開(kāi)展全方位研究的興趣。由于憶阻器自身的非線性特性使其更加容易產(chǎn)生混沌電路,從而在保密通信、信息加密等領(lǐng)域也有廣泛的應(yīng)用[3-8]。近些年來(lái),基于憶阻混沌電路的設(shè)計(jì)與分析已成為相關(guān)領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)。

開(kāi)關(guān)DC-DC 變換器作為開(kāi)關(guān)電源的核心組成部分存在著豐富的非線性動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象,例如,Hopf 分岔[9]、邊界碰撞分岔[10]、雙穩(wěn)定共存現(xiàn)象[11]等,已在許多文獻(xiàn)中被廣泛報(bào)道。其中負(fù)載類型是影響DC-DC變換器的非線性動(dòng)力學(xué)行為的一個(gè)重要因素。文獻(xiàn)[12]以常規(guī)電阻作為負(fù)載,研究了電流型Cuk 變換器的分岔與混沌現(xiàn)象以及變換器穩(wěn)定運(yùn)行的參數(shù)域表達(dá)式。文獻(xiàn)[13]和[14]在具有恒流負(fù)載的變換器中發(fā)現(xiàn)了鞍節(jié)點(diǎn)分岔和快慢尺度不穩(wěn)定性等現(xiàn)象。Zhang等[15]開(kāi)創(chuàng)性地將憶阻器作為單級(jí)升壓變換器的負(fù)載通過(guò)數(shù)值仿真和電路仿真研究其動(dòng)力學(xué)行為,并通過(guò)直流分析闡述了該升壓變換器的輸出電壓主要由憶阻器的內(nèi)部參數(shù)決定,但其只關(guān)注了開(kāi)關(guān)周期對(duì)該憶阻變換器的穩(wěn)定性和動(dòng)力學(xué)行為的影響,而忽略了其他參數(shù)的影響。隨后,文獻(xiàn)[16]研究了憶阻負(fù)載對(duì)峰值電流型Buck-Boost 變換器的動(dòng)力學(xué)影響,發(fā)現(xiàn)憶阻負(fù)載會(huì)擴(kuò)大該變換器的正常工作區(qū)域,但其并未通過(guò)解析表達(dá)式說(shuō)明憶阻器參數(shù)是如何影響變換器的穩(wěn)定運(yùn)行區(qū)間的?；谝陨涎芯?為了進(jìn)一步了解憶阻型DCDC 變換器中各種非線性現(xiàn)象的形成機(jī)理,本文推導(dǎo)了系統(tǒng)倍周期臨界分岔點(diǎn)的解析表達(dá)式,并引入斜坡補(bǔ)償對(duì)憶阻Cuk 變換器進(jìn)行鎮(zhèn)定控制,從而為憶阻器在功率開(kāi)關(guān)元件中的應(yīng)用提供了一定的理論依據(jù)。

本文在傳統(tǒng)的Cuk 變換器基礎(chǔ)上通過(guò)引入一個(gè)憶阻器從而構(gòu)建了一個(gè)新的五維非線性時(shí)變系統(tǒng)。首先,通過(guò)數(shù)學(xué)建模、數(shù)值分析研究了該系統(tǒng)的基本動(dòng)力學(xué)特性。然后,基于能量守恒原理,推導(dǎo)了該變換器關(guān)于各參數(shù)的穩(wěn)定運(yùn)行的解析表達(dá)式,得到了關(guān)于3 個(gè)主要參數(shù)的穩(wěn)定域圖,從而進(jìn)一步揭示了憶阻器參數(shù)對(duì)該系統(tǒng)的穩(wěn)定運(yùn)行的影響。最后,通過(guò)在變換器的反饋控制電路中引入恰當(dāng)?shù)男逼卵a(bǔ)償信號(hào)拓寬系統(tǒng)的穩(wěn)定工作范圍,使工作在混沌態(tài)的憶阻Cuk 變換器電路進(jìn)入多周期態(tài)、周期2 和單周期態(tài),從而實(shí)現(xiàn)該憶阻變換器電路的穩(wěn)定性控制。PSIM 電路仿真結(jié)果證明了理論分析和數(shù)值分析的正確性。

1 峰值電流控制型憶阻Cuk 變換器

憶阻器的定義由蔡少棠等[17]概括,其中包括壓控憶阻器和流控憶阻器。近十年來(lái),運(yùn)用模擬元器件來(lái)實(shí)現(xiàn)的各種憶阻器仿真器[18-20]被廣泛報(bào)道,并且在基于憶阻器的電路中發(fā)現(xiàn)了許多有趣且復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為。由于壓控憶阻器更適合基于并聯(lián)憶阻器的應(yīng)用電路,因此本文在經(jīng)典的Cuk 變換器基礎(chǔ)上構(gòu)造一個(gè)壓控憶阻器仿真器代替Cuk 變換器中的電阻負(fù)載,如圖1(a)所示。壓控憶阻器的數(shù)學(xué)模型為:

式中:iM和vM分別表示憶阻器兩端的電流和電壓;W(v0)為憶導(dǎo);v0為憶阻器內(nèi)部狀態(tài)變量;g表示憶阻器等效電路中乘法器的增益。

圖1 峰值電流控制型憶阻Cuk 變換器原理圖Fig.1 Schematic of the peak current mode memristive Cuk converter

通過(guò)用憶阻負(fù)載W(v0)代替阻性負(fù)載RL,峰值電流模式Cuk 變換器的示意圖如圖1(b)所示,它由輸入電壓E、一個(gè)開(kāi)關(guān)管S、一個(gè)二極管D、兩個(gè)電感L1和L2、兩個(gè)電容C1和C2以及憶阻負(fù)載W(v0)組成五階動(dòng)態(tài)電路,電路參數(shù)如表1 所示。假設(shè)該變換器工作在電流連續(xù)模式(Continuous Conduction Mode,CCM)下,則該變換器在一個(gè)開(kāi)關(guān)周期內(nèi)存在兩種不同的開(kāi)關(guān)狀態(tài),其對(duì)應(yīng)的兩種主電路拓?fù)淙鐖D2 所示。

表1 峰值電流模式憶阻Cuk 變換器的電路參數(shù)Tab.1 Circuit parameters of peak current mode memristive Cuk converter

圖2 不同開(kāi)關(guān)狀態(tài)對(duì)應(yīng)的電路拓?fù)銯ig.2 Circuit topology corresponding to different switch states

開(kāi)關(guān)狀態(tài)一:開(kāi)關(guān)管S 導(dǎo)通,二極管D 關(guān)斷,電感電流iL1線性上升,原電路中的電流路徑如圖2(a)中虛線所示。根據(jù)基爾霍夫電壓電流定律,可以得到該開(kāi)關(guān)狀態(tài)下的系統(tǒng)狀態(tài)方程:

開(kāi)關(guān)狀態(tài)二:開(kāi)關(guān)管S 關(guān)斷,二極管D 導(dǎo)通,原電路中的電流路徑如圖2(b)中虛線所示。相應(yīng)的狀態(tài)方程為:

為了便于在Matlab 中進(jìn)行數(shù)值分析,引入x,y,z,u,w這5 個(gè)新的無(wú)量綱狀態(tài)變量,令:

則式(2)和式(3)可以改寫為:

式中:Dc表示變換器的導(dǎo)通占空比,變化范圍0～1,其中系統(tǒng)的無(wú)量綱參數(shù)可以通過(guò)計(jì)算得到τT=0.5,k=0.1,α=0.1,δ=1,ε=5,Iref=4,E=10,g=-0.1。

2 系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)分析

2.1 時(shí)域波形圖

選取參考電流Iref=4 A,其他電路參數(shù)如表1 所示,初始值設(shè)定為[0,0,0,0,0],可以得到系統(tǒng)狀態(tài)變量x,u和w的仿真波形如圖3 所示,分別代表電感電流iL1、輸出電壓vC2和憶阻器內(nèi)部狀態(tài)變量v0的波形?？芍?電感電流iL1在3.4～4 A 之間波動(dòng),這時(shí)變換器工作在CCM。同時(shí),由于R2Cm電路的相位延遲作用,我們可以清楚地觀察到v0的波形滯后于輸出電壓vC2,變換器工作在混沌狀態(tài)。其他電路參數(shù)固定不變,改變Iref為1 A 時(shí),其相應(yīng)的時(shí)域波形圖如圖4 所示。此時(shí),電感電流iL1在0.8～1 A 之間波動(dòng),變換器同樣工作在CCM 模式,且電感電流和輸出電壓的紋波較小,系統(tǒng)工作在穩(wěn)定的周期1 狀態(tài)。

2.2 占空比分析

占空比是描述DC-DC 變換器的一個(gè)本質(zhì)量,更能反應(yīng)系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)的本質(zhì)特性[14]。通常當(dāng)負(fù)載W(v0)兩端的電壓是混沌信號(hào)和周期信號(hào)時(shí),其對(duì)應(yīng)的開(kāi)關(guān)占空比分別是混沌信號(hào)和周期信號(hào)。當(dāng)Iref分別為4 A 和1 A 時(shí),變換器在每個(gè)開(kāi)關(guān)周期的占空比曲線圖分別如圖5(a)、5(b)所示。圖中無(wú)序和規(guī)則的占空比Dc進(jìn)一步說(shuō)明了當(dāng)Iref=4 A 和1 A 時(shí),電路系統(tǒng)的工作狀態(tài)是混沌的和周期的。當(dāng)Iref分別為4 A 和1 A 時(shí),占空比Dc分別為0.5612 和0.4191。通過(guò)計(jì)算,可以得到變換器的輸出電壓分別為12.7893 V 和7.2147 V,與圖4 中狀態(tài)變量u的幅值一致。由此可見(jiàn)參考電流Iref的選取對(duì)變換器的穩(wěn)定性有顯著的影響。

圖3 峰值電流模式憶阻Cuk 變換器在Iref=4 A 的3 個(gè)狀態(tài)變量時(shí)序圖Fig.3 Three time sequences of peak current mode memristive Cuk converter when Iref=4 A

圖4 峰值電流模式憶阻Cuk 變換器在Iref=1 A 的3 個(gè)狀態(tài)變量時(shí)序圖Fig.4 Three time sequences of peak current mode memristive Cuk converter when Iref=1 A

圖5 占空比Dc曲線圖Fig.5 Curves of duty cycle Dc

2.3 倍周期分岔與邊界碰撞分岔

一般而言,可引起憶阻Cuk 變換器工作狀態(tài)發(fā)生變化的主要參數(shù)有輸入電壓E、參考電流Iref和憶阻參數(shù)g,本節(jié)主要以參考電流Iref和憶阻參數(shù)g作為分岔參數(shù),研究峰值電流模式下的憶阻Cuk 變換器電路參數(shù)在寬范圍變化時(shí)的動(dòng)力學(xué)行為。

在峰值電流控制型DC-DC 變換器中,一般認(rèn)為Dc＞0.5 是變換器失去穩(wěn)定性的一個(gè)條件[21]。由式(4)可知電感電流iL1的紋波可以表示為,根據(jù)能量守恒定律,可以得到以下方程式:

此外,工作于CCM 模式的峰值電流型憶阻Cuk變換器存在一個(gè)電感電流邊界Ib可表示為:

隨后,將參考電流Iref作為分岔參數(shù)并從0.5 A 增加到5 A,峰值電流型憶阻Cuk 變換器的狀態(tài)變量x的分岔圖如圖6(a)所示,圖中黑色點(diǎn)劃線表示電感電流邊界Ib。當(dāng)Iref從0.5 A 逐漸增大到5 A 時(shí),變換器從穩(wěn)定的周期1 狀態(tài)在Iref=2.1 A 附近經(jīng)倍周期分岔進(jìn)入周期2 的次諧波振蕩;當(dāng)Iref=2.3 A 時(shí),Cuk 變換器電感電流iL1的運(yùn)行軌道與電感電流Ib相遇發(fā)生邊界碰撞分岔進(jìn)入混沌狀態(tài)。將表1 中的電路參數(shù)代入到式(7)可計(jì)算出系統(tǒng)的倍周期分岔點(diǎn)為Iref,pbd=2.125 A,與圖6(a)結(jié)果一致。當(dāng)參考電流分別選為Iref=0.5 A、Iref=2.1 A、Iref=3 A 和Iref=5 A 時(shí),峰值電流型憶阻Cuk 變換器在x-w平面的相軌圖如圖7 所示。圖中所示的相軌圖所反映的Cuk 變換器的工作狀態(tài)與圖6(a)所示的分岔圖所描述的運(yùn)行狀態(tài)是完全一致的。簡(jiǎn)而言之,隨著Iref的增加,憶阻Cuk 變換器具有從周期1 極限環(huán)到周期2 極限環(huán),到成對(duì)的混沌吸引子,最后到復(fù)雜的混沌吸引子的動(dòng)態(tài)過(guò)渡。

圖6 以Iref為分岔參數(shù)在不同負(fù)載類型下的分岔圖Fig.6 Bifurcation diagram using Irefas bifurcation parameter with different types of load

當(dāng)g=0 時(shí),代入式(3)表明憶阻器W(v0)相當(dāng)于一個(gè)阻值為R3的電阻,此時(shí)以參考電流Iref為分岔參數(shù)得到的分岔圖如圖6(b)所示。與圖6(a)對(duì)比,圖中的倍周期分岔點(diǎn)發(fā)生在Iref=1.1 A 左右,變換器的穩(wěn)定周期1 區(qū)間變得更窄。參考式(7),將g=0 代入得參考電流的倍周期分岔點(diǎn)為Iref,pbd=1.125 A,與圖6(b)現(xiàn)象一致。同時(shí),從式(7)可得影響變換器的穩(wěn)定性參數(shù)主要有電源電壓E,參考電流Iref、憶阻器內(nèi)部參數(shù)g、開(kāi)關(guān)頻率f等。以參數(shù)g為可變參數(shù),記錄每個(gè)開(kāi)關(guān)周期的占空比Dc可畫出如圖8(a)所示的峰值電流型憶阻Cuk 變換器隨憶阻器內(nèi)部參數(shù)g在(-0.6,0)變化的分岔圖?？梢?jiàn)隨著g的絕對(duì)值的增大,系統(tǒng)從混沌態(tài)進(jìn)入周期1 態(tài),占空比Dc也慢慢減小到0.5以下。換而言之,當(dāng)用憶阻負(fù)載替換傳統(tǒng)電阻負(fù)載作為Cuk 變換器的負(fù)載時(shí),系統(tǒng)具有更大的穩(wěn)定工作區(qū)間。將Dc≤0.5 代入到式(6)可得變換器關(guān)于參數(shù)Iref、E和g穩(wěn)定運(yùn)行的參數(shù)域?yàn)?

圖7 對(duì)于參考電流Iref的不同值,變換器在x-w 平面上的相圖Fig.7 For different values of the reference current Iref,phase portraits of the converter in the x-w plane

圖8 分岔圖和峰值電流模式憶阻Cuk 變換器的穩(wěn)定參數(shù)區(qū)域Fig.8 Bifurcation diagram and the stable parameter region of the peak current mode memristive Cuk converter

圖8(b)給出了參數(shù)在g=-0.6～0 和E=2～22 V變化時(shí),相應(yīng)的Iref分岔點(diǎn)所形成的曲面,曲面上方對(duì)應(yīng)于變換器的不穩(wěn)定運(yùn)行參數(shù)域,式(9)的預(yù)測(cè)結(jié)果與分岔圖所反映的數(shù)值模擬結(jié)果吻合較好。

2.4 引入斜坡補(bǔ)償信號(hào)后的混沌控制

斜坡補(bǔ)償控制是一種直觀有效的穩(wěn)定性控制技術(shù),通過(guò)引入適當(dāng)?shù)男逼卵a(bǔ)償電流或電壓能有效地拓寬變換器的穩(wěn)定范圍[22-24]。如圖9 所示,將斜坡補(bǔ)償信號(hào)加入到Cuk 變換器的反饋控制電路從而得到了工作于CCM 的憶阻Cuk 變換器的電感電流iL1的波形示例。圖中,Iref為參考電流,iref為補(bǔ)償后的參考電流,mc為斜坡信號(hào)的斜率,可得補(bǔ)償后的參考電流iref與原參考電流Iref的關(guān)系為:

式中:T為開(kāi)關(guān)周期;(tmodT)表示t對(duì)T取模運(yùn)算,且斜坡補(bǔ)償信號(hào)的頻率與變換器的開(kāi)關(guān)頻率相等。

圖9 斜坡補(bǔ)償電流控制憶阻Cuk 變換器原理圖及其電感電流波形示例Fig.9 The schematic diagram of the slope compensation current control memristive Cuk converter and its inductor current waveform example

首先,分別引入斜坡補(bǔ)償斜率mc=0(無(wú)斜坡補(bǔ)償信號(hào))、mc=0.05、mc=0.15 和mc=0.25,此時(shí)以輸入電壓E為分岔參數(shù),憶阻Cuk 變換器的分岔圖如圖10 所示。從圖中可以看出當(dāng)無(wú)斜坡補(bǔ)償信號(hào)引入時(shí),變換器的周期1 區(qū)間為16.2～20;在mc=0.05 時(shí),系統(tǒng)的周期1 區(qū)間為14.5～20;當(dāng)mc=0.15 時(shí),系統(tǒng)的周期1 區(qū)間為10.6～20;當(dāng)mc=0.25 時(shí),變換器在E為5～20 V 之間都工作在穩(wěn)定的周期1 狀態(tài)。由此可得采用的斜坡補(bǔ)償信號(hào)斜率mc越大,憶阻Cuk 變換器的穩(wěn)定區(qū)間就越寬,表明斜坡補(bǔ)償可以有效地拓寬系統(tǒng)的穩(wěn)定范圍。

圖10 峰值電流模式憶阻Cuk 變換器引入不同斜坡補(bǔ)償斜率的分岔圖Fig.10 Bifurcation diagram for the peak current mode memristive Cuk converter with compensating ramp signal

圖11 給出了憶阻Cuk 變換器的電感電流iL1的時(shí)域仿真波形。在100 ≤τ ＜150 時(shí),無(wú)斜坡補(bǔ)償信號(hào)引入,變換器電路工作在混沌態(tài)。在τ=150 時(shí),分別引入mc=0.05、mc=0.15 和mc=0.25 的斜坡補(bǔ)償信號(hào),變換器電路分別進(jìn)入了多周期狀態(tài)、周期2 狀態(tài)和穩(wěn)定的周期1 狀態(tài)。由此說(shuō)明,對(duì)處于混沌狀態(tài)的憶阻Cuk 變換器,只要引入一個(gè)適當(dāng)斜率的斜坡補(bǔ)償信號(hào),就能使Cuk 變換器的工作狀態(tài)鎮(zhèn)定在穩(wěn)定的周期1 狀態(tài)。

3 電路仿真驗(yàn)證

為進(jìn)一步驗(yàn)證先前的理論分析,基于PSIM 構(gòu)建了具有憶阻負(fù)載的Cuk 變換器電路,如圖12 所示。設(shè)置時(shí)鐘脈沖寬度為0.25 μs,比較器的輸入端參考電流Iref實(shí)際上是一個(gè)電壓信號(hào)(即Iref=4 V)。選取表1 中的電路參數(shù)并設(shè)置五個(gè)狀態(tài)變量的初始值為(0,0,0,0,0)。

圖11 引入不同mc后的電感電流iL1的鎮(zhèn)定控制Fig.11 Stabilization control of inductor current iL1after introducing different mc

圖12 峰值電流型憶阻Cuk 變換器PSIM 仿真電路圖Fig.12 PSIM simulation circuit diagram of the peak current mode memristive Cuk converter

當(dāng)無(wú)斜坡信號(hào)引入時(shí),分別取Iref=4 V 和1 V,得到與圖3 和圖4 相對(duì)應(yīng)的三個(gè)狀態(tài)變量的電路仿真波形,如圖13 所示。隨后,圖14 中參考電流Iref的取值分別為Iref=0.5 V,Iref=2.1 V,Iref=3 V 和Iref=5 V,相應(yīng)的憶阻Cuk 變換器的工作狀態(tài)分別為周期1、周期2、弱混沌以及完全混沌狀態(tài)。電路仿真結(jié)果也表明,隨著參考電流增大,憶阻Cuk 變換器的工作狀態(tài)經(jīng)歷了周期、混沌等動(dòng)力學(xué)行為。最后,在t=45 ms時(shí),引入了不同斜率的斜坡補(bǔ)償信號(hào),得到了與圖11對(duì)應(yīng)的電感電流iL1的時(shí)序波形,如圖15 所示。峰值電流型憶阻Cuk 變換器的PSIM 仿真結(jié)果與上述數(shù)值仿真結(jié)果一致,驗(yàn)證了理論分析的正確性。

圖13 峰值電流型憶阻Cuk 變換器的PSIM 仿真時(shí)域波形圖Fig.13 PSIM simulated time sequences of the peak current mode memeristive Cuk converter

圖14 峰值電流型憶阻Cuk 變換器隨參數(shù)Iref變換時(shí)在iL1-v0平面上的PSIM 仿真相圖Fig.14 For different values of the reference current Iref,PSIM simulated phase portraits of the peak current mode memristive Cuk converter in the iL1-v0plane

圖15 引入mc后對(duì)電感電流iL1的鎮(zhèn)定控制Fig.15 Stabilization control of the inductor current iL1after introducing mc

4 結(jié)論

由于DC-DC 變換器廣泛應(yīng)用在電力電子領(lǐng)域,與此同時(shí),憶阻器作為新的基本電路元件將來(lái)也可能在電子電路中被廣泛使用。因此,本文通過(guò)用一個(gè)壓控憶阻負(fù)載替換Cuk 變換器上的傳統(tǒng)電阻,構(gòu)建了一個(gè)新的五階分段非線性系統(tǒng)。首先,建立了兩種開(kāi)關(guān)狀態(tài)下系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,并利用Matlab 仿真發(fā)現(xiàn)對(duì)于給定的電路系統(tǒng)參數(shù),變換器存在著復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為,包括混沌、周期、倍周期分岔和邊界碰撞分岔。其次,通過(guò)憶阻負(fù)載與電阻負(fù)載的分岔圖比較得到帶憶阻負(fù)載的Cuk 變換器具有更大的穩(wěn)定工作區(qū)間。同時(shí),根據(jù)能量守恒原理得到了變換器關(guān)于相關(guān)參數(shù)的穩(wěn)定運(yùn)行參數(shù)域估計(jì)表達(dá)式。隨后,通過(guò)引入斜坡補(bǔ)償信號(hào),對(duì)處于混沌狀態(tài)的變換器進(jìn)行鎮(zhèn)定控制,消除變換器電路的不穩(wěn)定性。最終,通過(guò)PSIM 電路仿真進(jìn)行驗(yàn)證,驗(yàn)證了系統(tǒng)的正確性和可實(shí)現(xiàn)性,為憶阻器未來(lái)應(yīng)用在電力電子領(lǐng)域提供了一定的理論依據(jù)。