隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)呈離散分布的庫存路徑和定價(jià)問題的模型與算法

楊華龍，辛禹辰，高浩然

(大連海事大學(xué)，交通運(yùn)輸工程學(xué)院，遼寧大連116026)

0 引言

供貨商管理庫存(Vendor Management Inventory,VMI)模式下，供貨商需要進(jìn)行IRPP優(yōu)化決策。庫存路徑問題決策受客戶需求影響，其目標(biāo)是物流系統(tǒng)成本最小化；產(chǎn)品定價(jià)決策影響著客戶需求，其目標(biāo)是產(chǎn)品銷售收入最大化。由此可見，庫存路徑問題和產(chǎn)品定價(jià)問題兩者的決策要素相互制約、決策目標(biāo)相左。尤其是在需求價(jià)格關(guān)系呈現(xiàn)隨機(jī)擾動(dòng)的情況下，IRPP優(yōu)化決策愈加復(fù)雜，故需求價(jià)格函數(shù)隨機(jī)擾動(dòng)下的IRPP優(yōu)化模型與算法研究具有重要的理論和現(xiàn)實(shí)價(jià)值。

Liu 等[1]分析了供貨商庫存路徑?jīng)Q策與定價(jià)決策間的相互影響關(guān)系，研究表明，對(duì)庫存路徑問題和定價(jià)問題同時(shí)協(xié)調(diào)決策明顯優(yōu)于對(duì)兩者的單獨(dú)決策?？紤]零售商位置差異對(duì)IRPP 的影響，Ahmadi-Javid 等[2]構(gòu)建了包含零售商選址的IRPP模型，并設(shè)計(jì)分支定價(jià)算法求解?？紤]智能互聯(lián)網(wǎng)背景下實(shí)時(shí)信息對(duì)決策的影響，Sayarshad等[3]結(jié)合以供應(yīng)鏈利潤(rùn)最大化為目標(biāo)，建立了考慮零售商等待成本、庫存持有成本和配送成本等分時(shí)段實(shí)時(shí)IRPP 模型。Dastaki 等[4]進(jìn)一步針對(duì)跨區(qū)域的IRPP問題，基于分區(qū)定價(jià)策略，建立了二級(jí)(跨區(qū)域)IRPP非線性模型，并設(shè)計(jì)線性化近似求解方法。

現(xiàn)有IRPP 文獻(xiàn)取得了許多有益成果，但均假定需求價(jià)格函數(shù)為確定型的線性關(guān)系，且零售商100%不缺貨[5]。然而在實(shí)際場(chǎng)景中，除產(chǎn)品價(jià)格因素外，市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)強(qiáng)度、產(chǎn)品可替代性等許多其他因素也會(huì)對(duì)客戶需求帶來不確定影響。因而，需求價(jià)格函數(shù)具有隨機(jī)擾動(dòng)特征，且隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)常常呈離散分布[6]，導(dǎo)致現(xiàn)實(shí)中即使產(chǎn)品價(jià)格給定，客戶需求也會(huì)隨機(jī)波動(dòng)變化，造成零售商庫存過?；蛉必?，故考慮客戶需求價(jià)格函數(shù)隨機(jī)擾動(dòng)的IRPP決策更符合實(shí)際。有鑒于此，本文利用需求價(jià)格函數(shù)中擾動(dòng)項(xiàng)的離散分布率，依據(jù)供貨商設(shè)定的庫存服務(wù)水平，構(gòu)建IRPP 期望值決策優(yōu)化模型，以使IRPP 決策符合實(shí)際需要。

1 問題描述

考慮由一個(gè)供貨商、多個(gè)零售商組成VMI 模式下的物流系統(tǒng)，當(dāng)供貨商對(duì)產(chǎn)品進(jìn)行定價(jià)時(shí)，客戶需求受到市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)強(qiáng)度及產(chǎn)品可替代性等因素的影響，需求價(jià)格函數(shù)含有隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)。為滿足客戶需求，供貨商還需要進(jìn)行產(chǎn)品庫存和配送路徑?jīng)Q策。當(dāng)配送量大于需求量時(shí)，造成產(chǎn)品過剩損失；當(dāng)配送量小于需求量時(shí)，造成缺貨損失。因此，需求價(jià)格函數(shù)隨機(jī)擾動(dòng)下IRPP 優(yōu)化決策的實(shí)質(zhì)是，通過分析客戶需求價(jià)格函數(shù)關(guān)系，刻畫其中隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)的概率分布規(guī)律，以供貨商期望收益最大化為目標(biāo)，構(gòu)建IRPP 優(yōu)化模型，確定最優(yōu)的產(chǎn)品價(jià)格、庫存量、配送量和車輛路徑。為便于問題建模，本文作如下假設(shè)：

(1)配送車輛是同質(zhì)的；

(2)決策期內(nèi)每個(gè)零售商只配送1次；

(3)配送車輛的起點(diǎn)與終點(diǎn)都是供貨商配送中心。

2 模型構(gòu)建

2.1 符號(hào)及變量

(1)集合和參數(shù)

Δ——配送網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)集合，Δ={0,1,…,N}，0為供貨商，N為零售商數(shù)量；

Ω——配送車輛集合，Ω={1,2,…,V}，V為配送車輛數(shù)量；

F——配送車輛固定成本；

C——配送車輛的單位距離行駛成本；

Lij——節(jié)點(diǎn)i到節(jié)點(diǎn)j的距離；

Q——車輛的最大載貨量；

Gi——零售商i處單位產(chǎn)品的缺貨損失成本；

Hi——零售商i處單位產(chǎn)品的過剩損失成本；

Ai——零售商i對(duì)產(chǎn)品的潛在需求量；

Bi——零售商i對(duì)產(chǎn)品需求函數(shù)斜率的絕對(duì)值；

U——供貨商單位產(chǎn)品進(jìn)貨或生產(chǎn)成本；

α——供貨商設(shè)定的零售商庫存服務(wù)水平。

(2)決策變量

pi——供貨商在零售商i的產(chǎn)品定價(jià)；

yvij——車輛v從節(jié)點(diǎn)i到節(jié)點(diǎn)j載運(yùn)的產(chǎn)品數(shù)量；

xvij——0-1變量，若車輛v從節(jié)點(diǎn)i到節(jié)點(diǎn)j為1，否則為0；

qi——供貨商給零售商i的產(chǎn)品配送量；

di——零售商i的產(chǎn)品需求量。

2.2 需求價(jià)格函數(shù)擾動(dòng)項(xiàng)分析

根據(jù)問題描述，將客戶需求與供貨商產(chǎn)品定價(jià)關(guān)系[7]設(shè)為

式中：εi為零售商i(i∈{1,2,…,N})需求價(jià)格函數(shù)的隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)，且εi呈離散分布，其分布形式可由具體的離散分布率表示。分布率可通過市場(chǎng)統(tǒng)計(jì)法或?qū)＜艺{(diào)查法獲得。若隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)εi第m個(gè)離散取值εim(εim按由小到大排序，m∈{1,2,…,M} ，M為εi離散取值的數(shù)目)的分布率為θim，則供貨商在零售商i產(chǎn)品需求的第m個(gè)離散取值dim為

于是，在供貨商設(shè)定的零售商庫存服務(wù)水平α下，供貨商配送給零售商i的產(chǎn)品數(shù)量應(yīng)大于等于第m*(m*∈{1,2,…,M})個(gè)離散取值，即qi≥dim*，其中m*滿足

綜上所述,循證護(hù)理干預(yù)可以明顯降低胸椎骨折患者術(shù)后并發(fā)癥的發(fā)生率,改善患者疼痛程度和不良心理狀態(tài),有利于疾病康復(fù)。

由式(3)可知，無論隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)εi的分布率θim(m∈{1,2,…,M})取值怎樣變化，在設(shè)定服務(wù)水平α下，總能求得滿足式(3)的m*，從而得到其對(duì)應(yīng)的需求取值dim*。

供貨商在零售商i產(chǎn)品過剩的數(shù)量為[qi-(Ai-Bi pi+εi)]+，供貨商在零售商i產(chǎn)品缺貨的數(shù)量為[(Ai-Bi pi+εi)-qi]+。這里[·]+為非負(fù)算子，供貨商在零售商i的期望產(chǎn)品過剩損失成本Ei為

供貨商在零售商i的期望產(chǎn)品缺貨成本Fi為

2.3 模型構(gòu)建

根據(jù)上述需求價(jià)格函數(shù)擾動(dòng)項(xiàng)分析，建立IRPP模型。

(1)目標(biāo)函數(shù)

式(6)表示供貨商期望收益最大化，第1項(xiàng)為期望收入，第2項(xiàng)為供貨商配送產(chǎn)品的進(jìn)貨或生產(chǎn)成本，第3項(xiàng)為配送車輛的固定使用成本，第4項(xiàng)為配送車輛的行駛成本。

(2)約束條件

式(7)和式(8)表示車輛最多進(jìn)出某節(jié)點(diǎn)一次，式(9)和式(10)表示配送車輛的起訖點(diǎn)都是供貨商配送中心，式(11)為配送車輛的載運(yùn)容量限制，式(12)和式(13)表示配送車輛在某一節(jié)點(diǎn)的配送量，式(14)表示配送量滿足零售商庫存服務(wù)水平要求，式(15)和式(16)表示變量的非負(fù)約束，式(17)表示0-1變量。

3 算法設(shè)計(jì)

圖1 算法設(shè)計(jì)流程Fig.1 Algorithm design process

3.1 初始化粒子群

本文按εim由小到大排序，當(dāng)供貨商對(duì)零售商i的產(chǎn)品定價(jià)為pi時(shí)，為保證一定的庫存服務(wù)水平，供貨商期望收益函數(shù)最大值必定在配送量qi≥dim*時(shí)取得。假定零售商i的產(chǎn)品配送成本與配送量成正比(比例系數(shù)γi0根據(jù)以往數(shù)值或經(jīng)驗(yàn)預(yù)估獲得)，則供貨商在零售商i處的期望收益函數(shù)為

進(jìn)一步可得供貨商對(duì)零售商i的產(chǎn)品配送量初始優(yōu)化解q*i0為

在此基礎(chǔ)上，生成初始粒子群，具體步驟如下：

Step 1 根據(jù)配送量，采用禁忌搜索算法求出配送路徑的初始優(yōu)化解x*vij和y*vij。

Step 2 車輛v從節(jié)點(diǎn)i-1到達(dá)零售商i的行駛成本由零售商i承擔(dān)，車輛v的固定使用成本和返回供貨商配送中心路徑的行駛成本由車輛v配送的所有零售商均擔(dān)[1]，即當(dāng)前優(yōu)化解所對(duì)應(yīng)的各零售商i的配送成本Ci為

Step 3 計(jì)算各零售商i配送成本與配送量的比值γi。

Step 4 用γi替換式(19)中的γi0，計(jì)算得到新的產(chǎn)品定價(jià)p*i，并用p*i替換式(20)中的p*i0，計(jì)算得到新的產(chǎn)品配送量q*i。

Step 5 若不滿足生成初始粒子群的終止條件(未達(dá)到最大循環(huán)次數(shù))，返回Step1；否則，輸出初始粒子群及其適應(yīng)度值(即模型目標(biāo)函數(shù)值)。

3.2 改進(jìn)粒子群算法

設(shè)在一個(gè)D維搜索空間中，由K個(gè)粒子組成種群，在第t代第i個(gè)粒子位置表示為Xi,t=(xi1,xi2,…,xiD)，速度為Vi,t=(vi1,vi2,…,viD)，粒子在第t代個(gè)體的最優(yōu)值為st，種群的最優(yōu)值為gt，粒子在t+1 代速度Vid,t+1和位置Xid,t+1的更新公式分別為

式中：c1、c2為加速因子；ω為慣性權(quán)重；r1、r2為介于[0,1]之間的隨機(jī)數(shù)。加速因子c1，c2代表將粒子推向st和gt位置的加速權(quán)重。

本文對(duì)粒子群算法做以下改進(jìn)：

(1)采用動(dòng)態(tài)加速因子代替原有的常數(shù)加速因子，即

式中：cmax、cmin分別為加速因子最大、最小值；tmax為最大迭代次數(shù)。以此增加粒子空間搜索能力。

(2)采用線性遞減的慣性權(quán)重代替原有的常數(shù)慣性權(quán)重，即

式中：ωmax、ωmin分別為慣性權(quán)重的最大、最小值。以此避免算法較早陷入局部極值。

改進(jìn)的粒子群算法求解步驟如下：

Step 1 根據(jù)3.1節(jié)獲取初始化粒子群和其適應(yīng)度值，尋找并獲得個(gè)體最優(yōu)值st和群體最優(yōu)值gt。

Step 2 更新粒子。首先，根據(jù)式(22)和式(23)對(duì)粒子進(jìn)行速度和位置更新，獲得各零售商產(chǎn)品定價(jià)和配送量；然后，運(yùn)用禁忌搜索算法計(jì)算路徑及各零售商配送成本；最后，按照式(6)計(jì)算粒子的適應(yīng)度值。

Step 3 根據(jù)新種群中粒子適應(yīng)度值更新個(gè)體最優(yōu)值st和群體最優(yōu)值gt。

Step 4 終止條件判斷，判斷粒子群算法迭代次數(shù)t是否達(dá)到粒子群算法的最大迭代次數(shù)tmax，如果未達(dá)到返回Step 2；否則，終止算法并輸出最優(yōu)值。

4 算例分析

4.1 數(shù)據(jù)選取及計(jì)算

在一個(gè)VMI 模式的生鮮品物流系統(tǒng)中，一家供貨商為多家零售商配送某種產(chǎn)品，車輛最大載貨量為4000 kg，車輛固定使用成本為300 元·輛-1，庫存過剩成本損失為1元·kg-1，供貨商的缺貨損失成本為2元·kg-1，供貨商設(shè)定的零售商庫存服務(wù)水平為90%。供貨商產(chǎn)品生產(chǎn)成本為0.5 元·kg-1，產(chǎn)品需求價(jià)格函數(shù)系數(shù)以及供貨商和零售商的位置數(shù)據(jù)取自文獻(xiàn)[1]，隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)εi的離散分布率如表1所示。

表1 隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)分布率Table 1 Random disturbance item distribution rate

設(shè)粒子種群規(guī)模為30，慣性權(quán)重最大、最小值分別為0.9、0.4，加速因子最大、最小值分別為2.5、0.5，最大迭代次數(shù)為200 次；設(shè)禁忌搜索算法迭代次數(shù)為50次，禁忌表長(zhǎng)度為3，候選解集個(gè)數(shù)為5。

選取3組算例，分別包含8家(算例1)、15家(算例2)和25家(算例3)零售商，運(yùn)用本文模型(分別采用本文設(shè)計(jì)的改進(jìn)粒子群、傳統(tǒng)粒子群和文獻(xiàn)[1]中的禁忌搜索算法)與文獻(xiàn)[1]模型進(jìn)行計(jì)算結(jié)果對(duì)比。在處理器為Inter Xeon E5-2678(16核)，內(nèi)存為32 GB的電腦上，利用python編程得到算例結(jié)果如表2所示。

表2 不同算法計(jì)算結(jié)果Table 2 Computing results with different methods

由表2可知，在滿足相同服務(wù)水平下，采用本文模型方法得到的3 組算例供貨商期望收益均優(yōu)于文獻(xiàn)[1]。結(jié)果顯示，考慮隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)，算例1、算例2和算例3中供貨商期望收益分別提高了3.1%、3.5%和3.8%。此外，在本文模型下，改進(jìn)粒子群算法得到的3組算例解質(zhì)量(期望收益)和運(yùn)算時(shí)間均優(yōu)于傳統(tǒng)粒子群算法和禁忌搜索算法。結(jié)果表明了本文模型及算法的適用性。

依據(jù)算例2，得到上述3種算法迭代收斂對(duì)比，如圖2所示。

圖2 算法迭代收斂對(duì)比Fig.2 Comparison of algorithms iteration convergence

由圖2可知，相比于其他兩種算法，本文算法能更快跳出局部最優(yōu)解，進(jìn)一步表明本文算法的有效性。

算例2中，供貨商對(duì)各零售商的產(chǎn)品定價(jià)對(duì)比如圖3所示，配送量對(duì)比如圖4所示。

圖3 各零售商產(chǎn)品定價(jià)對(duì)比Fig.3 Comparison of product pricing of retailers

從圖3可以看出，考慮隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)時(shí)供貨商產(chǎn)品定價(jià)略高于不考慮時(shí)的定價(jià)；從圖4可以看出，考慮隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)時(shí)供貨商配送量均高于不考慮時(shí)的配送量。這主要是因?yàn)榭紤]隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)時(shí)，為滿足客戶服務(wù)水平要求，供貨商需要配送更多的產(chǎn)品以降低缺貨損失成本。當(dāng)產(chǎn)品配送量增加時(shí)，根據(jù)需求價(jià)格函數(shù)關(guān)系，產(chǎn)品定價(jià)也會(huì)略有上漲。這表明考慮隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)，產(chǎn)品定價(jià)和配送量均有所提高，供貨商期望收益也因此增高。

圖4 各零售商產(chǎn)品配送量對(duì)比Fig.4 Comparison of distribution volume of retailers

4.2 靈敏度分析

隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)εi的標(biāo)準(zhǔn)差反映了市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)強(qiáng)度和產(chǎn)品可替代性等對(duì)需求波動(dòng)的影響程度，需求價(jià)格函數(shù)系數(shù)Bi反映了產(chǎn)品的需求價(jià)格彈性。依據(jù)算例2對(duì)其進(jìn)行敏感性分析，結(jié)果如圖5所示。

圖5 供貨商期望收益Fig.5 Expected revenue of supplier

由圖5可知，εi標(biāo)準(zhǔn)差不斷增大時(shí)，供貨商期望收益呈近似線性減小，這主要是因?yàn)?，在其他參?shù)保持不變的條件下，客戶需求di與其隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)εi的標(biāo)準(zhǔn)差相等，即σi,d=σi(σi,d為di標(biāo)準(zhǔn)差，σi為εi標(biāo)準(zhǔn)差)。表1中εi的離散分布率與正態(tài)分布密度函數(shù)近似，故在給定庫存水平α?xí)r，供貨商給零售商i配送量便近似等于需求服從正態(tài)分布時(shí)的配送量，即qi≈μi,d+zασi,d，(μi,d為需求均值，zα為安全系數(shù))。由此可見，qi與σi(=σi,d)呈近似線性關(guān)系，故隨著σi的增大，配送量qi隨之近似線性增大，產(chǎn)品的配送成本和過剩損失成本也近似線性增加，供貨商的期望收益近似線性減少。同時(shí)，由圖5可知，隨著Bi的不斷減小，供貨商的期望收益呈線性逐漸增大，這主要是因?yàn)锽i值是需求價(jià)格函數(shù)的線性系數(shù)，Bi越小，說明客戶對(duì)產(chǎn)品價(jià)格越不敏感，因而當(dāng)供貨商提高產(chǎn)品價(jià)格時(shí)，客戶產(chǎn)品需求線性降低并不明顯，使得供貨商的期望收益呈線性增大。

5 結(jié)論

本文探討了需求價(jià)格函數(shù)隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)呈離散分布的IRPP優(yōu)化問題，研究結(jié)果表明：在同樣的庫存水平要求下，相比于不考慮而言，考慮需求價(jià)格函數(shù)隨機(jī)擾動(dòng)因素，供貨商期望收益將會(huì)得到有效提高；市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)強(qiáng)度和產(chǎn)品可替代性等因素對(duì)客戶需求的影響越大，即需求價(jià)格函數(shù)隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)的標(biāo)準(zhǔn)差越大，供貨商的期望收益越??；產(chǎn)品需求價(jià)格彈性系數(shù)越小，即客戶對(duì)產(chǎn)品價(jià)格的敏感性越小，供貨商的期望收益越大。