智能網(wǎng)聯(lián)車環(huán)境下交叉口車流軌跡優(yōu)化模型

高志波，吳志周*，郝威，楊玥，龍科軍，鄒清全

(1.同濟(jì)大學(xué)，道路與交通工程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海201804；2.長(zhǎng)沙理工大學(xué)，智能道路與車路協(xié)同湖南省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，長(zhǎng)沙410004；3.上海汽車集團(tuán)股份有限公司，上海201804)

0 引言

智能網(wǎng)聯(lián)車環(huán)境下，不僅可以實(shí)時(shí)獲取車輛及周圍環(huán)境信息，還可以對(duì)車輛進(jìn)行精確控制。因此，交叉口的控制對(duì)象將直接面向車輛，通過(guò)協(xié)調(diào)與合作，每一輛車將擁有唯一的通行方案，而無(wú)需信號(hào)燈控制[1]。如何設(shè)計(jì)高效的面向智能網(wǎng)聯(lián)車通行的交叉口管控模型，已成為近年來(lái)的研究熱點(diǎn)之一[2-3]。

國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)智能網(wǎng)聯(lián)車環(huán)境下的交叉口管理進(jìn)行了較多研究，集中在車輛到達(dá)時(shí)序優(yōu)化和車輛軌跡優(yōu)化等方面。在車輛到達(dá)時(shí)序優(yōu)化方面，Dresner 等[4-5]基于排隊(duì)論建立了先到先服務(wù)(First Come First Served,FCFS)的交叉口控制模型，并證明該模型相對(duì)于信號(hào)控制策略，可以顯著降低車輛延誤。然而，在過(guò)飽和、車輛編隊(duì)行駛等情況下，F(xiàn)CFS模型的延誤會(huì)比信號(hào)控制更大[6]。姚志洪[7]等引入優(yōu)化時(shí)間區(qū)間的概念，建立了基于混合整數(shù)規(guī)劃的沖突區(qū)時(shí)序優(yōu)化模型。吳偉等[8-9]將交叉口空間離散化，提出面向自由轉(zhuǎn)向車道的交叉口控制模型；但模型中車輛進(jìn)入交叉口的速度固定且相等，限制了其適應(yīng)性。在車輛軌跡優(yōu)化方面，Ma等[10-11]設(shè)計(jì)了一種反向射擊式車輛軌跡優(yōu)化算法，并研究了算法的計(jì)算復(fù)雜度和移動(dòng)性，隨后又將其應(yīng)用于交叉口和瓶頸區(qū)控制。羅孝羚等[12]提出了一種兩階段優(yōu)化模型，第1階段是優(yōu)化車輛進(jìn)入時(shí)序，第2階段是優(yōu)化車輛軌跡。然而，模型中車輛到達(dá)時(shí)序和車輛軌跡分開(kāi)優(yōu)化，使其無(wú)法獲得全局最優(yōu)解。此外，也有部分學(xué)者使用博弈論[13]、多智能體學(xué)習(xí)[14]等理論對(duì)智能網(wǎng)聯(lián)駕駛下的交叉口控制進(jìn)行建模。

綜上所述，已有研究要么僅考慮車輛到達(dá)時(shí)序的優(yōu)化，要么將車輛到達(dá)時(shí)序和車輛軌跡分別優(yōu)化，導(dǎo)致其無(wú)法獲得最優(yōu)解。本文基于上述思路，以所有車輛在控制區(qū)域的行程時(shí)間與油耗加權(quán)最小為目標(biāo)，建立車輛到達(dá)時(shí)序和速度協(xié)同優(yōu)化的交叉口控制模型，促進(jìn)車輛通行效率和能耗的均衡，提高交叉口整體效益。

1 問(wèn)題描述

在智能網(wǎng)聯(lián)車環(huán)境下，交叉口將無(wú)需信號(hào)燈控制，且每一條進(jìn)口車道均能“左直右”通行。如圖1所示，車輛可以借助“自由轉(zhuǎn)向車道”實(shí)現(xiàn)出口車道的選擇(軌跡①)，也可以在路段上提前換道實(shí)現(xiàn)進(jìn)口車道的選擇(軌跡②)。本文將車輛軌跡分為控制區(qū)域和沖突區(qū)域兩部分，在控制區(qū)域進(jìn)行車輛速度優(yōu)化和換道決策，在沖突區(qū)域進(jìn)行車輛到達(dá)時(shí)序優(yōu)化和路徑選擇。因此，本文研究問(wèn)題可以描述為：在一定的規(guī)劃時(shí)間內(nèi)，如何合理優(yōu)化車流軌跡，使所有車輛通過(guò)交叉口的時(shí)間最短，油耗最低。

圖1 交叉口研究區(qū)域示意Fig.1 Study area layout of intersection

2 模型構(gòu)建

2.1 模型假設(shè)

(1)車輛在沖突區(qū)域內(nèi)勻速行駛，且不能停車；

(2)假設(shè)通信和車輛控制均能滿足自動(dòng)駕駛需要，不考慮時(shí)延；

(3)車輛駛離控制區(qū)域、到達(dá)停車線和駛?cè)霙_突區(qū)域?yàn)橥粻顟B(tài)；

(4)頭車不參與換道，僅考慮跟隨車的換道行為，且只在相鄰車道最多換道1次；

(5)車輛僅在滾動(dòng)優(yōu)化時(shí)間點(diǎn)進(jìn)行換道條件判斷和決策，且換道是瞬時(shí)完成的。

2.2 車輛到達(dá)時(shí)序優(yōu)化模型

(1)車輛到達(dá)網(wǎng)格時(shí)刻約束

將交叉口沖突區(qū)域離散化處理，參考文獻(xiàn)[8]建立的車輛軌跡方程和交叉口內(nèi)部空間映射關(guān)系，車輛進(jìn)出網(wǎng)格的時(shí)刻為

式中：Loi為車輛i進(jìn)口選擇車道；Ldi為車輛i出口選擇車道；tiω(Loi,Ldi)為車輛i經(jīng)路徑(Loi,Ldi)駛?cè)刖W(wǎng)格ω的時(shí)刻；Tiω(Lio,Ldi)為車輛i經(jīng)路徑(Loi,Ldi)駛離網(wǎng)格ω的時(shí)刻；tLi(Loi)為車輛i到達(dá)停車線的時(shí)刻；dω(Loi,Ldi)為車輛i經(jīng)路徑(Loi,Ldi)從停車線至車頭駛?cè)刖W(wǎng)格ω的軌跡長(zhǎng)度；Dω(Lio,Ldi)為車輛i經(jīng)路徑(Loi,Ldi)從停車線至車尾駛出網(wǎng)格ω的軌跡長(zhǎng)度；為車輛i到達(dá)停車線的速度；δiω(Loi,Ldi)為0-1變量，等于1 時(shí)表示車輛i經(jīng)路徑(Loi,Ldi)經(jīng)過(guò)網(wǎng)格ω，否則不經(jīng)過(guò)。

為確保安全，同一時(shí)刻同一網(wǎng)格只能被1輛車占用，即

式中：j為車輛j的編號(hào)；I為所有車輛集合。

(2)換道約束

由于頭車不考慮換道，僅需考慮出口道選擇，可以表示為

式中：為頭車集合；Lci為車輛i當(dāng)前時(shí)刻所在車道。

對(duì)于跟隨車，需要在滿足換道條件后才能實(shí)現(xiàn)對(duì)進(jìn)口車道的優(yōu)化。由于車輛僅在滾動(dòng)優(yōu)化時(shí)間點(diǎn)進(jìn)行換道決策，是否滿足換道條件可參考文獻(xiàn)[15]判斷。當(dāng)滿足換道條件時(shí)，換道決策表示為

式中：Lti為車輛i的目標(biāo)車道；ηi為0-1變量，等于1時(shí)表示換道，否則不換道。

(3)車輛到達(dá)時(shí)刻約束

當(dāng)車輛加速至最大限制速度時(shí)，并以最大速度巡航，如圖2(a)所示，此時(shí)到達(dá)停車線時(shí)間最短，即

式中：vmax為最大限制速度；a+為最大加速度；t(i

0)為初始時(shí)刻，這里t(i0)=0；v(i0)為初始時(shí)刻車輛i的速度；di為初始時(shí)刻車輛i到停車線的距離；vr為車輛到達(dá)停車線的臨界速度；Δt(i1)為加速至最大限制速度所需時(shí)間；Δt(i2)為以最大速度巡航至停車線所需時(shí)間；tmiin為車輛到達(dá)停車線所需最短時(shí)間。

當(dāng)車輛減速至最小限制速度時(shí)，并以最小速度巡航，如圖2(b)所示，此時(shí)到達(dá)停車線時(shí)間最長(zhǎng)，即

式中：vmin為最小限制速度；a-為最大減速度；Δt(i3)為減速至最小限制速度所需時(shí)間；Δt(i4)為以最小速度巡航至停車線所需時(shí)間；為車輛到達(dá)停車線所需最長(zhǎng)時(shí)間。

因此，車輛到達(dá)停車線的時(shí)刻滿足

(4)目標(biāo)函數(shù)

車輛到達(dá)時(shí)序優(yōu)化中，目標(biāo)是規(guī)劃時(shí)間段內(nèi)所有車輛在控制區(qū)域的行程時(shí)間最短，考慮到該目標(biāo)會(huì)迫使車輛違反意愿而接近限速的情況，將車輛期望到達(dá)時(shí)刻與實(shí)際到達(dá)時(shí)刻的偏差加入到目標(biāo)函數(shù)中，即

式中：λ1和λ2為偏差系數(shù)；vd為車輛期望速度。

2.3 車輛速度優(yōu)化模型

車輛到達(dá)停車線的時(shí)刻由車輛到達(dá)時(shí)序優(yōu)化模型得到后，在控制區(qū)域的車輛速度優(yōu)化可看作一個(gè)終端時(shí)間和位置已知的最優(yōu)控制問(wèn)題。

圖2 車輛到達(dá)極限情況Fig.2 Limit condition of vehicle arrival

(1)狀態(tài)描述

定義狀態(tài)變量xi(t)=[xi(t),vi(t)]T，其中，xi(t)、vi(t)分別為車輛i在時(shí)刻t的位移和速度，控制變量為車輛期望加速度ui(t)，則狀態(tài)方程表示為

(2)成本函數(shù)

車輛速度優(yōu)化中，目標(biāo)是車輛的總油耗最低，參考文獻(xiàn)[16]，成本函數(shù)可以表達(dá)為

式中：tfi為終端時(shí)刻；φ(xi(tfi))和L(xi(t),ui(t))分別為終端成本和運(yùn)行成本；PT為總牽引力。根據(jù)文獻(xiàn)[17]，各參數(shù)取值為：α0=0.666mL·s-1，β1=0.0717mL·kJ-1，β2=0.0334mL·(kJ·m·s-2)-1，α1=0.269kN，α2=0.0171 kN·(m·s-1)-1，α3=0.000672 kN·(m·s-1)-2，M=1860 kg。

(3)約束條件

初始狀態(tài)約束

終端位置和時(shí)刻約束

考慮車輛性能，車輛的加速度和速度需滿足邊界約束，即

此外，車輛還需與前車保持一定安全間距，即

式中：τi、σi分別為車輛i與前車i-1 的時(shí)間偏移和空間偏移，設(shè)置τi=0.4 s，σi=2.0 m。

2.4 車流軌跡優(yōu)化模型

由分析可知，本文建立的交叉口控制模型既要使所有車輛行程時(shí)間最短，還要使油耗最低。為實(shí)現(xiàn)兩個(gè)目標(biāo)的集成優(yōu)化，建立目標(biāo)函數(shù)為

式中：k1和k2為目標(biāo)權(quán)重系數(shù)。

約束條件為式(1)～式(12)，式(14)～式(22)。

3 求解框架

當(dāng)車輛到達(dá)停車線的時(shí)刻確定時(shí)，車輛速度優(yōu)化模型可通過(guò)求解最優(yōu)控制問(wèn)題輸出車輛到達(dá)停車線的速度；當(dāng)車輛到達(dá)停車線的速度確定時(shí)，車輛到達(dá)時(shí)序優(yōu)化模型通過(guò)線性化轉(zhuǎn)化為混合整數(shù)線性規(guī)劃問(wèn)題，求解輸出車輛到達(dá)停車線的時(shí)刻。

3.1 線性化

式(3)為條件判斷約束，引入0-1變量和較大正值將其轉(zhuǎn)化為線性約束，即

式中：B1和B2為較大正值；ζωij為0-1變量，表示車輛進(jìn)入網(wǎng)格ω的先后次序。

式(13)的目標(biāo)函數(shù)中含有最大值和絕對(duì)值約束，引入輔助變量將其轉(zhuǎn)化為

式中：Tc和Tid均為輔助變量。

3.2 求解步驟

基于模型特征，設(shè)計(jì)迭代式算法求解，步驟如下。

Step 1 參數(shù)初始化。輸入車輛配置參數(shù)和初始狀態(tài)信息，交叉口幾何參數(shù)與輔助參數(shù)。設(shè)置作為車輛優(yōu)化模型終端時(shí)刻的初始值，開(kāi)始迭代計(jì)算。

Step 2 根據(jù)給定的終端時(shí)間tif，采用GPOPS(Gauss Pseudospectral Optimization Software)工具求解車輛速度優(yōu)化模型，考慮到固定終端時(shí)刻存在無(wú)最優(yōu)解的情況[17]，設(shè)置tfi=tfi+0.1s確保解的有效性和計(jì)算效率，輸出車輛到達(dá)速度vLi和更新后的，進(jìn)入Step 3。

Step 3 基于給定的車輛到達(dá)速度和終端時(shí)間tfi，將式(12)調(diào)整為，采用Gurobi 工具求解關(guān)于時(shí)序優(yōu)化的混合整數(shù)線性規(guī)劃問(wèn)題；結(jié)果輸出車輛到達(dá)時(shí)刻tLi，進(jìn)入Step 4。

Step 4 計(jì)算車流軌跡優(yōu)化模型目標(biāo)值，并進(jìn)入終止條件判斷，前后兩次迭代結(jié)果之差小于5%。當(dāng)滿足終止條件，算法終止；否則，令tfi=tLi，返回Step 2。

4 模型驗(yàn)證

4.1 實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

以一個(gè)最基本的交叉口為例，對(duì)模型的效益進(jìn)行驗(yàn)證。該交叉口雙向4車道，車道寬度為3 m，如圖3所示。將交叉口沖突區(qū)域離散化處理，劃分為若干個(gè)正方形網(wǎng)格，網(wǎng)格邊長(zhǎng)為3 m。選取某一時(shí)刻同時(shí)到達(dá)的16 輛車進(jìn)行分析，其基本屬性包括車輛進(jìn)出口方向、車道、位置和速度，如表1所示。

圖3 交叉口進(jìn)口道及網(wǎng)格劃分Fig.3 Entrance lane of intersection and grid partitioning

表1 到達(dá)車輛的基本屬性Table 1 Attributes of arrival vehicles

4.2 模型結(jié)果與對(duì)比分析

考慮車輛動(dòng)力性能、限速和燃油等情況，加速度取值區(qū)間設(shè)置為[-3,3]m·s-2，最小和最大限制速度分別為4.47 m·s-1、16.67 m·s-1，期望車速為13.89 m·s-1，車輛長(zhǎng)度為4.5 m。根據(jù)文獻(xiàn)[1]，偏差系數(shù)設(shè)置為：λ1=λ2=0.5。根據(jù)文獻(xiàn)[10]，目標(biāo)權(quán)重系數(shù)設(shè)置為：k1=5.6 s-1，k2=1.0 mL-1。選取MATLAB 作為編程環(huán)境，并調(diào)用GPOPS和Gurobi工具箱進(jìn)行求解，輸出車輛的最佳路徑、時(shí)刻、到達(dá)速度與時(shí)刻、延誤及油耗，如表2所示。由結(jié)果可知，車輛8、10和11進(jìn)行了換道，車輛總延誤為15.22 s，車均延誤為0.95 s；總油耗為53.96 mL，車均油耗為3.37 mL。

表2 本文模型計(jì)算結(jié)果Table 2 Results of proposed model

為進(jìn)一步驗(yàn)證本文模型的先進(jìn)性，與兩階段優(yōu)化模型[12]進(jìn)行對(duì)比分析。兩階段模型的車輛總延誤為22.38 s，車均延誤為1.40 s；總油耗為59.87 mL，車均油耗為3.74 mL。與兩階段模型相比，本文模型能降低車均延誤32.1%；降低車均油耗9.9%。從圖4(a)可以看出，本文模型和兩階段模型的最大延誤車輛均為車輛4，延誤分別為3.61 s 和4.01 s，相差不大；本文模型雖然增加了部分車輛的延誤(車輛4、10 和12)，但通過(guò)協(xié)調(diào)優(yōu)化，能顯著降低車輛總延誤。從圖4(b)可以看出，本文模型中每輛車的油耗均小于兩階段模型，這也進(jìn)一步說(shuō)明，本文模型能很好地均衡時(shí)空資源，在降低車輛延誤的同時(shí)節(jié)省油耗。

圖4 車輛延誤與油耗對(duì)比Fig.4 Comparisons of vehicle delay and fuel consumption

4.3 敏感性分析

(1)期望速度

固定其他參數(shù)不變，使期望速度在42～60 km·h-1之間變動(dòng)。采用總行程時(shí)間和總油耗作為評(píng)價(jià)指標(biāo)，輸出結(jié)果如圖5所示。當(dāng)期望速度從42 km·h-1增加到60 km·h-1時(shí)，車輛總行程時(shí)間從86.55 s 降低到79.16 s，總油耗從57.64 mL 降低為52.72 mL，降低幅度均為8.54%。當(dāng)期望速度較低時(shí)，車輛將以期望車速行駛，總行程時(shí)間和油耗減少明顯。當(dāng)期望車速靠近最大限制速度時(shí)，總行程時(shí)間和油耗量基本不變。這是因?yàn)?，較大速度會(huì)導(dǎo)致車輛頻繁加減速，從而增加油耗；而另一方面，速度增加將有助于車輛更快駛離交叉口，又可以減少油耗。

圖5 期望速度敏感性分析Fig.5 Sensitivity analysis on desired speed

(2)最大加(減)速度

固定其他參數(shù)不變，使最大加(減)速度的絕對(duì)值在2.6～3.5 m·s-2間變動(dòng)。車輛總行程時(shí)間和總油耗，如圖6所示。當(dāng)最大加(減)速度的絕對(duì)值增加時(shí)，車輛總行程時(shí)間和總耗油量基本不變。這也說(shuō)明，本文模型能適應(yīng)不同的最大加(減)速度要求，具有良好的適應(yīng)性。

圖6 最大加(減)速度敏感性分析Fig.6 Sensitivity analysis of maximum acceleration or deceleration

5 結(jié)論

本文建立了車輛到達(dá)時(shí)序和速度協(xié)同優(yōu)化的交叉口控制模型，克服了在現(xiàn)有控制方式下，車輛到達(dá)時(shí)序和車輛軌跡分開(kāi)優(yōu)化而無(wú)法獲得最優(yōu)解的不足，提高交叉口的整體效益。在建立車輛到達(dá)時(shí)序優(yōu)化模型和車輛速度優(yōu)化模型的基礎(chǔ)上，以所有車輛在控制區(qū)域的行程時(shí)間與油耗加權(quán)和最小為目標(biāo)，使用迭代算法同時(shí)求解最佳車輛到達(dá)時(shí)刻與速度。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，相比于車輛時(shí)序和軌跡分別優(yōu)化的兩階段模型，本文模型能夠降低車均延誤32.1%，減少車均油耗9.9%。對(duì)速度、最大加(減)速度的敏感性分析進(jìn)一步表明模型具有良好的適應(yīng)性，能更好地分配時(shí)空資源，實(shí)現(xiàn)通行效率和能耗的均衡。